Το Επεξηγηματικό Λεξικό του Ozhegov αναφέρει ότι ένα πεντάγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που οριοθετείται από πέντε τεμνόμενες ευθείες που σχηματίζουν πέντε εσωτερικές γωνίες, καθώς και οποιοδήποτε αντικείμενο παρόμοιου σχήματος. Εάν ένα δεδομένο πολύγωνο έχει τις ίδιες πλευρές και γωνίες, τότε ονομάζεται κανονικό (πεντάγωνο).
Τι είναι ενδιαφέρον για ένα κανονικό πεντάγωνο;
Με αυτή τη μορφή χτίστηκε το γνωστό κτίριο του Υπουργείου Άμυνας των Ηνωμένων Πολιτειών. Από τα ογκώδη κανονικά πολύεδρα, μόνο το δωδεκάεδρο έχει όψεις σε σχήμα πενταγώνου. Και στη φύση, οι κρύσταλλοι απουσιάζουν εντελώς, οι όψεις των οποίων θα έμοιαζαν με ένα κανονικό πεντάγωνο. Επιπλέον, αυτό το σχήμα είναι ένα πολύγωνο με ελάχιστο αριθμό γωνιών που δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την τοποθέτηση πλακιδίων σε μια περιοχή. Μόνο ένα πεντάγωνο έχει τον ίδιο αριθμό διαγωνίων με τις πλευρές του. Συμφωνώ, είναι ενδιαφέρον!
Βασικές ιδιότητες και τύποι
Χρήση των τύπων γιααυθαίρετο κανονικό πολύγωνο, μπορείτε να προσδιορίσετε όλες τις απαραίτητες παραμέτρους που έχει το πεντάγωνο.
- Κεντρική γωνία α=360 / n=360/5=72°.
- Εσωτερική γωνία β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Αντίστοιχα, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 540°.
- Η αναλογία της διαγωνίου προς την πλευρά είναι (1+√5) /2, δηλαδή η "χρυσή τομή" (περίπου 1, 618).
- Το μήκος της πλευράς που έχει ένα κανονικό πεντάγωνο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν από τους τρεις τύπους, ανάλογα με το ποια παράμετρος είναι ήδη γνωστή:
- αν ένας κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω του και η ακτίνα του R είναι γνωστή, τότε a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- στην περίπτωση που ένας κύκλος με ακτίνα r εγγράφεται σε κανονικό πεντάγωνο, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- συμβαίνει αντί για ακτίνες να είναι γνωστή η τιμή της διαγωνίου D, τότε η πλευρά καθορίζεται ως εξής: a ≈ D/1, 618.
- Το εμβαδόν ενός κανονικού πενταγώνου προσδιορίζεται, πάλι, ανάλογα με την παράμετρο που γνωρίζουμε:
- εάν υπάρχει εγγεγραμμένος ή περιγεγραμμένος κύκλος, τότε χρησιμοποιείται ένας από τους δύο τύπους:
S=(nar)/2=2, 5ar ή S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776R2;
η περιοχή μπορεί επίσης να προσδιοριστεί γνωρίζοντας μόνο το μήκος της πλευράς a:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
Κανονικό πεντάγωνο: κατασκευή
Αυτό το γεωμετρικό σχήμα μπορεί να κατασκευαστεί με διαφορετικούς τρόπους. Για παράδειγμα, εγγράψτε το σε κύκλο με δεδομένη ακτίνα ή κατασκευάστε το με βάση μια δεδομένη πλευρική πλευρά. Η αλληλουχία των ενεργειών περιγράφηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη γύρω στο 300 π. Χ. Σε κάθε περίπτωση χρειαζόμαστε πυξίδα και χάρακα. Εξετάστε τη μέθοδο κατασκευής χρησιμοποιώντας έναν δεδομένο κύκλο.
1. Επιλέξτε μια αυθαίρετη ακτίνα και σχεδιάστε έναν κύκλο, σημειώνοντας το κέντρο του με ένα O.
2. Στην κυκλική γραμμή, επιλέξτε ένα σημείο που θα χρησιμεύσει ως μία από τις κορυφές του πενταγώνου μας. Έστω αυτό το σημείο Α. Συνδέστε τα σημεία Ο και Α με μια ευθεία γραμμή.
3. Σχεδιάστε μια ευθεία στο σημείο Ο κάθετη στην ευθεία ΟΑ. Προσδιορίστε την τομή αυτής της ευθείας με την ευθεία του κύκλου ως σημείο Β.
4. Στη μέση της απόστασης μεταξύ των σημείων O και B, χτίστε το σημείο C.
5. Τώρα σχεδιάστε έναν κύκλο του οποίου το κέντρο θα είναι στο σημείο C και ο οποίος θα διέρχεται από το σημείο Α. Η θέση της τομής του με την ευθεία OB (θα είναι μέσα στον πρώτο κιόλας κύκλο) θα είναι το σημείο D.
6. Κατασκευάστε έναν κύκλο που διέρχεται από το D, το κέντρο του οποίου θα είναι στο A. Τα σημεία τομής του με τον αρχικό κύκλο πρέπει να σημειωθούν με τα σημεία E και F.
7. Τώρα κατασκευάστε έναν κύκλο, το κέντρο του οποίου θα είναι στο Ε. Πρέπει να το κάνετε έτσι ώστε να διέρχεται από το Α. Η άλλη τομή του με τον αρχικό κύκλο πρέπει να υποδεικνύεται από το σημείο G.
8. Τέλος, σχεδιάστε έναν κύκλο μέσω του A με κέντρο στο σημείο F. Σημειώστε μια άλλη τομή του αρχικού κύκλου με το σημείο H.
9. Τώρα αριστεράαπλώς συνδέστε τις κορυφές A, E, G, H, F. Το κανονικό μας πεντάγωνο θα είναι έτοιμο!
