Το
Το Πρίσμα είναι ένα πολύεδρο ή πολύεδρο, το οποίο μελετάται στο σχολικό μάθημα της στερεάς γεωμετρίας. Μία από τις σημαντικές ιδιότητες αυτού του πολυέδρου είναι ο όγκος του. Ας εξετάσουμε στο άρθρο πώς μπορεί να υπολογιστεί αυτή η τιμή και ας δώσουμε επίσης τους τύπους για τον όγκο των πρισμάτων - κανονικό τετράγωνο και εξαγωνικό.
Πρίσμα στη στερεομετρία
Αυτό το σχήμα νοείται ως ένα πολύεδρο, το οποίο αποτελείται από δύο πανομοιότυπα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα και από πολλά παραλληλόγραμμα. Για ορισμένους τύπους πρισμάτων, τα παραλληλόγραμμα μπορούν να αντιπροσωπεύουν ορθογώνια τετράπλευρα ή τετράγωνα. Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα ενός λεγόμενου πενταγωνικού πρίσματος.
Για να φτιάξετε μια φιγούρα όπως στο παραπάνω σχήμα, πρέπει να πάρετε ένα πεντάγωνο και να πραγματοποιήσετε την παράλληλη μεταφορά του σε μια ορισμένη απόσταση στο διάστημα. Συνδέοντας τις πλευρές δύο πενταγώνων χρησιμοποιώντας παραλληλόγραμμα, παίρνουμε το επιθυμητό πρίσμα.
Κάθε πρίσμα αποτελείται από όψεις, κορυφές και ακμές. Οι κορυφές του πρίσματοςΣε αντίθεση με την πυραμίδα, είναι ίσα, καθένα από αυτά αναφέρεται σε μία από τις δύο βάσεις. Οι όψεις και οι άκρες είναι δύο τύπων: αυτές που ανήκουν στις βάσεις και αυτές που ανήκουν στις πλευρές.
Τα πρίσματα είναι πολλών τύπων (σωστά, λοξά, κυρτά, ευθύγραμμα, κοίλα). Ας εξετάσουμε αργότερα στο άρθρο με ποιον τύπο υπολογίζεται ο όγκος ενός πρίσματος, λαμβάνοντας υπόψη το σχήμα του σχήματος.
Γενική έκφραση για τον προσδιορισμό του όγκου ενός πρίσματος
Ανεξάρτητα από τον τύπο στον οποίο ανήκει το υπό μελέτη σχήμα, είτε είναι ίσιο ή λοξό, κανονικό ή ακανόνιστο, υπάρχει μια καθολική έκφραση που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τον όγκο του. Ο όγκος μιας χωρικής φιγούρας είναι η περιοχή του χώρου που περικλείεται ανάμεσα στις όψεις της. Ο γενικός τύπος για τον όγκο ενός πρίσματος είναι:
V=So × h.
Εδώ So αντιπροσωπεύει την περιοχή της βάσης. Πρέπει να θυμόμαστε ότι μιλάμε για μία βάση και όχι για δύο. Η τιμή h είναι το ύψος. Το ύψος του υπό μελέτη σχήματος νοείται ως η απόσταση μεταξύ των πανομοιότυπων βάσεων του. Αν αυτή η απόσταση συμπίπτει με τα μήκη των πλευρικών νευρώσεων, τότε μιλάμε για ευθύ πρίσμα. Σε ένα ίσιο σχήμα, όλες οι πλευρές είναι ορθογώνια.
Έτσι, εάν ένα πρίσμα είναι λοξό και έχει ακανόνιστο πολύγωνο βάσης, τότε ο υπολογισμός του όγκου του γίνεται πιο περίπλοκος. Εάν το σχήμα είναι ευθύ, τότε ο υπολογισμός του όγκου μειώνεται μόνο στον προσδιορισμό του εμβαδού της βάσης So.
Προσδιορισμός του όγκου ενός κανονικού σχήματος
Κανονικό είναι κάθε πρίσμα που είναι ευθύ και έχει πολυγωνική βάση με πλευρές και γωνίες ίσες μεταξύ τους. Για παράδειγμα, τέτοια κανονικά πολύγωνα είναι ένα τετράγωνο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Ταυτόχρονα, ένας ρόμβος δεν είναι κανονικό σχήμα, αφού δεν είναι όλες οι γωνίες του ίσες.
Ο τύπος για τον όγκο ενός κανονικού πρίσματος προκύπτει αναμφίβολα από τη γενική έκφραση για το V, που γράφτηκε στην προηγούμενη παράγραφο του άρθρου. Πριν προχωρήσετε στη σύνταξη του αντίστοιχου τύπου, είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε την περιοχή της σωστής βάσης. Χωρίς να μπούμε σε μαθηματικές λεπτομέρειες, παρουσιάζουμε τον τύπο για τον προσδιορισμό της υποδεικνυόμενης περιοχής. Είναι καθολικό για οποιοδήποτε κανονικό n-gon και έχει την ακόλουθη μορφή:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Όπως μπορείτε να δείτε από την έκφραση, η περιοχή Sn είναι συνάρτηση δύο παραμέτρων. Ένας ακέραιος αριθμός n μπορεί να πάρει τιμές από 3 έως άπειρο. Η τιμή a είναι το μήκος της πλευράς του n-gon.
Για να υπολογίσετε τον όγκο ενός σχήματος, χρειάζεται μόνο να πολλαπλασιάσετε την περιοχή S με το ύψος h ή με το μήκος της πλευρικής ακμής b (h=b). Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στον ακόλουθο τύπο εργασίας:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Σημειώστε ότι για να προσδιορίσετε τον όγκο ενός πρίσματος αυθαίρετου τύπου, πρέπει να γνωρίζετε πολλές ποσότητες (μήκη των πλευρών της βάσης, ύψος, διεδρικές γωνίες του σχήματος), αλλά για να υπολογίσετε την τιμή V του ένα κανονικό πρίσμα, πρέπει να γνωρίζουμε μόνο δύο γραμμικές παραμέτρους, για παράδειγμα, a και h.
Ο όγκος ενός τετραγωνικού κανονικού πρίσματος
Ένα τετράπλευρο πρίσμα ονομάζεται παραλληλεπίπεδο. Εάν όλες οι όψεις του είναι ίσες και είναι τετράγωνες, τότε ένα τέτοιο σχήμα θα είναι ένας κύβος. Κάθε μαθητής γνωρίζει ότι ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου ή κύβου προσδιορίζεται πολλαπλασιάζοντας τις τρεις διαφορετικές πλευρές του (μήκος, ύψος και πλάτος). Αυτό το γεγονός προκύπτει από τη γραπτή έκφραση γενικού όγκου για ένα κανονικό σχήμα:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Εδώ η συνεφαπτομένη των 45° είναι ίση με 1. Σημειώστε ότι η ισότητα του ύψους h και του μήκους της πλευράς της βάσης a οδηγεί αυτόματα στον τύπο για τον όγκο ενός κύβου.
Όγκος εξαγωνικού κανονικού πρίσματος
Τώρα εφαρμόστε την παραπάνω θεωρία για να προσδιορίσετε τον όγκο ενός σχήματος με εξαγωνική βάση. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει απλώς να αντικαταστήσετε την τιμή n=6 στον τύπο:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × ω.
Η γραπτή έκφραση μπορεί να ληφθεί ανεξάρτητα χωρίς τη χρήση του καθολικού τύπου για το S. Για να γίνει αυτό, πρέπει να διαιρέσετε το κανονικό εξάγωνο σε έξι ισόπλευρα τρίγωνα. Η πλευρά καθενός από αυτά θα είναι ίση με α. Το εμβαδόν ενός τριγώνου αντιστοιχεί σε:
S3=√3/4 × a2.
Πολλαπλασιάζοντας αυτήν την τιμή με τον αριθμό των τριγώνων (6) και με το ύψος, παίρνουμε τον παραπάνω τύπο για τον όγκο.
