Οι τετραγωνικές εξισώσεις εμφανίζονται συχνά σε μια σειρά προβλημάτων στα μαθηματικά και τη φυσική, επομένως κάθε μαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση να τα λύσει. Αυτό το άρθρο περιγράφει λεπτομερώς τις κύριες μεθόδους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων και παρέχει επίσης παραδείγματα χρήσης τους.
Ποια εξίσωση ονομάζεται τετραγωνική
Πρώτα απ' όλα, θα απαντήσουμε στην ερώτηση αυτής της παραγράφου για να καταλάβουμε καλύτερα τι θα αφορά το άρθρο. Άρα, η τετραγωνική εξίσωση έχει την εξής γενική μορφή: c + bx+ax2=0, όπου a, b, c είναι κάποιοι αριθμοί, οι οποίοι ονομάζονται συντελεστές. Εδώ το a≠0 είναι υποχρεωτική συνθήκη, διαφορετικά η υποδεικνυόμενη εξίσωση εκφυλίζεται σε γραμμική. Οι υπόλοιποι συντελεστές (b, c) μπορούν να λάβουν απολύτως οποιεσδήποτε τιμές, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός. Έτσι, εκφράσεις όπως ax2=0, όπου b=0 και c=0, ή c+ax2=0, όπου β=0, ή bx+ax2=0, όπου c=0 είναι επίσης τετραγωνικές εξισώσεις, οι οποίες ονομάζονται ελλιπείς, αφού είτε ο γραμμικός συντελεστής b σε αυτές είναι μηδέν είτε μηδένείναι ένας ελεύθερος όρος γ, ή εξαφανίζονται και οι δύο.
Μια εξίσωση στην οποία a=1 λέγεται μειωμένη, δηλαδή έχει τη μορφή: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Η λύση μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι να βρούμε τέτοιες τιμές x που να ικανοποιούν την ισότητά της. Αυτές οι τιμές ονομάζονται ρίζες. Εφόσον η εξίσωση που εξετάζουμε είναι μια έκφραση του δεύτερου βαθμού, αυτό σημαίνει ότι ο μέγιστος αριθμός των ριζών της δεν μπορεί να υπερβαίνει τις δύο.
Ποιες μέθοδοι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων υπάρχουν
Γενικά, υπάρχουν 4 μέθοδοι λύσης. Τα ονόματά τους αναφέρονται παρακάτω:
- Factoring.
- Προσθήκη στο τετράγωνο.
- Χρησιμοποιώντας έναν γνωστό τύπο (μέσω του διαχωριστικού).
- Η μέθοδος επίλυσης είναι γεωμετρική.
Όπως μπορείτε να δείτε από την παραπάνω λίστα, οι τρεις πρώτες μέθοδοι είναι αλγεβρικές, επομένως χρησιμοποιούνται πιο συχνά από την τελευταία, η οποία περιλαμβάνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta. Θα μπορούσε να συμπεριληφθεί 5ος στην παραπάνω λίστα, ωστόσο, αυτό δεν γίνεται, αφού το θεώρημα του Vieta είναι απλή συνέπεια της 3ης μεθόδου.
Αργότερα στο άρθρο θα εξετάσουμε λεπτομερέστερα τις επονομαζόμενες μεθόδους λύσης και θα δώσουμε επίσης παραδείγματα χρήσης τους για την εύρεση των ριζών συγκεκριμένων εξισώσεων.
Μέθοδος 1. Factoring
Για αυτή τη μέθοδο στα μαθηματικά των τετραγωνικών εξισώσεων, υπάρχει ένα όμορφοόνομα: παραγοντοποίηση. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής: είναι απαραίτητο να παρουσιαστεί η τετραγωνική εξίσωση ως γινόμενο δύο όρων (εκφράσεις), οι οποίοι πρέπει να ισούνται με μηδέν. Μετά από μια τέτοια αναπαράσταση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα προϊόντος, η οποία θα είναι ίση με μηδέν μόνο όταν ένα ή περισσότερα (όλα) από τα μέλη της είναι μηδέν.
Τώρα εξετάστε την ακολουθία συγκεκριμένων ενεργειών που πρέπει να εκτελεστούν για να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:
- Μετακινήστε όλα τα μέλη σε ένα μέρος της παράστασης (για παράδειγμα, προς τα αριστερά) έτσι ώστε μόνο το 0 να παραμείνει στο άλλο τμήμα της (δεξιά).
- Παριστάστε το άθροισμα των όρων σε ένα μέρος της εξίσωσης ως γινόμενο δύο γραμμικών εξισώσεων.
- Ορίστε κάθε μία από τις γραμμικές παραστάσεις στο μηδέν και λύστε τις.
Όπως βλέπετε, ο αλγόριθμος παραγοντοποίησης είναι αρκετά απλός, ωστόσο, οι περισσότεροι μαθητές έχουν δυσκολίες κατά την υλοποίηση του 2ου σημείου, γι' αυτό θα το εξηγήσουμε αναλυτικότερα.
Για να μαντέψετε ποιες 2 γραμμικές εκφράσεις, όταν πολλαπλασιαστούν η μία με την άλλη, θα δώσουν την επιθυμητή τετραγωνική εξίσωση, πρέπει να θυμάστε δύο απλούς κανόνες:
- Οι γραμμικοί συντελεστές δύο γραμμικών παραστάσεων, όταν πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους, θα πρέπει να δίνουν τον πρώτο συντελεστή της τετραγωνικής εξίσωσης, δηλαδή τον αριθμό a.
- Οι ελεύθεροι όροι των γραμμικών παραστάσεων, όταν πολλαπλασιάζονται, θα πρέπει να δίνουν τον αριθμό c της επιθυμητής εξίσωσης.
Αφού επιλεγούν όλοι οι αριθμοί των παραγόντων, θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν και αν δίνουν την επιθυμητή εξίσωση, τότε μεταβείτε στο βήμα 3 στοτον παραπάνω αλγόριθμο, διαφορετικά θα πρέπει να αλλάξετε τους πολλαπλασιαστές, αλλά πρέπει να το κάνετε έτσι ώστε να τηρούνται πάντα οι παραπάνω κανόνες.
Παράδειγμα λύσης με μέθοδο παραγοντοποίησης
Ας δείξουμε ξεκάθαρα πώς είναι ο αλγόριθμος για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης για τη σύνθεση και την εύρεση άγνωστων ριζών. Ας δοθεί μια αυθαίρετη έκφραση, για παράδειγμα, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Ας προχωρήσουμε στη λύση του, παρατηρώντας την ακολουθία των σημείων από το 1 έως το 3, τα οποία παρατίθενται στην προηγούμενη παράγραφο του άρθρου.
Στοιχείο 1. Μετακινήστε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά και τακτοποιήστε τους με την κλασική ακολουθία για μια τετραγωνική εξίσωση. Έχουμε την ακόλουθη ισότητα: 2x+(-8)+x2=0.
Στοιχείο 2. Το σπάμε σε γινόμενο γραμμικών εξισώσεων. Αφού a=1, και c=-8, τότε θα επιλέξουμε, για παράδειγμα, ένα τέτοιο γινόμενο (x-2)(x+4). Πληροί τους κανόνες για την εύρεση των αναμενόμενων παραγόντων που ορίζονται στην παραπάνω παράγραφο. Αν ανοίξουμε τις αγκύλες, παίρνουμε: -8+2x+x2, δηλαδή παίρνουμε ακριβώς την ίδια έκφραση όπως στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Αυτό σημαίνει ότι μαντέψαμε σωστά τους πολλαπλασιαστές και μπορούμε να προχωρήσουμε στο 3ο βήμα του αλγορίθμου.
Στοιχείο 3. Εξισώστε κάθε παράγοντα με μηδέν, παίρνουμε: x=-4 και x=2.
Εάν υπάρχουν αμφιβολίες για το αποτέλεσμα, συνιστάται να το ελέγξετε αντικαθιστώντας τις ρίζες που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση. Σε αυτήν την περίπτωση, έχουμε: 22+22-8=0 και 2(-4)+(-4)2 -8=0. Οι ρίζες βρέθηκαν σωστά.
Έτσι, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο παραγοντοποίησης, βρήκαμε ότι η δεδομένη εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζεςέχει: 2 και -4.
Μέθοδος 2. Συμπλήρωμα στο πλήρες τετράγωνο
Στην άλγεβρα των τετραγωνικών εξισώσεων, η μέθοδος του πολλαπλασιαστή δεν μπορεί πάντα να χρησιμοποιηθεί, αφού στην περίπτωση των κλασματικών τιμών των συντελεστών της τετραγωνικής εξίσωσης, προκύπτουν δυσκολίες στην εφαρμογή της παραγράφου 2 του αλγορίθμου.
Η μέθοδος πλήρους τετραγώνου, με τη σειρά της, είναι καθολική και μπορεί να εφαρμοστεί σε τετραγωνικές εξισώσεις οποιουδήποτε τύπου. Η ουσία του είναι να εκτελεί τις ακόλουθες λειτουργίες:
- Οι όροι της εξίσωσης που περιέχει τους συντελεστές a και b πρέπει να μεταφερθούν στο ένα μέρος της εξίσωσης και ο ελεύθερος όρος c στο άλλο.
- Στη συνέχεια, τα μέρη της ισότητας (δεξιά και αριστερά) πρέπει να διαιρεθούν με τον συντελεστή a, δηλαδή να παρουσιάσετε την εξίσωση σε μειωμένη μορφή (a=1).
- Αθροίστε τους όρους με τους συντελεστές a και b για να παρασταθούν ως τετράγωνο μιας γραμμικής εξίσωσης. Δεδομένου ότι ένα \u003d 1, τότε ο γραμμικός συντελεστής θα είναι ίσος με 1, όπως για τον ελεύθερο όρο της γραμμικής εξίσωσης, τότε θα πρέπει να είναι ίσος με το ήμισυ του γραμμικού συντελεστή της μειωμένης τετραγωνικής εξίσωσης. Αφού σχηματιστεί το τετράγωνο της γραμμικής παράστασης, είναι απαραίτητο να προστεθεί ο αντίστοιχος αριθμός στη δεξιά πλευρά της ισότητας, όπου βρίσκεται ο ελεύθερος όρος, ο οποίος προκύπτει διευρύνοντας το τετράγωνο.
- Πάρτε την τετραγωνική ρίζα με τα σύμβολα "+" και "-" και λύστε τη γραμμική εξίσωση που έχετε ήδη αποκτήσει.
Ο περιγραφόμενος αλγόριθμος μπορεί με την πρώτη ματιά να εκληφθεί ως μάλλον περίπλοκος, ωστόσο, στην πράξη είναι πιο εύκολο να εφαρμοστεί από τη μέθοδο παραγοντοποίησης.
Ένα παράδειγμα λύσης που χρησιμοποιεί το πλήρες τετραγωνικό συμπλήρωμα
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης για την εκπαίδευση της λύσης της με τη μέθοδο που περιγράφεται στην προηγούμενη παράγραφο. Έστω η τετραγωνική εξίσωση -10 - 6x+5x2=0. Αρχίζουμε να τη λύνουμε ακολουθώντας τον αλγόριθμο που περιγράφεται παραπάνω.
Στοιχείο 1. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταφοράς όταν λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις, παίρνουμε: - 6x+5x2=10.
Σημείο 2. Η μειωμένη μορφή αυτής της εξίσωσης προκύπτει διαιρώντας με τον αριθμό 5 κάθε μέλους της (αν και τα δύο μέρη διαιρεθούν ή πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε η ισότητα θα διατηρηθεί). Ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών, παίρνουμε: x2 - 6/5x=2.
Στοιχείο 3. Το μισό του συντελεστή - 6/5 είναι -6/10=-3/5, χρησιμοποιήστε αυτόν τον αριθμό για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, παίρνουμε: (-3/5+x) 2 . Το επεκτείνουμε και ο ελεύθερος όρος που προκύπτει θα πρέπει να αφαιρεθεί από την αριστερή πλευρά της ισότητας για να ικανοποιηθεί η αρχική μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης, η οποία ισοδυναμεί με την προσθήκη της στη δεξιά πλευρά. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε: (-3/5+x)2=59/25.
Στοιχείο 4. Υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα με θετικά και αρνητικά πρόσημα και βρείτε τις ρίζες: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Οι δύο ρίζες που βρέθηκαν έχουν τις ακόλουθες τιμές: x1=(√59+3)/5 και x1=(3-√59)/5.
Δεδομένου ότι οι υπολογισμοί που πραγματοποιήθηκαν σχετίζονται με τις ρίζες, υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να γίνει λάθος. Επομένως, συνιστάται να ελέγξετε την ορθότητα των ριζών x2 και x1. Παίρνουμε για x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Αλλαγή τώραx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Έτσι, δείξαμε ότι οι ρίζες που βρέθηκαν της εξίσωσης είναι αληθείς.
Μέθοδος 3. Εφαρμογή του γνωστού τύπου
Αυτή η μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων είναι ίσως η απλούστερη, αφού συνίσταται στην αντικατάσταση των συντελεστών σε έναν γνωστό τύπο. Για να το χρησιμοποιήσετε, δεν χρειάζεται να σκεφτείτε τη σύνταξη αλγορίθμων λύσεων, αρκεί να θυμάστε μόνο έναν τύπο. Φαίνεται στην παραπάνω εικόνα.
Σε αυτόν τον τύπο, η ριζική έκφραση (b2-4ac) ονομάζεται διάκριση (D). Από την αξία του εξαρτάται από τις ρίζες που λαμβάνονται. Υπάρχουν 3 περιπτώσεις:
- D>0, τότε η εξίσωση ρίζας δύο έχει πραγματικές και διαφορετικές.
- D=0, τότε παίρνει κανείς τη ρίζα, η οποία μπορεί να υπολογιστεί από την έκφραση x=-b/(a2).
- D<0, τότε λαμβάνετε δύο διαφορετικές φανταστικές ρίζες, οι οποίες αντιπροσωπεύονται ως μιγαδικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, ο αριθμός 3-5i είναι σύνθετος, ενώ η φανταστική μονάδα i ικανοποιεί την ιδιότητα: i2=-1.
Παράδειγμα λύσης με υπολογισμό του διαχωριστικού
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης για εξάσκηση χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Βρείτε τις ρίζες για -3x2-6+3x+4x=0. Αρχικά, υπολογίστε την τιμή του διαχωριστή, παίρνουμε: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Αφού λαμβάνεται το D<0, σημαίνει ότι οι ρίζες της εξεταζόμενης εξίσωσης είναι μιγαδικοί αριθμοί. Ας τα βρούμε αντικαθιστώντας την τιμή D που βρέθηκε στον τύπο που δίνεται στην προηγούμενη παράγραφο (φαίνεται και στην παραπάνω φωτογραφία). Παίρνουμε: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Μέθοδος 4. Χρήση του γραφήματος συναρτήσεων
Ονομάζεται επίσης γραφική μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. Πρέπει να ειπωθεί ότι, κατά κανόνα, χρησιμοποιείται όχι για ποσοτική, αλλά για ποιοτική ανάλυση της εξίσωσης που εξετάζουμε.
Η ουσία της μεθόδου είναι να σχεδιάσουμε μια τετραγωνική συνάρτηση y=f(x), η οποία είναι μια παραβολή. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί σε ποια σημεία η παραβολή τέμνει τον άξονα x (X), θα είναι οι ρίζες της αντίστοιχης εξίσωσης.
Για να πούμε αν μια παραβολή θα τέμνει τον άξονα Χ, αρκεί να γνωρίζουμε τη θέση του ελάχιστου (μέγιστου) της και την κατεύθυνση των διακλαδώσεων της (μπορούν είτε να αυξηθούν είτε να μειωθούν). Υπάρχουν δύο ιδιότητες αυτής της καμπύλης που πρέπει να θυμάστε:
- Αν a>0 - οι παραβολές του κλάδου κατευθύνονται προς τα πάνω, αντίθετα, εάν a<0, τότε κατεβαίνουν.
- Η ελάχιστη (μέγιστη) συντεταγμένη μιας παραβολής είναι πάντα x=-b/(2a).
Για παράδειγμα, πρέπει να προσδιορίσετε εάν η εξίσωση -4x+5x2+10=0 έχει ρίζες. Η αντίστοιχη παραβολή θα κατευθύνεται προς τα πάνω, αφού ένα=5>0. Το άκρο του έχει συντεταγμένες: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Αφού το ελάχιστο της καμπύλης βρίσκεται πάνω από τον άξονα x (y=9, 2), τότε δεν τέμνει τον τελευταίο για κανέναx τιμές. Δηλαδή, η δεδομένη εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Θεώρημα Vieta
Όπως σημειώθηκε παραπάνω, αυτό το θεώρημα είναι συνέπεια της μεθόδου Νο. 3, η οποία βασίζεται στην εφαρμογή ενός τύπου με ένα διαχωριστικό. Η ουσία του θεωρήματος Vieta είναι ότι σας επιτρέπει να συνδέσετε τους συντελεστές της εξίσωσης και τις ρίζες της στην ισότητα. Ας πάρουμε τις αντίστοιχες ισότητες.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών μέσω του διαχωριστή. Προσθέστε δύο ρίζες, παίρνουμε: x1+x2=-b/a. Τώρα ας πολλαπλασιάσουμε τις ρίζες μεταξύ τους: x1x2, μετά από μια σειρά απλοποιήσεων παίρνουμε τον αριθμό c/a.
Έτσι, για να λύσετε τις τετραγωνικές εξισώσεις με το θεώρημα Vieta, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις δύο ισότητες που προέκυψαν. Αν και οι τρεις συντελεστές μιας εξίσωσης είναι γνωστοί, τότε οι ρίζες μπορούν να βρεθούν λύνοντας το κατάλληλο σύστημα αυτών των δύο εξισώσεων.
Ένα παράδειγμα χρήσης του θεωρήματος του Vieta
Πρέπει να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση αν γνωρίζετε ότι έχει τη μορφή x2+c=-bx και οι ρίζες της είναι 3 και -4.
Δεδομένου ότι a=1 στην υπό εξέταση εξίσωση, οι τύποι Vieta θα μοιάζουν με: x2+x1=-b και x2x1=σελ. Αντικαθιστώντας τις γνωστές τιμές των ριζών, παίρνουμε: b=1 και c=-12. Ως αποτέλεσμα, η αποκατασταθείσα τετραγωνική μειωμένη εξίσωση θα μοιάζει με: x2-12=-1x. Μπορείτε να αντικαταστήσετε την τιμή των ριζών σε αυτό και να βεβαιωθείτε ότι ισχύει η ισότητα.
Αντίστροφη εφαρμογή του θεωρήματος Vieta, δηλαδή ο υπολογισμός των ριζών μεγνωστή μορφή της εξίσωσης, επιτρέπει στους μικρούς ακέραιους αριθμούς a, b και c να βρίσκουν γρήγορα (διαισθητικά) λύσεις.
