Αλγεβρικές ανισώσεις ή τα συστήματά τους με ορθολογικούς συντελεστές των οποίων οι λύσεις αναζητούνται σε ακέραιους ή ακέραιους αριθμούς. Κατά κανόνα, ο αριθμός των αγνώστων στις Διοφαντικές εξισώσεις είναι μεγαλύτερος. Έτσι, είναι γνωστές και ως αόριστες ανισότητες. Στα σύγχρονα μαθηματικά, η παραπάνω έννοια εφαρμόζεται σε αλγεβρικές εξισώσεις των οποίων οι λύσεις αναζητούνται σε αλγεβρικούς ακέραιους αριθμούς κάποιας επέκτασης του πεδίου των ορθολογικών μεταβλητών Q, του πεδίου των p-adic μεταβλητών κ.λπ.
Η προέλευση αυτών των ανισοτήτων
Η μελέτη των Διοφαντινών εξισώσεων βρίσκεται στα όρια μεταξύ θεωρίας αριθμών και αλγεβρικής γεωμετρίας. Η εύρεση λύσεων σε ακέραιες μεταβλητές είναι ένα από τα παλαιότερα μαθηματικά προβλήματα. Ήδη στις αρχές της δεύτερης χιλιετίας π. Χ. οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι κατάφεραν να λύσουν συστήματα εξισώσεων με δύο άγνωστα. Αυτός ο κλάδος των μαθηματικών άκμασε περισσότερο στην αρχαία Ελλάδα. Η αριθμητική του Διόφαντου (περίπου 3ος αιώνας μ. Χ.) είναι μια σημαντική και κύρια πηγή που περιέχει διάφορους τύπους και συστήματα εξισώσεων.
Σε αυτό το βιβλίο, ο Διόφαντος προέβλεψε μια σειρά από μεθόδους για τη μελέτη των ανισοτήτων του δεύτερου και του τρίτουβαθμούς που αναπτύχθηκαν πλήρως τον 19ο αιώνα. Η δημιουργία της θεωρίας των ρητών αριθμών από αυτόν τον ερευνητή της αρχαίας Ελλάδας οδήγησε στην ανάλυση λογικών λύσεων σε αόριστα συστήματα, που ακολουθούνται συστηματικά στο βιβλίο του. Αν και το έργο του περιέχει λύσεις σε συγκεκριμένες Διοφαντικές εξισώσεις, υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι ήταν επίσης εξοικειωμένος με διάφορες γενικές μεθόδους.
Η μελέτη αυτών των ανισοτήτων συνήθως συνδέεται με σοβαρές δυσκολίες. Λόγω του γεγονότος ότι περιέχουν πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές F (x, y1, …, y). Με βάση αυτό, εξήχθησαν τα συμπεράσματα ότι δεν υπάρχει κανένας αλγόριθμος που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να προσδιορίσει για οποιοδήποτε δεδομένο x εάν η εξίσωση F (x, y1, …., y ). Η κατάσταση μπορεί να επιλυθεί για y1, …, y . Παραδείγματα τέτοιων πολυωνύμων μπορούν να γραφούν.
Η απλούστερη ανισότητα
ax + κατά=1, όπου a και b είναι σχετικά ακέραιοι και πρώτοι αριθμοί, έχει τεράστιο αριθμό εκτελέσεων (αν x0, y0 σχηματίζεται το αποτέλεσμα και μετά το ζεύγος των μεταβλητών x=x0 + b και y=y0 -an, όπου το n είναι αυθαίρετο, θα θεωρείται επίσης ως ανισότητα). Ένα άλλο παράδειγμα εξισώσεων Διοφαντίνης είναι το x2 + y2 =z2. Οι θετικές ολοκληρωτικές λύσεις αυτής της ανισότητας είναι τα μήκη των μικρών πλευρών x, y και ορθογωνίων τριγώνων, καθώς και η υποτείνουσα z με ακέραιες πλευρικές διαστάσεις. Αυτοί οι αριθμοί είναι γνωστοί ως Πυθαγόρειοι αριθμοί. Υποδεικνύονται όλα τα τρίδυμα σε σχέση με τον πρώτοΟι παραπάνω μεταβλητές δίνονται με x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, όπου m και n είναι ακέραιοι και πρώτοι αριθμοί (m>n>0).
Ο Διόφαντος στην Αριθμητική του αναζητά ορθολογικές (όχι απαραίτητα ολοκληρωτικές) λύσεις ειδικών τύπων των ανισοτήτων του. Μια γενική θεωρία για την επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πρώτου βαθμού αναπτύχθηκε από τον C. G. Baschet τον 17ο αιώνα. Άλλοι επιστήμονες στις αρχές του 19ου αιώνα μελέτησαν κυρίως παρόμοιες ανισότητες όπως ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, όπου τα a, b, c, d, e και f είναι γενικά, ετερογενή, με δύο αγνώστους δεύτερου βαθμού. Ο Lagrange χρησιμοποίησε συνεχόμενα κλάσματα στη μελέτη του. Ο Gauss για τις τετραγωνικές μορφές ανέπτυξε μια γενική θεωρία στην οποία βασίζονται ορισμένοι τύποι λύσεων.
Στη μελέτη αυτών των ανισοτήτων δεύτερου βαθμού, σημαντική πρόοδος σημειώθηκε μόνο τον 20ο αιώνα. A. Thue βρήκε ότι η Διοφαντική εξίσωση a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, όπου n≧3, a0, …, a , c είναι ακέραιοι αριθμοί και a0tn + …+ a δεν μπορεί να έχει άπειρο αριθμό ακεραίων λύσεων. Ωστόσο, η μέθοδος του Thue δεν αναπτύχθηκε σωστά. Ο A. Baker δημιούργησε αποτελεσματικά θεωρήματα που δίνουν εκτιμήσεις για την απόδοση ορισμένων εξισώσεων αυτού του είδους. Ο BN Delaunay πρότεινε μια άλλη μέθοδο διερεύνησης που να εφαρμόζεται σε μια στενότερη κατηγορία αυτών των ανισοτήτων. Συγκεκριμένα, η μορφή ax3 + y3 =1 είναι πλήρως επιλύσιμη με αυτόν τον τρόπο.
Διοφαντινικές εξισώσεις: μέθοδοι λύσης
Η θεωρία του Διόφαντου έχει πολλές κατευθύνσεις. Έτσι, ένα πολύ γνωστό πρόβλημα σε αυτό το σύστημα είναι η υπόθεση ότι δεν υπάρχει μη τετριμμένη λύση των εξισώσεων Διοφαντίνων xn + y =z n αν n ≧ 3 (ερώτηση Fermat). Η μελέτη των εκπλήρωσης ακεραίων της ανισότητας είναι μια φυσική γενίκευση του προβλήματος των Πυθαγόρειων τριδύμων. Ο Euler έλαβε μια θετική λύση του προβλήματος του Fermat για n=4. Λόγω αυτού του αποτελέσματος, αναφέρεται στην απόδειξη του ακέραιου αριθμού που λείπει, μη μηδενικές μελέτες της εξίσωσης εάν το n είναι περιττός πρώτος αριθμός.
Η μελέτη σχετικά με την απόφαση δεν έχει ολοκληρωθεί. Οι δυσκολίες στην εφαρμογή του σχετίζονται με το γεγονός ότι η απλή παραγοντοποίηση στον δακτύλιο των αλγεβρικών ακεραίων δεν είναι μοναδική. Η θεωρία των διαιρετών σε αυτό το σύστημα για πολλές κατηγορίες πρώτων εκθετών n καθιστά δυνατή την επιβεβαίωση της εγκυρότητας του θεωρήματος του Fermat. Έτσι, η γραμμική Διοφαντινή εξίσωση με δύο άγνωστα ολοκληρώνεται με τις υπάρχουσες μεθόδους και τρόπους.
Τύποι και τύποι εργασιών που περιγράφονται
Η αριθμητική δακτυλίων αλγεβρικών ακεραίων χρησιμοποιείται επίσης σε πολλά άλλα προβλήματα και λύσεις Διοφαντικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, τέτοιες μέθοδοι εφαρμόστηκαν κατά την εκπλήρωση ανισώσεων της μορφής N(a1 x1 +…+ a x)=m, όπου N(a) είναι ο κανόνας του a, και x1, …, xn Βρέθηκαν integral ορθολογικές μεταβλητές. Αυτή η τάξη περιλαμβάνει την εξίσωση Pell x2–dy2=1.
Οι τιμές a1, …, a που εμφανίζονται, αυτές οι εξισώσεις χωρίζονται σε δύο τύπους. Ο πρώτος τύπος - οι λεγόμενες πλήρεις φόρμες - περιλαμβάνει εξισώσεις στις οποίες μεταξύ των a υπάρχουν m γραμμικά ανεξάρτητοι αριθμοί στο πεδίο των ορθολογικών μεταβλητών Q, όπου m=[Q(a1, …, a):Q], στον οποίο υπάρχει ένας βαθμός αλγεβρικών εκθετών Q (a1, …, a ) έναντι του Q. Ημιτελή είδη είναι αυτά στο που ο μέγιστος αριθμός a i μικρότερος από m.
Οι πλήρεις φόρμες είναι απλούστερες, η μελέτη τους είναι πλήρης και όλες οι λύσεις μπορούν να περιγραφούν. Το δεύτερο είδος, το ημιτελές είδος, είναι πιο περίπλοκο και η ανάπτυξη μιας τέτοιας θεωρίας δεν έχει ακόμη ολοκληρωθεί. Τέτοιες εξισώσεις μελετώνται χρησιμοποιώντας διοφαντικές προσεγγίσεις, οι οποίες περιλαμβάνουν την ανισότητα F(x, y)=C, όπου F (x, y) είναι ένα μη αναγώγιμο, ομοιογενές πολυώνυμο βαθμού n≧3. Έτσι, μπορούμε να υποθέσουμε ότι yi→∞. Αντίστοιχα, εάν το yi είναι αρκετά μεγάλο, τότε η ανισότητα θα έρχεται σε αντίθεση με το θεώρημα των Thue, Siegel και Roth, από το οποίο προκύπτει ότι F(x, y)=C, όπου F είναι μια μορφή του τρίτου βαθμού ή παραπάνω, το μη αναγώγιμο δεν μπορεί να έχει άπειρο αριθμό λύσεων.
Πώς να λύσετε μια εξίσωση Διοφαντίου;
Αυτό το παράδειγμα είναι μια μάλλον στενή κατηγορία μεταξύ όλων. Για παράδειγμα, παρά την απλότητά τους, x3 + y3 + z3=N, και x2 +y 2 +z2 +u2 =N δεν περιλαμβάνονται σε αυτή την κατηγορία. Η μελέτη των λύσεων είναι ένας μάλλον προσεκτικά μελετημένος κλάδος των Διοφαντικών εξισώσεων, όπου η βάση είναι η αναπαράσταση με τετραγωνικές μορφές αριθμών. Lagrangeδημιούργησε ένα θεώρημα που λέει ότι η εκπλήρωση υπάρχει για όλα τα φυσικά Ν. Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τριών τετραγώνων (θεώρημα του Gauss), αλλά δεν πρέπει να είναι της μορφής 4a (8K- 1), όπου a και k είναι μη αρνητικοί ακέραιοι εκθέτες.
Ορθολογικές ή ολοκληρωμένες λύσεις σε σύστημα Διοφαντινής εξίσωσης τύπου F (x1, …, x)=a, όπου F (x 1, …, x) είναι μια τετραγωνική μορφή με ακέραιους συντελεστές. Έτσι, σύμφωνα με το θεώρημα Minkowski-Hasse, η ανισότητα ∑aijxixj=b ijΤο και το b είναι ορθολογικό, έχει μια ολοκληρωμένη λύση σε πραγματικούς και p-adic αριθμούς για κάθε πρώτο αριθμό p μόνο εάν είναι επιλύσιμο σε αυτή τη δομή.
Λόγω των εγγενών δυσκολιών, έχει μελετηθεί σε μικρότερο βαθμό η μελέτη αριθμών με αυθαίρετες μορφές τρίτου βαθμού και άνω. Η κύρια μέθοδος εκτέλεσης είναι η μέθοδος των τριγωνομετρικών αθροισμάτων. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των λύσεων της εξίσωσης γράφεται ρητά ως προς το ολοκλήρωμα Fourier. Μετά από αυτό, η μέθοδος περιβάλλοντος χρησιμοποιείται για να εκφράσει τον αριθμό εκπλήρωσης της ανισότητας των αντίστοιχων συνθηκών. Η μέθοδος των τριγωνομετρικών αθροισμάτων εξαρτάται από τα αλγεβρικά χαρακτηριστικά των ανισώσεων. Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός στοιχειωδών μεθόδων για την επίλυση γραμμικών διοφαντικών εξισώσεων.
Διοφαντινική ανάλυση
Τμήμα μαθηματικών, αντικείμενο του οποίου είναι η μελέτη ολοκληρωτικών και ορθολογικών λύσεων συστημάτων εξισώσεων άλγεβρας με μεθόδους γεωμετρίας, από την ίδιασφαίρες. Στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα, η εμφάνιση αυτής της θεωρίας αριθμών οδήγησε στη μελέτη των Διοφαντικών εξισώσεων από ένα αυθαίρετο πεδίο με συντελεστές και οι λύσεις εξετάστηκαν είτε σε αυτό είτε στους δακτυλίους του. Το σύστημα των αλγεβρικών συναρτήσεων αναπτύχθηκε παράλληλα με τους αριθμούς. Η βασική αναλογία μεταξύ των δύο, την οποία τονίστηκε από τον D. Hilbert και, ειδικότερα, τον L. Kronecker, οδήγησε στην ομοιόμορφη κατασκευή διαφόρων αριθμητικών εννοιών, που συνήθως ονομάζονται καθολικές.
Αυτό είναι ιδιαίτερα αισθητό εάν οι υπό μελέτη αλγεβρικές συναρτήσεις σε ένα πεπερασμένο πεδίο σταθερών είναι μία μεταβλητή. Έννοιες όπως η θεωρία πεδίου τάξης, ο διαιρέτης και η διακλάδωση και τα αποτελέσματα αποτελούν μια καλή απεικόνιση των παραπάνω. Αυτή η άποψη υιοθετήθηκε στο σύστημα των Διοφαντικών ανισοτήτων μόνο αργότερα και η συστηματική έρευνα όχι μόνο με αριθμητικούς συντελεστές, αλλά και με συντελεστές που είναι συναρτήσεις, ξεκίνησε μόλις τη δεκαετία του 1950. Ένας από τους καθοριστικούς παράγοντες σε αυτή την προσέγγιση ήταν η ανάπτυξη της αλγεβρικής γεωμετρίας. Η ταυτόχρονη μελέτη των πεδίων αριθμών και συναρτήσεων, που προκύπτουν ως δύο εξίσου σημαντικές πτυχές του ίδιου θέματος, όχι μόνο έδωσε κομψά και πειστικά αποτελέσματα, αλλά οδήγησε στον αμοιβαίο εμπλουτισμό των δύο θεμάτων.
Στην αλγεβρική γεωμετρία, η έννοια της ποικιλίας αντικαθίσταται από ένα μη αμετάβλητο σύνολο ανισώσεων σε ένα δεδομένο πεδίο K και οι λύσεις τους αντικαθίστανται από ορθολογικά σημεία με τιμές σε K ή στην πεπερασμένη προέκτασή του. Μπορεί να πει κανείς ότι το θεμελιώδες πρόβλημα της Διοφαντικής γεωμετρίας είναι η μελέτη των ορθολογικών σημείωνενός αλγεβρικού συνόλου X(K), ενώ το X είναι ορισμένοι αριθμοί στο πεδίο K. Η εκτέλεση ακέραιου αριθμού έχει γεωμετρική σημασία στις γραμμικές Διοφαντικές εξισώσεις.
Μελέτες ανισότητας και επιλογές εκτέλεσης
Όταν μελετάμε ορθολογικά (ή ολοκληρωτικά) σημεία σε αλγεβρικές ποικιλίες, προκύπτει το πρώτο πρόβλημα, που είναι η ύπαρξή τους. Το δέκατο πρόβλημα του Hilbert διατυπώνεται ως το πρόβλημα της εύρεσης μιας γενικής μεθόδου για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Στη διαδικασία δημιουργίας ενός ακριβούς ορισμού του αλγορίθμου και αφού αποδείχθηκε ότι δεν υπάρχουν τέτοιες εκτελέσεις για μεγάλο αριθμό προβλημάτων, το πρόβλημα απέκτησε ένα προφανές αρνητικό αποτέλεσμα και το πιο ενδιαφέρον ερώτημα είναι ο ορισμός των τάξεων των εξισώσεων Διοφαντών για την οποία υπάρχει το παραπάνω σύστημα. Η πιο φυσική προσέγγιση, από αλγεβρική άποψη, είναι η λεγόμενη αρχή Hasse: το αρχικό πεδίο K μελετάται μαζί με τις συμπληρώσεις του Kv σε όλες τις πιθανές εκτιμήσεις. Εφόσον το X(K)=X(Kv) είναι απαραίτητη προϋπόθεση για ύπαρξη, και το σημείο K λαμβάνει υπόψη ότι το σύνολο X(Kv) δεν είναι κενό για όλα v.
Η σημασία έγκειται στο γεγονός ότι συγκεντρώνει δύο προβλήματα. Το δεύτερο είναι πολύ πιο απλό, είναι επιλύσιμο με έναν γνωστό αλγόριθμο. Στη συγκεκριμένη περίπτωση όπου η ποικιλία Χ είναι προβολική, το λήμμα του Hansel και οι γενικεύσεις του καθιστούν δυνατή την περαιτέρω αναγωγή: το πρόβλημα μπορεί να περιοριστεί στη μελέτη ορθολογικών σημείων σε ένα πεπερασμένο πεδίο. Στη συνέχεια αποφασίζει να οικοδομήσει μια ιδέα είτε μέσω συνεπούς έρευνας είτε μέσω πιο αποτελεσματικών μεθόδων.
ΤελευταίοΈνα σημαντικό στοιχείο είναι ότι τα σύνολα X(Kv) δεν είναι κενά για όλα εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό v, επομένως ο αριθμός των συνθηκών είναι πάντα πεπερασμένος και μπορούν να δοκιμαστούν αποτελεσματικά. Ωστόσο, η αρχή του Hasse δεν ισχύει για τις καμπύλες βαθμών. Για παράδειγμα, 3x3 + 4y3=5 έχει πόντους σε όλα τα πεδία p-adic αριθμών και σε σύστημα πραγματικών αριθμών, αλλά δεν έχει ρητά σημεία.
Αυτή η μέθοδος χρησίμευσε ως αφετηρία για την κατασκευή μιας ιδέας που περιγράφει τις τάξεις των κύριων ομοιογενών χώρων των ποικιλιών Abelian για να πραγματοποιηθεί μια "απόκλιση" από την αρχή Hasse. Περιγράφεται με όρους ειδικής δομής που μπορεί να συσχετιστεί με κάθε πολλαπλότητα (ομάδα Tate-Shafarevich). Η κύρια δυσκολία της θεωρίας έγκειται στο γεγονός ότι οι μέθοδοι για τον υπολογισμό των ομάδων είναι δύσκολο να ληφθούν. Αυτή η έννοια έχει επίσης επεκταθεί σε άλλες κατηγορίες αλγεβρικών ποικιλιών.
Αναζήτηση αλγόριθμου για την εκπλήρωση ανισοτήτων
Μια άλλη ευρετική ιδέα που χρησιμοποιείται στη μελέτη των Διοφαντινών εξισώσεων είναι ότι εάν ο αριθμός των μεταβλητών που εμπλέκονται σε ένα σύνολο ανισοτήτων είναι μεγάλος, τότε το σύστημα έχει συνήθως μια λύση. Ωστόσο, αυτό είναι πολύ δύσκολο να αποδειχθεί για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση. Η γενική προσέγγιση σε προβλήματα αυτού του τύπου χρησιμοποιεί αναλυτική θεωρία αριθμών και βασίζεται σε εκτιμήσεις για τριγωνομετρικά αθροίσματα. Αυτή η μέθοδος εφαρμόστηκε αρχικά σε ειδικά είδη εξισώσεων.
Ωστόσο, αργότερα αποδείχθηκε με τη βοήθειά του ότι αν η μορφή περιττού βαθμού είναι F, σε dκαι n μεταβλητές και με ορθολογικούς συντελεστές, τότε το n είναι αρκετά μεγάλο σε σύγκριση με το d, επομένως η προβολική υπερεπιφάνεια F=0 έχει ένα ορθολογικό σημείο. Σύμφωνα με την εικασία του Artin, αυτό το αποτέλεσμα είναι αληθές ακόμα και αν n > d2. Αυτό έχει αποδειχθεί μόνο για τις τετραγωνικές μορφές. Παρόμοια προβλήματα μπορούν να τεθούν και σε άλλα πεδία. Το κεντρικό πρόβλημα της Διοφαντικής γεωμετρίας είναι η δομή του συνόλου των ακεραίων ή ορθολογικών σημείων και η μελέτη τους και το πρώτο ερώτημα που πρέπει να διευκρινιστεί είναι αν αυτό το σύνολο είναι πεπερασμένο. Σε αυτό το πρόβλημα, η κατάσταση έχει συνήθως έναν πεπερασμένο αριθμό εκτελέσεων εάν ο βαθμός του συστήματος είναι πολύ μεγαλύτερος από τον αριθμό των μεταβλητών. Αυτή είναι η βασική υπόθεση.
Ανισότητες σε γραμμές και καμπύλες
Η ομάδα X(K) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα άμεσο άθροισμα μιας ελεύθερης δομής κατάταξης r και μιας πεπερασμένης ομάδας τάξης n. Από τη δεκαετία του 1930, έχει μελετηθεί το ερώτημα εάν αυτοί οι αριθμοί οριοθετούνται στο σύνολο όλων των ελλειπτικών καμπυλών σε ένα δεδομένο πεδίο Κ. Το όριο της στρέψης n καταδείχθηκε στη δεκαετία του εβδομήντα. Υπάρχουν καμπύλες αυθαίρετης υψηλής κατάταξης στη λειτουργική περίπτωση. Στην αριθμητική περίπτωση, δεν υπάρχει ακόμα απάντηση σε αυτήν την ερώτηση.
Τέλος, η εικασία του Mordell δηλώνει ότι ο αριθμός των ολοκληρωτικών σημείων είναι πεπερασμένος για μια καμπύλη του γένους g>1. Στη λειτουργική περίπτωση, αυτή η έννοια καταδείχθηκε από τον Yu. I. Manin το 1963. Το κύριο εργαλείο που χρησιμοποιείται για την απόδειξη θεωρημάτων πεπερασμένου στη Διοφαντινή γεωμετρία είναι το ύψος. Από τις αλγεβρικές ποικιλίες, οι διαστάσεις πάνω από τη μία είναι αβελιανέςοι πολλαπλότητες, οι οποίες είναι τα πολυδιάστατα ανάλογα των ελλειπτικών καμπυλών, έχουν μελετηθεί καλύτερα.
Α. Ο Weil γενίκευσε το θεώρημα για το πεπερασμένο αριθμό γεννητριών μιας ομάδας ορθολογικών σημείων σε ποικιλίες Abelian οποιασδήποτε διάστασης (η έννοια Mordell-Weil), επεκτείνοντάς το. Στη δεκαετία του 1960, εμφανίστηκε η εικασία των Birch και Swinnerton-Dyer, βελτιώνοντας αυτό και την ομάδα και τις ζήτα λειτουργίες της πολλαπλής. Αριθμητικά στοιχεία υποστηρίζουν αυτήν την υπόθεση.
Πρόβλημα επιλύσεως
Το πρόβλημα της εύρεσης ενός αλγορίθμου που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προσδιοριστεί εάν οποιαδήποτε εξίσωση Διοφαντίνης έχει λύση. Βασικό χαρακτηριστικό του προβλήματος που τίθεται είναι η αναζήτηση μιας καθολικής μεθόδου που θα ήταν κατάλληλη για οποιαδήποτε ανισότητα. Μια τέτοια μέθοδος θα επέτρεπε επίσης την επίλυση των παραπάνω συστημάτων, αφού ισοδυναμεί με P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 ή p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Το πρόβλημα της εύρεσης ενός τέτοιου καθολικού τρόπου για την εύρεση λύσεων για γραμμικές ανισότητες σε ακέραιους τέθηκε από τον D. Gilbert.
Στις αρχές της δεκαετίας του 1950, εμφανίστηκαν οι πρώτες μελέτες που στόχευαν στην απόδειξη της μη ύπαρξης αλγορίθμου για την επίλυση εξισώσεων Διοφαντίνων. Εκείνη την εποχή εμφανίστηκε η εικασία Davis, που έλεγε ότι οποιοδήποτε αναρίθμητο σύνολο ανήκει και στον Έλληνα επιστήμονα. Επειδή τα παραδείγματα αλγοριθμικά μη καθορισμένων συνόλων είναι γνωστά, αλλά είναι αναδρομικά απαριθμήσιμα. Από αυτό προκύπτει ότι η εικασία Davis είναι αληθής και το πρόβλημα της επιλυτότητας αυτών των εξισώσεωνέχει αρνητική εκτέλεση.
Μετά από αυτό, για την εικασία Davis, μένει να αποδειχθεί ότι υπάρχει μια μέθοδος για τον μετασχηματισμό μιας ανισότητας που επίσης (ή δεν είχε) ταυτόχρονα μια λύση. Αποδείχθηκε ότι μια τέτοια αλλαγή της εξίσωσης Διοφαντίνης είναι δυνατή εάν έχει τις παραπάνω δύο ιδιότητες: 1) σε οποιαδήποτε λύση αυτού του τύπου v ≦ uu; 2) για οποιοδήποτε k, υπάρχει μια εκτέλεση με εκθετική αύξηση.
Ένα παράδειγμα γραμμικής Διοφαντινής εξίσωσης αυτής της κατηγορίας ολοκλήρωσε την απόδειξη. Το πρόβλημα της ύπαρξης ενός αλγορίθμου για τη διαλυτότητα και την αναγνώριση αυτών των ανισώσεων σε ορθολογικούς αριθμούς εξακολουθεί να θεωρείται σημαντικό και ανοιχτό ερώτημα που δεν έχει μελετηθεί επαρκώς.
