Για τον προσδιορισμό της παραλληλότητας και της καθετότητας των επιπέδων, καθώς και για τον υπολογισμό των αποστάσεων μεταξύ αυτών των γεωμετρικών αντικειμένων, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε έναν ή άλλο τύπο αριθμητικών συναρτήσεων. Για ποια προβλήματα είναι βολικό να χρησιμοποιούμε την εξίσωση ενός επιπέδου σε τμήματα; Σε αυτό το άρθρο, θα δούμε τι είναι και πώς να το χρησιμοποιήσετε σε πρακτικές εργασίες.
Τι είναι μια εξίσωση σε ευθύγραμμα τμήματα;
Ένα επίπεδο μπορεί να οριστεί στον τρισδιάστατο χώρο με διάφορους τρόπους. Σε αυτό το άρθρο, μερικά από αυτά θα δοθούν κατά την επίλυση προβλημάτων διαφόρων τύπων. Εδώ δίνουμε μια λεπτομερή περιγραφή της εξίσωσης σε τμήματα του επιπέδου. Γενικά έχει την ακόλουθη μορφή:
x/p + y/q + z/r=1.
Όπου τα σύμβολα p, q, r δηλώνουν ορισμένους συγκεκριμένους αριθμούς. Αυτή η εξίσωση μπορεί εύκολα να μεταφραστεί σε μια γενική έκφραση και σε άλλες μορφές αριθμητικών συναρτήσεων για το επίπεδο.
Η ευκολία της εγγραφής της εξίσωσης σε τμήματα έγκειται στο γεγονός ότι περιέχει τις ρητές συντεταγμένες της τομής του επιπέδου με κάθετους άξονες συντεταγμένων. Στον άξονα xσε σχέση με την αρχή, το επίπεδο αποκόπτει ένα τμήμα μήκους p, στον άξονα y - ίσο με q, στο z - μήκους r.
Αν καμία από τις τρεις μεταβλητές δεν περιέχεται στην εξίσωση, τότε αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο δεν διέρχεται από τον αντίστοιχο άξονα (οι μαθηματικοί λένε ότι διασχίζει στο άπειρο).
Στη συνέχεια, ακολουθούν ορισμένα προβλήματα στα οποία θα δείξουμε πώς να εργαστείτε με αυτήν την εξίσωση.
Επικοινωνία της γενικής και σε τμήματα των εξισώσεων
Είναι γνωστό ότι το επίπεδο δίνεται από την ακόλουθη ισότητα:
2x - 3y + z - 6=0.
Είναι απαραίτητο να γράψετε αυτή τη γενική εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα.
Όταν προκύπτει ένα παρόμοιο πρόβλημα, πρέπει να ακολουθήσετε αυτήν την τεχνική: μεταφέρουμε τον ελεύθερο όρο στη δεξιά πλευρά της ισότητας. Στη συνέχεια διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με αυτόν τον όρο, προσπαθώντας να την εκφράσουμε με τη μορφή που δίνεται στην προηγούμενη παράγραφο. Έχουμε:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Έχουμε λάβει στα τμήματα την εξίσωση του επιπέδου, που δίνεται αρχικά σε γενική μορφή. Είναι αξιοσημείωτο ότι το επίπεδο αποκόπτει τμήματα με μήκη 3, 2 και 6 για τους άξονες x, y και z, αντίστοιχα. Ο άξονας y τέμνει το επίπεδο στην περιοχή των αρνητικών συντεταγμένων.
Όταν συντάσσετε μια εξίσωση σε τμήματα, είναι σημαντικό όλες οι μεταβλητές να προηγούνται από το σύμβολο "+". Μόνο σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός με τον οποίο διαιρείται αυτή η μεταβλητή θα δείχνει την αποκοπή της συντεταγμένης στον άξονα.
Κανονικό διάνυσμα και σημείο στο επίπεδο
Είναι γνωστό ότι κάποιο επίπεδο έχει διάνυσμα κατεύθυνσης (3; 0; -1). Είναι επίσης γνωστό ότι διέρχεται από το σημείο (1; 1; 1). Για αυτό το επίπεδο, γράψτε μια εξίσωση σε τμήματα.
Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, θα πρέπει πρώτα να χρησιμοποιήσετε το γενικό σχήμα για αυτό το δισδιάστατο γεωμετρικό αντικείμενο. Η γενική φόρμα γράφεται ως:
Ax + By + Cz + D=0.
Οι τρεις πρώτοι συντελεστές εδώ είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος οδηγού, το οποίο καθορίζεται στη δήλωση προβλήματος, δηλαδή:
A=3;
B=0;
C=-1.
Απομένει να βρούμε τον ελεύθερο όρο D. Μπορεί να προσδιοριστεί από τον ακόλουθο τύπο:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Όπου οι τιμές συντεταγμένων με δείκτη 1 αντιστοιχούν στις συντεταγμένες ενός σημείου που ανήκει στο επίπεδο. Αντικαθιστούμε τις τιμές τους από την κατάσταση του προβλήματος, παίρνουμε:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Τώρα μπορείτε να γράψετε την πλήρη εξίσωση:
3x - z - 2=0.
Η τεχνική για τη μετατροπή αυτής της έκφρασης σε εξίσωση σε τμήματα του επιπέδου έχει ήδη αποδειχθεί παραπάνω. Εφαρμόστε το:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Η απάντηση στο πρόβλημα ελήφθη. Σημειώστε ότι αυτό το επίπεδο τέμνει μόνο τους άξονες x και z. Για το y είναι παράλληλο.
Δύο ευθείες γραμμές που ορίζουν ένα επίπεδο
Από το μάθημα της χωρικής γεωμετρίας, κάθε μαθητής γνωρίζει ότι δύο αυθαίρετες γραμμές ορίζουν μοναδικά ένα επίπεδο σετρισδιάστατο χώρο. Ας λύσουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα.
Δύο εξισώσεις ευθειών είναι γνωστές:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Είναι απαραίτητο να γράψετε την εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα, που διέρχονται από αυτές τις γραμμές.
Δεδομένου ότι και οι δύο ευθείες πρέπει να βρίσκονται στο επίπεδο, αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματά τους (οδηγοί) πρέπει να είναι κάθετα στο διάνυσμα (οδηγός) για το επίπεδο. Ταυτόχρονα, είναι γνωστό ότι το διανυσματικό γινόμενο αυθαίρετων δύο κατευθυνόμενων τμημάτων δίνει το αποτέλεσμα με τη μορφή συντεταγμένων του τρίτου, κάθετα στα δύο αρχικά. Δεδομένης αυτής της ιδιότητας, λαμβάνουμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος κάθετου στο επιθυμητό επίπεδο:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Δεδομένου ότι μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν αυθαίρετο αριθμό, αυτό σχηματίζει ένα νέο κατευθυνόμενο τμήμα παράλληλο με το αρχικό, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το πρόσημο των συντεταγμένων που λήφθηκαν με το αντίθετο (πολλαπλασιασμός με -1), παίρνουμε:
(1; 2; 1).
Γνωρίζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης. Απομένει να πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο μιας από τις ευθείες γραμμές και να συντάξουμε τη γενική εξίσωση του επιπέδου:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Μεταφράζοντας αυτήν την ισότητα σε έκφραση σε τμήματα, παίρνουμε:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Έτσι, το επίπεδο τέμνει και τους τρεις άξονες στη θετική περιοχή του συστήματος συντεταγμένων.
Τρεις πόντοι και ένα επίπεδο
Ακριβώς όπως δύο ευθείες γραμμές, τρία σημεία ορίζουν ένα επίπεδο μοναδικά στον τρισδιάστατο χώρο. Γράφουμε την αντίστοιχη εξίσωση σε τμήματα αν είναι γνωστές οι ακόλουθες συντεταγμένες των σημείων που βρίσκονται στο επίπεδο:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Ας κάνουμε τα εξής: υπολογίστε τις συντεταγμένες δύο αυθαίρετων διανυσμάτων που συνδέουν αυτά τα σημεία και, στη συνέχεια, βρείτε το διάνυσμα n¯ κάθετο στο επίπεδο, υπολογίζοντας το γινόμενο των κατευθυνόμενων τμημάτων που βρέθηκαν. Παίρνουμε:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Πάρτε το σημείο P ως παράδειγμα, συνθέστε την εξίσωση του επιπέδου:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 ή z=0.
Πήραμε μια απλή έκφραση που αντιστοιχεί στο επίπεδο xy στο δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Δεν μπορεί να γραφτεί σε τμήματα, καθώς οι άξονες x και y ανήκουν στο επίπεδο και το μήκος του τμήματος που αποκόπτεται στον άξονα z είναι μηδέν (το σημείο (0; 0; 0) ανήκει στο επίπεδο).
