Συχνά στη φυσική πρέπει να λύσει κανείς προβλήματα για τον υπολογισμό της ισορροπίας σε πολύπλοκα συστήματα που έχουν πολλές δυνάμεις που δρουν, μοχλούς και άξονες περιστροφής. Σε αυτή την περίπτωση, είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσετε την έννοια της ροπής δύναμης. Αυτό το άρθρο παρέχει όλους τους απαραίτητους τύπους με λεπτομερείς επεξηγήσεις που θα πρέπει να χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων του συγκεκριμένου τύπου.
Τι θα μιλήσουμε;
Πολλοί άνθρωποι πιθανώς παρατήρησαν ότι εάν ενεργήσετε με οποιαδήποτε δύναμη σε ένα αντικείμενο που είναι σταθερό σε ένα συγκεκριμένο σημείο, αυτό αρχίζει να περιστρέφεται. Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα είναι η πόρτα του σπιτιού ή του δωματίου. Αν το πιάσετε από τη λαβή και πιέσετε (ασκήστε δύναμη), τότε θα αρχίσει να ανοίγει (ανοίγετε τους μεντεσέδες του). Αυτή η διαδικασία είναι μια εκδήλωση στην καθημερινή ζωή της δράσης μιας φυσικής ποσότητας, η οποία ονομάζεται στιγμή της δύναμης.
Από το περιγραφόμενο παράδειγμα με την πόρτα προκύπτει ότι η εν λόγω τιμή υποδηλώνει την ικανότητα της δύναμης να περιστρέφεται, που είναι η φυσική της σημασία. Επίσης αυτή η τιμήονομάζεται ροπή στρέψης.
Προσδιορισμός της ροπής δύναμης
Πριν ορίσουμε την υπό εξέταση ποσότητα, ας πάρουμε μια απλή εικόνα.
Έτσι, το σχήμα δείχνει έναν μοχλό (μπλε), ο οποίος είναι στερεωμένος στον άξονα (πράσινο). Αυτός ο μοχλός έχει μήκος d και στο άκρο του ασκείται δύναμη F. Τι θα συμβεί με το σύστημα σε αυτήν την περίπτωση; Σωστά, ο μοχλός θα αρχίσει να περιστρέφεται αριστερόστροφα όταν τον δείτε από πάνω (σημειώστε ότι αν τεντώσετε λίγο τη φαντασία σας και φανταστείτε ότι η θέα κατευθύνεται από κάτω προς το μοχλό, τότε θα περιστρέφεται δεξιόστροφα).
Έστω το σημείο προσάρτησης του άξονα Ο και το σημείο εφαρμογής της δύναμης - P. Τότε, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη μαθηματική παράσταση:
OP¯ F¯=M¯FO.
Όπου OP¯ είναι το διάνυσμα που κατευθύνεται από τον άξονα προς το άκρο του μοχλού, ονομάζεται επίσης μοχλός δύναμης, F¯ Τοείναι το διάνυσμα που εφαρμόζεται στο σημείο P και το M¯FO είναι η ροπή δύναμης γύρω από το σημείο O (άξονας). Αυτός ο τύπος είναι ο μαθηματικός ορισμός της εν λόγω φυσικής ποσότητας.
Κανόνας κατεύθυνσης στιγμής και δεξιού χεριού
Η παραπάνω έκφραση είναι διασταυρούμενο προϊόν. Όπως γνωρίζετε, το αποτέλεσμά του είναι επίσης ένα διάνυσμα που είναι κάθετο στο επίπεδο που διέρχεται από τα αντίστοιχα διανύσματα πολλαπλασιαστή. Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται από δύο κατευθύνσεις της τιμής M¯FO (κάτω και πάνω).
Με μοναδικό τρόποΓια να προσδιορίσετε, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον λεγόμενο κανόνα του δεξιού χεριού. Μπορεί να διατυπωθεί με αυτόν τον τρόπο: εάν λυγίσετε τέσσερα δάχτυλα του δεξιού σας χεριού σε ένα μισό τόξο και κατευθύνετε αυτό το μισό τόξο έτσι ώστε να πηγαίνει κατά μήκος του πρώτου διανύσματος (ο πρώτος παράγοντας στον τύπο) και να πάει στο τέλος του το δεύτερο, τότε ο αντίχειρας που προεξέχει προς τα πάνω θα υποδεικνύει την κατεύθυνση της στιγμής στρέψης. Σημειώστε επίσης ότι πριν χρησιμοποιήσετε αυτόν τον κανόνα, πρέπει να ορίσετε τα πολλαπλασιασμένα διανύσματα έτσι ώστε να βγαίνουν από το ίδιο σημείο (η αρχή τους πρέπει να ταιριάζει).
Στην περίπτωση του σχήματος της προηγούμενης παραγράφου, μπορούμε να πούμε, εφαρμόζοντας τον κανόνα του δεξιού χεριού, ότι η στιγμή της δύναμης σε σχέση με τον άξονα θα κατευθυνθεί προς τα πάνω, δηλαδή προς εμάς.
Εκτός από τη χαρακτηρισμένη μέθοδο προσδιορισμού της κατεύθυνσης του διανύσματος M¯FO, υπάρχουν ακόμη δύο. Εδώ είναι:
- Η ροπή στρέψης θα κατευθυνθεί με τέτοιο τρόπο ώστε αν κοιτάξετε τον περιστρεφόμενο μοχλό από το τέλος του διανύσματός του, ο τελευταίος θα κινηθεί αντίθετα με το ρολόι. Είναι γενικά αποδεκτό να θεωρείται αυτή η κατεύθυνση της στιγμής ως θετική κατά την επίλυση διαφόρων ειδών προβλημάτων.
- Εάν στρίψετε το όργανο δεξιόστροφα, η ροπή θα κατευθύνεται προς την κίνηση (εμβάθυνση) του τζίμπλα.
Όλοι οι παραπάνω ορισμοί είναι ισοδύναμοι, επομένως ο καθένας μπορεί να επιλέξει αυτόν που του ταιριάζει.
Έτσι, διαπιστώθηκε ότι η κατεύθυνση της ροπής της δύναμης είναι παράλληλη προς τον άξονα γύρω από τον οποίο περιστρέφεται ο αντίστοιχος μοχλός.
Γωνιακή δύναμη
Σκεφτείτε την παρακάτω εικόνα.
Εδώ βλέπουμε επίσης έναν μοχλό μήκους L στερεωμένο σε ένα σημείο (που υποδεικνύεται με ένα βέλος). Πάνω του δρα μια δύναμη F, ωστόσο, κατευθύνεται σε μια ορισμένη γωνία Φ (phi) στον οριζόντιο μοχλό. Η κατεύθυνση της στιγμής M¯FO σε αυτήν την περίπτωση θα είναι η ίδια όπως στο προηγούμενο σχήμα (σε εμάς). Για να υπολογίσετε την απόλυτη τιμή ή συντελεστή αυτής της ποσότητας, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα cross product. Σύμφωνα με αυτόν, για το υπό εξέταση παράδειγμα, μπορείτε να γράψετε την έκφραση: MFO=LFsin(180 o -Φ) ή, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα sine, ξαναγράφουμε:
MFO=LFsin(Φ).
Το σχήμα δείχνει επίσης ένα ολοκληρωμένο ορθογώνιο τρίγωνο, οι πλευρές του οποίου είναι ο ίδιος ο μοχλός (υποτείνουσα), η γραμμή δράσης της δύναμης (πόδι) και η πλευρά μήκους d (το δεύτερο σκέλος). Δεδομένου ότι sin(Φ)=d/L, αυτός ο τύπος θα έχει τη μορφή: MFO=dF. Μπορεί να φανεί ότι η απόσταση d είναι η απόσταση από το σημείο προσάρτησης του μοχλού στη γραμμή δράσης της δύναμης, δηλαδή, d είναι ο μοχλός δύναμης.
Και οι δύο τύποι που εξετάζονται σε αυτήν την παράγραφο, οι οποίοι απορρέουν απευθείας από τον ορισμό της ροπής στρέψης, είναι χρήσιμοι για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων.
Μονάδες ροπής
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, μπορεί να διαπιστωθεί ότι η τιμή MFOθα πρέπει να μετρηθεί σε newton ανά μέτρο (Nm). Πράγματι, με τη μορφή αυτών των μονάδων, χρησιμοποιείται στο SI.
Σημειώστε ότι το Nm είναι μια μονάδα εργασίας, η οποία εκφράζεται σε τζάουλ, όπως η ενέργεια. Ωστόσο, τα τζάουλ δεν χρησιμοποιούνται για την έννοια της ροπής δύναμης, καθώς αυτή η τιμή αντικατοπτρίζει ακριβώς τη δυνατότητα εφαρμογής της τελευταίας. Ωστόσο, υπάρχει μια σύνδεση με τη μονάδα εργασίας: εάν, ως αποτέλεσμα της δύναμης F, ο μοχλός περιστραφεί πλήρως γύρω από το σημείο περιστροφής O, τότε η εργασία που θα γίνει θα είναι ίση με A=MF O 2pi (2pi είναι η γωνία σε ακτίνια που αντιστοιχεί σε 360o). Σε αυτήν την περίπτωση, η μονάδα ροπής MFO μπορεί να εκφραστεί σε τζάουλ ανά ακτίνιο (J/rad.). Το τελευταίο, μαζί με το Hm, χρησιμοποιείται επίσης στο σύστημα SI.
Θεώρημα Varignon
Στα τέλη του 17ου αιώνα, ο Γάλλος μαθηματικός Pierre Varignon, μελετώντας την ισορροπία συστημάτων με μοχλούς, διατύπωσε για πρώτη φορά το θεώρημα, που τώρα φέρει το επίθετό του. Διατυπώνεται ως εξής: η συνολική ροπή πολλών δυνάμεων είναι ίση με τη ροπή της προκύπτουσας μίας δύναμης, η οποία εφαρμόζεται σε ένα ορισμένο σημείο σε σχέση με τον ίδιο άξονα περιστροφής. Μαθηματικά, μπορεί να γραφτεί ως εξής:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Αυτό το θεώρημα είναι βολικό στη χρήση για τον υπολογισμό των στρεπτικών ροπών σε συστήματα με πολλαπλές δυνάμεις που δρουν.
Στη συνέχεια, δίνουμε ένα παράδειγμα χρήσης των παραπάνω τύπων για την επίλυση προβλημάτων στη φυσική.
Πρόβλημα με κλειδί
Ένα απόΈνα εντυπωσιακό παράδειγμα απόδειξης της σημασίας του να λαμβάνεται υπόψη η στιγμή της δύναμης είναι η διαδικασία ξεβιδώματος των παξιμαδιών με ένα κλειδί. Για να ξεβιδώσετε το παξιμάδι, πρέπει να εφαρμόσετε λίγη ροπή. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε πόση δύναμη πρέπει να ασκηθεί στο σημείο Α για να ξεκινήσετε να ξεβιδώνετε το παξιμάδι, εάν αυτή η δύναμη στο σημείο Β είναι 300 N (δείτε το παρακάτω σχήμα).
Από το παραπάνω σχήμα, ακολουθούν δύο σημαντικά πράγματα: πρώτον, η απόσταση ΟΒ είναι διπλάσια από αυτή της ΟΑ. δεύτερον, οι δυνάμεις FA και FBκατευθύνονται κάθετα στον αντίστοιχο μοχλό με τον άξονα περιστροφής να συμπίπτει με το κέντρο του περικοχλίου (σημείο O).
Η ροπή ροπής για αυτήν την περίπτωση μπορεί να γραφτεί σε βαθμωτή μορφή ως εξής: M=OBFB=OAFA. Εφόσον OB/OA=2, αυτή η ισότητα θα ισχύει μόνο εάν το FA είναι 2 φορές μεγαλύτερο από το FB. Από την προϋπόθεση του προβλήματος, λαμβάνουμε ότι FA=2300=600 N. Δηλαδή, όσο μεγαλύτερο είναι το κλειδί, τόσο πιο εύκολο είναι να ξεβιδώσετε το παξιμάδι.
Πρόβλημα με δύο μπάλες διαφορετικής μάζας
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα σύστημα που βρίσκεται σε ισορροπία. Είναι απαραίτητο να βρούμε τη θέση του υποστηρίγματος εάν το μήκος της σανίδας είναι 3 μέτρα.
Δεδομένου ότι το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία, το άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων είναι ίσο με μηδέν. Υπάρχουν τρεις δυνάμεις που δρουν στον πίνακα (τα βάρη των δύο σφαιρών και η δύναμη αντίδρασης του στηρίγματος). Εφόσον η δύναμη στήριξης δεν δημιουργεί ροπή ροπής (το μήκος του μοχλού είναι μηδέν), υπάρχουν μόνο δύο ροπές που δημιουργούνται από το βάρος των σφαιρών.
Έστω το σημείο ισορροπίας σε απόσταση x απόάκρη που περιέχει μπάλα 100 κιλών. Τότε μπορούμε να γράψουμε την ισότητα: M1-M2=0. Δεδομένου ότι το βάρος του σώματος καθορίζεται από τον τύπο mg, τότε έχουμε: m 1gx - m2g(3-x)=0. Μειώνουμε το g και αντικαθιστούμε τα δεδομένα, παίρνουμε: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m ή 14,3 cm.
Έτσι, για να είναι το σύστημα σε ισορροπία, είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί ένα σημείο αναφοράς σε απόσταση 14,3 cm από την άκρη, όπου θα βρίσκεται μια μπάλα μάζας 100 kg.
