Ένα από τα κοινά προβλήματα στη στερεομετρία είναι οι εργασίες διασταύρωσης ευθειών και επιπέδων και υπολογισμού των γωνιών μεταξύ τους. Ας εξετάσουμε σε αυτό το άρθρο με περισσότερες λεπτομέρειες τη λεγόμενη μέθοδο συντεταγμένων και τις γωνίες μεταξύ της ευθείας και του επιπέδου.
Γραμμή και επίπεδο στη γεωμετρία
Πριν εξετάσετε τη μέθοδο συντεταγμένων και τη γωνία μεταξύ μιας ευθείας και ενός επιπέδου, θα πρέπει να εξοικειωθείτε με τα ονομαζόμενα γεωμετρικά αντικείμενα.
Μια ευθεία είναι μια τέτοια συλλογή σημείων στο διάστημα ή σε ένα επίπεδο, καθένα από τα οποία μπορεί να ληφθεί μεταφέροντας γραμμικά το προηγούμενο σε ένα συγκεκριμένο διάνυσμα. Στη συνέχεια, συμβολίζουμε αυτό το διάνυσμα με το σύμβολο u¯. Αν αυτό το διάνυσμα πολλαπλασιαστεί με οποιονδήποτε αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν, τότε παίρνουμε ένα διάνυσμα παράλληλο στο u¯. Μια γραμμή είναι ένα γραμμικό άπειρο αντικείμενο.
Ένα επίπεδο είναι επίσης μια συλλογή σημείων που βρίσκονται με τέτοιο τρόπο ώστε αν σχηματίσετε αυθαίρετα διανύσματα από αυτά, τότε όλα θα είναι κάθετα σε κάποιο διάνυσμα n¯. Το τελευταίο ονομάζεται κανονικό ή απλά κανονικό. Ένα επίπεδο, σε αντίθεση με μια ευθεία γραμμή, είναι ένα δισδιάστατο άπειρο αντικείμενο.
Μέθοδος συντεταγμένων για την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας
Με βάση το όνομα της ίδιας της μεθόδου, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι μιλάμε για μια μέθοδο επίλυσης προβλημάτων, η οποία βασίζεται στην απόδοση αναλυτικών διαδοχικών υπολογισμών. Με άλλα λόγια, η μέθοδος συντεταγμένων σας επιτρέπει να λύσετε γεωμετρικά προβλήματα χρησιμοποιώντας εργαλεία καθολικής άλγεβρας, τα κύρια από τα οποία είναι οι εξισώσεις.
Πρέπει να σημειωθεί ότι η υπό εξέταση μέθοδος εμφανίστηκε στην αυγή της σύγχρονης γεωμετρίας και της άλγεβρας. Μεγάλη συνεισφορά στην ανάπτυξή του είχε ο Ρενέ Ντεκάρτ, ο Πιέρ ντε Φερμά, ο Ισαάκ Νεύτωνας και ο Λάιμπνιτς τον 17ο-18ο αιώνα.
Η ουσία της μεθόδου είναι να υπολογιστούν οι αποστάσεις, οι γωνίες, τα εμβαδά και οι όγκοι των γεωμετρικών στοιχείων με βάση τις συντεταγμένες γνωστών σημείων. Σημειώστε ότι η μορφή των τελικών εξισώσεων που λαμβάνονται εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων. Τις περισσότερες φορές, το ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα χρησιμοποιείται σε προβλήματα, καθώς είναι πιο βολικό να εργαστείτε μαζί του.
Εξίσωση γραμμής
Λαμβάνοντας υπόψη τη μέθοδο συντεταγμένων και τις γωνίες μεταξύ της ευθείας και του επιπέδου, ας ξεκινήσουμε με τον καθορισμό της εξίσωσης της ευθείας. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναπαράστασης γραμμών σε αλγεβρική μορφή. Εδώ εξετάζουμε μόνο τη διανυσματική εξίσωση, καθώς μπορεί εύκολα να ληφθεί από αυτήν σε οποιαδήποτε άλλη μορφή και είναι εύκολο να εργαστείτε μαζί της.
Υποθέστε ότι υπάρχουν δύο σημεία: P και Q. Είναι γνωστό ότι μπορεί να τραβηχτεί μια γραμμή μέσα από αυτά, καιθα είναι το μόνο. Η αντίστοιχη μαθηματική αναπαράσταση του στοιχείου μοιάζει με αυτό:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Όπου PQ¯ είναι ένα διάνυσμα του οποίου οι συντεταγμένες λαμβάνονται ως εξής:
PQ¯=Q - P.
Το σύμβολο λ υποδηλώνει μια παράμετρο που μπορεί να πάρει απολύτως οποιονδήποτε αριθμό.
Στη γραπτή έκφραση, μπορείτε να αλλάξετε την κατεύθυνση του διανύσματος και επίσης να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες Q αντί για το σημείο P. Όλοι αυτοί οι μετασχηματισμοί δεν θα οδηγήσουν σε αλλαγή στη γεωμετρική θέση της γραμμής.
Σημειώστε ότι κατά την επίλυση προβλημάτων, μερικές φορές απαιτείται η αναπαράσταση της γραπτής διανυσματικής εξίσωσης σε ρητή (παραμετρική) μορφή.
Ρύθμιση επιπέδου στο διάστημα
Όπως και για μια ευθεία γραμμή, υπάρχουν επίσης διάφορες μορφές μαθηματικών εξισώσεων για ένα επίπεδο. Μεταξύ αυτών, σημειώνουμε το διάνυσμα, την εξίσωση σε τμήματα και τη γενική μορφή. Σε αυτό το άρθρο, θα δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στην τελευταία φόρμα.
Μια γενική εξίσωση για ένα αυθαίρετο επίπεδο μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Ax + By + Cz + D=0.
Τα λατινικά κεφαλαία γράμματα είναι ορισμένοι αριθμοί που ορίζουν ένα επίπεδο.
Η ευκολία αυτής της σημείωσης είναι ότι περιέχει ρητά ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο. Είναι ίσο με:
n¯=(A, B, C).
Η γνώση αυτού του διανύσματος καθιστά δυνατό, κοιτάζοντας εν συντομία την εξίσωση του επιπέδου, να φανταστούμε τη θέση του τελευταίου στο σύστημα συντεταγμένων.
Αμοιβαία συμφωνία σεχώρος γραμμής και επιπέδου
Στην επόμενη παράγραφο του άρθρου θα προχωρήσουμε στην εξέταση της μεθόδου συντεταγμένων και της γωνίας μεταξύ της ευθείας και του επιπέδου. Εδώ θα απαντήσουμε στο ερώτημα πώς μπορούν να εντοπιστούν τα θεωρούμενα γεωμετρικά στοιχεία στο χώρο. Υπάρχουν τρεις τρόποι:
- Η ευθεία τέμνει το επίπεδο. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων, μπορείτε να υπολογίσετε σε ποιο σημείο τέμνονται η ευθεία και το επίπεδο.
- Το επίπεδο μιας ευθείας είναι παράλληλο. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα εξισώσεων των γεωμετρικών στοιχείων δεν έχει λύση. Για να αποδειχθεί ο παραλληλισμός, χρησιμοποιείται συνήθως η ιδιότητα του βαθμωτού γινόμενου του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας γραμμής και του κανονικού του επιπέδου.
- Το επίπεδο περιέχει μια γραμμή. Λύνοντας το σύστημα εξισώσεων σε αυτή την περίπτωση, θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου λ προκύπτει η σωστή ισότητα.
Στη δεύτερη και τρίτη περίπτωση, η γωνία μεταξύ των καθορισμένων γεωμετρικών αντικειμένων είναι ίση με μηδέν. Στην πρώτη περίπτωση, βρίσκεται μεταξύ 0 και 90o.
Υπολογισμός γωνιών μεταξύ ευθειών και επιπέδων
Πάμε τώρα απευθείας στο θέμα του άρθρου. Οποιαδήποτε τομή μιας γραμμής και ενός επιπέδου συμβαίνει σε κάποια γωνία. Αυτή η γωνία σχηματίζεται από την ίδια την ευθεία και την προβολή της στο επίπεδο. Μια προβολή μπορεί να ληφθεί εάν από οποιοδήποτε σημείο μιας ευθείας γραμμής μια κάθετη χαμηλώσει στο επίπεδο και στη συνέχεια μέσω του ληφθέντος σημείου τομής του επιπέδου και της κάθετης και του σημείου τομής του επιπέδου και της αρχικής γραμμής, σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή που θα είναι προβολή.
Ο υπολογισμός των γωνιών μεταξύ ευθειών και επιπέδων δεν είναι δύσκολη υπόθεση. Για να το λύσουμε αρκεί να γνωρίζουμε τις εξισώσεις των αντίστοιχων γεωμετρικών αντικειμένων. Ας υποθέσουμε ότι αυτές οι εξισώσεις μοιάζουν με αυτό:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Η επιθυμητή γωνία βρίσκεται εύκολα χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του γινομένου των βαθμωτών διανυσμάτων u¯ και n¯. Ο τελικός τύπος μοιάζει με αυτό:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Αυτός ο τύπος λέει ότι το ημίτονο της γωνίας μεταξύ μιας ευθείας και ενός επιπέδου είναι ίσο με τον λόγο του συντελεστή μέτρησης του κλιμακωτού γινομένου των σημειωμένων διανυσμάτων προς το γινόμενο των μηκών τους. Για να καταλάβουμε γιατί εμφανίστηκε το ημίτονο αντί για το συνημίτονο, ας στραφούμε στο παρακάτω σχήμα.
Μπορεί να φανεί ότι αν εφαρμόσουμε τη συνάρτηση συνημιτόνου, θα πάρουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων u¯ και n¯. Η επιθυμητή γωνία θ (α στο σχήμα) προκύπτει ως εξής:
θ=90o- β.
Το ημίτονο εμφανίζεται ως αποτέλεσμα της εφαρμογής των τύπων μείωσης.
Παράδειγμα προβλήματος
Ας περάσουμε στην πρακτική χρήση της αποκτηθείσας γνώσης. Ας λύσουμε ένα τυπικό πρόβλημα στη γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου. Δίνονται οι ακόλουθες συντεταγμένες τεσσάρων σημείων:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Είναι γνωστό ότι μέσω σημείων PQMένα επίπεδο διέρχεται από αυτό, και μια ευθεία διέρχεται από το MN. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων, πρέπει να υπολογιστεί η γωνία μεταξύ του επιπέδου και της ευθείας.
Αρχικά, ας γράψουμε τις εξισώσεις της ευθείας και του επιπέδου. Για μια ευθεία γραμμή, είναι εύκολο να το συνθέσετε:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Για να φτιάξουμε την εξίσωση του επιπέδου, βρίσκουμε πρώτα την κανονική σε αυτό. Οι συντεταγμένες του είναι ίσες με το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων που βρίσκονται στο δεδομένο επίπεδο. Έχουμε:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται σε αυτό με την εξίσωση του γενικού επιπέδου για να πάρουμε την τιμή του ελεύθερου όρου D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Η εξίσωση επιπέδου είναι:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Απομένει να εφαρμόσουμε τον τύπο για τη γωνία που σχηματίζεται στη τομή μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου για να λάβουμε την απάντηση στο πρόβλημα. Έχουμε:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Χρησιμοποιώντας αυτό το πρόβλημα ως παράδειγμα, δείξαμε πώς να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο συντεταγμένων για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.
