Στο σχολικό μάθημα στερεάς γεωμετρίας, ένα από τα πιο απλά σχήματα που έχει μη μηδενικές διαστάσεις κατά μήκος τριών χωρικών αξόνων είναι ένα τετράπλευρο πρίσμα. Σκεφτείτε στο άρθρο τι είδους σχήμα είναι, από ποια στοιχεία αποτελείται και επίσης πώς μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν και τον όγκο του.
Η έννοια ενός πρίσματος
Στη γεωμετρία, ένα πρίσμα είναι ένα χωρικό σχήμα, το οποίο σχηματίζεται από δύο ίδιες βάσεις και πλευρικές επιφάνειες που συνδέουν τις πλευρές αυτών των βάσεων. Σημειώστε ότι και οι δύο βάσεις μετασχηματίζονται η μία στην άλλη χρησιμοποιώντας τη λειτουργία της παράλληλης μετάφρασης από κάποιο διάνυσμα. Αυτή η αντιστοίχιση του πρίσματος οδηγεί στο γεγονός ότι όλες οι πλευρές του είναι πάντα παραλληλόγραμμες.
Ο αριθμός των πλευρών της βάσης μπορεί να είναι αυθαίρετος, ξεκινώντας από τρεις. Όταν αυτός ο αριθμός τείνει στο άπειρο, το πρίσμα μετατρέπεται ομαλά σε κύλινδρο, αφού η βάση του γίνεται κύκλος και τα πλευρικά παραλληλόγραμμα, που συνδέονται, σχηματίζουν μια κυλινδρική επιφάνεια.
Όπως κάθε πολύεδρο, ένα πρίσμα χαρακτηρίζεται απόπλευρές (επίπεδα που δέσμευαν το σχήμα), ακμές (τμήματα κατά μήκος των οποίων τέμνονται οποιαδήποτε δύο πλευρές) και κορυφές (σημεία συνάντησης τριών πλευρών, για ένα πρίσμα δύο από αυτά είναι πλευρικά και η τρίτη είναι η βάση). Οι ποσότητες των ονομαζόμενων τριών στοιχείων του σχήματος συνδέονται μεταξύ τους με την ακόλουθη έκφραση:
P=C + B - 2
Εδώ τα P, C και B είναι ο αριθμός των ακμών, των πλευρών και των κορυφών, αντίστοιχα. Αυτή η έκφραση είναι η μαθηματική σημειογραφία του θεωρήματος του Euler.
Η παραπάνω εικόνα δείχνει δύο πρίσματα. Στη βάση ενός από αυτά (Α) βρίσκεται ένα κανονικό εξάγωνο, και οι πλευρές είναι κάθετες στις βάσεις. Το σχήμα Β δείχνει ένα άλλο πρίσμα. Οι πλευρές του δεν είναι πλέον κάθετες στις βάσεις και η βάση είναι ένα κανονικό πεντάγωνο.
Τι είναι ένα τετράπλευρο πρίσμα;
Όπως είναι σαφές από την παραπάνω περιγραφή, ο τύπος του πρίσματος καθορίζεται κυρίως από τον τύπο του πολυγώνου που σχηματίζει τη βάση (και οι δύο βάσεις είναι ίδιες, επομένως μπορούμε να μιλήσουμε για μία από αυτές). Αν αυτό το πολύγωνο είναι παραλληλόγραμμο, τότε παίρνουμε ένα τετράγωνο πρίσμα. Έτσι, όλες οι πλευρές αυτού του τύπου πρίσματος είναι παραλληλόγραμμα. Ένα τετράπλευρο πρίσμα έχει το δικό του όνομα - παραλληλεπίπεδο.
Ο αριθμός των πλευρών ενός παραλληλεπίπεδου είναι έξι και κάθε πλευρά έχει παρόμοιο παράλληλο με αυτό. Δεδομένου ότι οι βάσεις του κουτιού είναι δύο πλευρές, οι υπόλοιπες τέσσερις είναι πλευρικές.
Ο αριθμός των κορυφών του παραλληλεπίπεδου είναι οκτώ, κάτι που είναι εύκολο να το δούμε αν θυμηθούμε ότι οι κορυφές του πρίσματος σχηματίζονται μόνο στις κορυφές των βασικών πολυγώνων (4x2=8). Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Euler, παίρνουμε τον αριθμό των ακμών:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Από τις 12 νευρώσεις, μόνο οι 4 σχηματίζονται ανεξάρτητα από τα πλάγια. Τα υπόλοιπα 8 βρίσκονται στα επίπεδα των βάσεων του σχήματος.
Περαιτέρω στο άρθρο θα μιλήσουμε μόνο για τετράγωνα πρίσματα.
Τύποι παραλληλεπίπεδων
Ο πρώτος τύπος ταξινόμησης είναι τα χαρακτηριστικά του υποκείμενου παραλληλογράμμου. Μπορεί να μοιάζει με αυτό:
- κανονικό, του οποίου οι γωνίες δεν είναι ίσες με 90o;
- ορθογώνιο;
- ένα τετράγωνο είναι κανονικό τετράπλευρο.
Ο δεύτερος τύπος ταξινόμησης είναι η γωνία στην οποία η πλευρά διασχίζει τη βάση. Δύο διαφορετικές περιπτώσεις είναι δυνατές εδώ:
- αυτή η γωνία δεν είναι ευθεία, τότε το πρίσμα ονομάζεται λοξό ή λοξό;
- η γωνία είναι 90o, τότε ένα τέτοιο πρίσμα είναι ορθογώνιο ή απλώς ευθύ.
Ο τρίτος τύπος ταξινόμησης σχετίζεται με το ύψος του πρίσματος. Αν το πρίσμα είναι ορθογώνιο και η βάση είναι είτε τετράγωνο είτε ορθογώνιο, τότε ονομάζεται κυβοειδές. Εάν υπάρχει ένα τετράγωνο στη βάση, το πρίσμα είναι ορθογώνιο και το ύψος του είναι ίσο με το μήκος της πλευράς του τετραγώνου, τότε παίρνουμε το γνωστό κυβικό σχήμα.
Επιφάνεια και εμβαδόν πρίσματος
Το σύνολο όλων των σημείων που βρίσκονται σε δύο βάσεις ενός πρίσματος(παραλληλόγραμμα) και στις πλευρές του (τέσσερα παραλληλόγραμμα) σχηματίζουν την επιφάνεια του σχήματος. Το εμβαδόν αυτής της επιφάνειας μπορεί να υπολογιστεί με τον υπολογισμό του εμβαδού της βάσης και αυτής της τιμής για την πλευρική επιφάνεια. Τότε το άθροισμά τους θα δώσει την επιθυμητή τιμή. Μαθηματικά, αυτό γράφεται ως εξής:
S=2So+ Sb
Εδώ So και Sb είναι η περιοχή της βάσης και της πλευρικής επιφάνειας, αντίστοιχα. Ο αριθμός 2 πριν από το So εμφανίζεται επειδή υπάρχουν δύο βάσεις.
Σημειώστε ότι ο γραπτός τύπος ισχύει για οποιοδήποτε πρίσμα, και όχι μόνο για την περιοχή ενός τετράπλευρου πρίσματος.
Είναι χρήσιμο να υπενθυμίσουμε ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου Sp υπολογίζεται με τον τύπο:
Sp=ah
Όπου τα σύμβολα a και h δηλώνουν το μήκος μιας από τις πλευρές του και το ύψος που τραβιέται σε αυτήν την πλευρά, αντίστοιχα.
Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου πρίσματος με τετράγωνη βάση
Σε ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, η βάση είναι ένα τετράγωνο. Για λόγους βεβαιότητας, συμβολίζουμε την πλευρά του με το γράμμα α. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος, θα πρέπει να γνωρίζετε το ύψος του. Σύμφωνα με τον ορισμό για αυτή την ποσότητα, ισούται με το μήκος της καθέτου που έπεσε από τη μια βάση στην άλλη, δηλαδή ίσο με την απόσταση μεταξύ τους. Ας το συμβολίσουμε με το γράμμα η. Δεδομένου ότι όλες οι πλευρικές όψεις είναι κάθετες στις βάσεις για τον υπό εξέταση τύπο πρίσματος, το ύψος ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος θα είναι ίσο με το μήκος της πλευρικής ακμής του.
ΒΟ γενικός τύπος για την επιφάνεια ενός πρίσματος είναι δύο όροι. Το εμβαδόν της βάσης σε αυτήν την περίπτωση είναι εύκολο να υπολογιστεί, είναι ίσο με:
So=a2
Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας, υποστηρίζουμε ως εξής: αυτή η επιφάνεια σχηματίζεται από 4 ίδια ορθογώνια. Επιπλέον, οι πλευρές καθενός από αυτά είναι ίσες με a και h. Αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν του Sb θα είναι ίσο με:
Sb=4ah
Σημειώστε ότι το γινόμενο 4a είναι η περίμετρος της τετραγωνικής βάσης. Εάν γενικεύσουμε αυτήν την έκφραση στην περίπτωση μιας αυθαίρετης βάσης, τότε για ένα ορθογώνιο πρίσμα η πλευρική επιφάνεια μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
Sb=Poh
Όπου Po είναι η περίμετρος της βάσης.
Επιστρέφοντας στο πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος, μπορούμε να γράψουμε τον τελικό τύπο:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Εμβαδόν λοξού παραλληλεπίπεδου
Ο υπολογισμός του είναι κάπως πιο δύσκολος από ό,τι για ένα ορθογώνιο. Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν βάσης ενός τετραγωνικού πρίσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο όπως για ένα παραλληλόγραμμο. Οι αλλαγές αφορούν τον τρόπο προσδιορισμού της πλευρικής επιφάνειας.
Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον ίδιο τύπο στην περίμετρο όπως δίνεται στην παραπάνω παράγραφο. Μόνο που τώρα θα έχει ελαφρώς διαφορετικούς πολλαπλασιαστές. Ο γενικός τύπος για το Sb στην περίπτωση ενός λοξού πρίσματος είναι:
Sb=Psrc
Εδώ c είναι το μήκος του πλευρικού άκρου του σχήματος. Η τιμή Psr είναι η περίμετρος της ορθογώνιας φέτας. Αυτό το περιβάλλον είναι κατασκευασμένο ως εξής: είναι απαραίτητο να τέμνονται όλες οι πλευρικές όψεις με ένα επίπεδο έτσι ώστε να είναι κάθετο σε όλες. Το παραλληλόγραμμο που προκύπτει θα είναι η επιθυμητή κοπή.
Το παραπάνω σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα λοξού πλαισίου. Το εγκάρσιο τμήμα του σχηματίζει ορθές γωνίες με τις πλευρές. Η περίμετρος του τμήματος είναι Psr. Σχηματίζεται από τέσσερα ύψη πλευρικών παραλληλογραμμών. Για αυτό το τετράπλευρο πρίσμα, το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο.
Το μήκος της διαγωνίου ενός κυβοειδούς
Η διαγώνιος ενός παραλληλεπίπεδου είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές που δεν έχουν κοινές πλευρές που τις σχηματίζουν. Υπάρχουν μόνο τέσσερις διαγώνιοι σε οποιοδήποτε τετράγωνο πρίσμα. Για ένα κυβοειδές με ορθογώνιο στη βάση του, τα μήκη όλων των διαγωνίων είναι ίσα μεταξύ τους.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει το αντίστοιχο σχήμα. Το κόκκινο τμήμα είναι η διαγώνιος του.
Ο υπολογισμός του μήκους του είναι πολύ απλός, αν θυμάστε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Κάθε μαθητής μπορεί να πάρει τον επιθυμητό τύπο. Έχει την ακόλουθη μορφή:
D=√(A2+ B2 + C2)
Εδώ D είναι το μήκος της διαγωνίου. Οι υπόλοιποι χαρακτήρες είναι τα μήκη των πλευρών του πλαισίου.
Πολλοί άνθρωποι μπερδεύουν τη διαγώνιο ενός παραλληλεπίπεδου με τις διαγώνιες των πλευρών του. Παρακάτω είναι μια εικόνα όπου το έγχρωμοτα τμήματα αντιπροσωπεύουν τις διαγώνιες των πλευρών του σχήματος.
Το μήκος καθενός από αυτά καθορίζεται επίσης από το Πυθαγόρειο θεώρημα και είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των αντίστοιχων μηκών πλευρών.
Τόμος πρίσματος
Εκτός από το εμβαδόν ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος ή άλλων τύπων πρισμάτων, για να λύσετε ορισμένα γεωμετρικά προβλήματα, θα πρέπει να γνωρίζετε και τον όγκο τους. Αυτή η τιμή για απολύτως οποιοδήποτε πρίσμα υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:
V=Soh
Αν το πρίσμα είναι ορθογώνιο, τότε αρκεί να υπολογίσουμε το εμβαδόν της βάσης του και να το πολλαπλασιάσουμε με το μήκος της άκρης της πλευράς για να πάρουμε τον όγκο του σχήματος.
Αν το πρίσμα είναι ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, τότε ο όγκος του θα είναι:
V=a2h.
Είναι εύκολο να δει κανείς ότι αυτός ο τύπος μετατρέπεται σε έκφραση για τον όγκο ενός κύβου εάν το μήκος της πλευρικής ακμής h είναι ίσο με την πλευρά της βάσης a.
Πρόβλημα με κυβοειδές
Για να εμπεδώσουμε το υλικό που μελετήσαμε, θα λύσουμε το εξής πρόβλημα: υπάρχει ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου οι πλευρές είναι 3 cm, 4 cm και 5 cm. Είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε το εμβαδόν της επιφάνειας, το μήκος της διαγώνιας και τον όγκο του.
Για βεβαιότητα, θα υποθέσουμε ότι η βάση του σχήματος είναι ένα ορθογώνιο με πλευρές 3 cm και 4 cm. Τότε το εμβαδόν του είναι 12 cm2 και η περίοδος είναι 14 εκ. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την επιφάνεια του πρίσματος, παίρνουμε:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 cm2
Για να προσδιορίσετε το μήκος της διαγωνίου και τον όγκο του σχήματος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε απευθείας τις παραπάνω εκφράσεις:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60cm3.
Πρόβλημα με λοξό παραλληλεπίπεδο
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα λοξό πρίσμα. Οι πλευρές του είναι ίσες: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Πρέπει να βρείτε την επιφάνεια αυτού του σχήματος.
Αρχικά, ας προσδιορίσουμε το εμβαδόν της βάσης. Το σχήμα δείχνει ότι η οξεία γωνία είναι 50o. Τότε το εμβαδόν του είναι:
So=ha=sin(50o)ba
Για να προσδιορίσετε την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας, θα πρέπει να βρείτε την περίμετρο του σκιασμένου ορθογωνίου. Οι πλευρές αυτού του ορθογωνίου είναι asin(45o) και bsin(60o). Τότε η περίμετρος αυτού του ορθογωνίου είναι:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Η συνολική επιφάνεια αυτού του κουτιού είναι:
S=2So+ Sb=2(αμαρτία(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Αντικαθιστούμε τα δεδομένα από την συνθήκη του προβλήματος με τα μήκη των πλευρών του σχήματος, παίρνουμε την απάντηση:
S=458, 5496 cm3
Μπορεί να φανεί από τη λύση αυτού του προβλήματος ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των περιοχών των πλάγιων σχημάτων.
