Κλάσμα. Πολλαπλασιασμός κοινών, δεκαδικών, μικτών κλασμάτων

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Στο γυμνάσιο και οι μαθητές γυμνασίου μελετούσαν το θέμα "Κλάσματα". Ωστόσο, αυτή η έννοια είναι πολύ ευρύτερη από αυτή που δίνεται στη μαθησιακή διαδικασία. Σήμερα, η έννοια του κλάσματος εμφανίζεται αρκετά συχνά και δεν μπορούν όλοι να υπολογίσουν οποιαδήποτε έκφραση, για παράδειγμα, πολλαπλασιάζοντας κλάσματα.

Τι είναι ένα κλάσμα;

Συνέβη ιστορικά ότι εμφανίστηκαν κλασματικοί αριθμοί λόγω της ανάγκης μέτρησης. Όπως δείχνει η πρακτική, υπάρχουν συχνά παραδείγματα για τον προσδιορισμό του μήκους ενός τμήματος, του όγκου ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, του εμβαδού ενός ορθογωνίου.

Αρχικά, οι μαθητές εισάγονται στην έννοια του μεριδίου. Για παράδειγμα, αν χωρίσετε ένα καρπούζι σε 8 μέρη, τότε το καθένα θα πάρει το ένα όγδοο του καρπουζιού. Αυτό το ένα μέρος των οκτώ ονομάζεται μετοχή.

Μια μετοχή ίση με το ½ οποιασδήποτε αξίας ονομάζεται μισό. ⅓ - τρίτο; ¼ - ένα τέταρτο. Συμμετοχές όπως ⁵/₈, ⁴/₅, Τα ²/_{4 ονομάζονται κοινά κλάσματα. Ένα κοινό κλάσμα χωρίζεται σεαριθμητής και παρονομαστής. Ανάμεσά τους υπάρχει μια κλασματική γραμμή ή κλασματική γραμμή. Μια κλασματική γραμμή μπορεί να σχεδιαστεί είτε ως οριζόντια είτε ως λοξή γραμμή. Σε αυτήν την περίπτωση, σημαίνει το σύμβολο διαίρεσης.}

Ο παρονομαστής αντιπροσωπεύει σε πόσα ίσα μερίδια διαιρείται η τιμή, το αντικείμενο. και ο αριθμητής είναι πόσα ίσα μερίδια λαμβάνονται. Ο αριθμητής γράφεται πάνω από την κλασματική γραμμή, ο παρονομαστής γράφεται κάτω από αυτήν.

Είναι πιο βολικό να εμφανίζονται συνηθισμένα κλάσματα στην ακτίνα συντεταγμένων. Εάν ένα μεμονωμένο τμήμα χωρίζεται σε 4 ίσα μέρη, κάθε μέρος χαρακτηρίζεται με λατινικό γράμμα, τότε ως αποτέλεσμα μπορείτε να λάβετε ένα εξαιρετικό οπτικό βοήθημα. Έτσι, το σημείο Α δείχνει ένα μερίδιο ίσο με ¹/₄ ολόκληρου του τμήματος μονάδας και το σημείο Β σημειώνει ^2/8 _{από αυτό το τμήμα.}

Ποικιλίες κλασμάτων

Τα κλάσματα είναι συνηθισμένοι, δεκαδικοί και μικτοί αριθμοί. Επιπλέον, τα κλάσματα μπορούν να χωριστούν σε σωστά και ακατάλληλα. Αυτή η ταξινόμηση είναι πιο κατάλληλη για κοινά κλάσματα.

Καλό κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Κατά συνέπεια, ακατάλληλο κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Το δεύτερο είδος γράφεται συνήθως ως μικτός αριθμός. Μια τέτοια έκφραση αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλασματικό μέρος. Για παράδειγμα, 1½. 1 - ακέραιο μέρος, ½ - κλασματικό. Ωστόσο, εάν χρειάζεται να εκτελέσετε κάποιους χειρισμούς με την έκφραση (διαίρεση ή πολλαπλασιασμός κλασμάτων, μείωση ή μετατροπή τους), ο μεικτός αριθμός μεταφράζεται σεακατάλληλο κλάσμα.

Μια σωστή κλασματική έκφραση είναι πάντα μικρότερη από ένα και μια λανθασμένη είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 1.

Όσον αφορά τα δεκαδικά κλάσματα, αυτή η έκφραση νοείται ως μια εγγραφή στην οποία αναπαρίσταται οποιοσδήποτε αριθμός, ο παρονομαστής της κλασματικής έκφρασης του οποίου μπορεί να εκφραστεί μέσω ενός με πολλά μηδενικά. Εάν το κλάσμα είναι σωστό, τότε το ακέραιο μέρος στον δεκαδικό συμβολισμό θα είναι μηδέν.

Για να γράψετε ένα δεκαδικό, πρέπει πρώτα να γράψετε το ακέραιο μέρος, να το διαχωρίσετε από το κλασματικό με κόμμα και μετά να γράψετε την κλασματική έκφραση. Πρέπει να θυμόμαστε ότι μετά το κόμμα, ο αριθμητής πρέπει να περιέχει τόσους αριθμητικούς χαρακτήρες όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή.

Παράδειγμα. Αντιπροσωπεύστε το κλάσμα 7²¹/_{1000 με δεκαδικό συμβολισμό.}

Αλγόριθμος για τη μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό και αντίστροφα

Είναι λάθος να γράψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα στην απάντηση του προβλήματος, επομένως πρέπει να μετατραπεί σε μικτό αριθμό:

• διαιρέστε τον αριθμητή με τον διαθέσιμο παρονομαστή;
• σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, το ημιτελές πηλίκο είναι ένας ακέραιος αριθμός;
• και το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής του κλασματικού μέρους και ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.

Παράδειγμα. Μετατροπή ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό: ⁴⁷/_5.

Απόφαση. 47: 5. Το μερικό πηλίκο είναι 9, το υπόλοιπο=2. Άρα ⁴⁷/₅ =9²/_5.

Μερικές φορές χρειάζεται να αναπαραστήσετε έναν μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα. Τότε πρέπει να χρησιμοποιήσετεπαρακάτω αλγόριθμος:

• το ακέραιο μέρος πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή της κλασματικής έκφρασης;
• το προϊόν που προκύπτει προστίθεται στον αριθμητή;
• το αποτέλεσμα γράφεται στον αριθμητή, ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.

Παράδειγμα. Εκφράστε έναν μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα: 9⁸/_10.

Απόφαση. 9 x 10 + 8=90 + 8=98 είναι ο αριθμητής.

Απάντηση: ⁹⁸/_10.

Πολλαπλασιασμός κοινών κλασμάτων

Μπορούν να εκτελεστούν διάφορες αλγεβρικές πράξεις σε συνηθισμένα κλάσματα. Για να πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή. Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές δεν διαφέρει από το γινόμενο των κλασματικών αριθμών με τους ίδιους παρονομαστές.

Συμβαίνει ότι αφού βρείτε το αποτέλεσμα, πρέπει να μειώσετε το κλάσμα. Είναι επιτακτική ανάγκη να απλοποιηθεί όσο το δυνατόν περισσότερο η προκύπτουσα έκφραση. Φυσικά, δεν μπορεί να ειπωθεί ότι ένα ακατάλληλο κλάσμα στην απάντηση είναι λάθος, αλλά είναι επίσης δύσκολο να το ονομάσουμε σωστή απάντηση.

Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο δύο κοινών κλασμάτων: ½ και ²⁰/_18.

Όπως μπορείτε να δείτε από το παράδειγμα, μετά την εύρεση του προϊόντος, λαμβάνουμε μειωμένο κλασματικό συμβολισμό. Τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής σε αυτήν την περίπτωση διαιρούνται με το 4 και το αποτέλεσμα είναι η απάντηση ⁵/_9.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλασμάτων

Έργο τέχνηςτα δεκαδικά κλάσματα είναι αρκετά διαφορετικό από το γινόμενο των συνηθισμένων κλασμάτων στην αρχή του. Άρα, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων έχει ως εξής:

• δύο δεκαδικά κλάσματα πρέπει να γράφονται το ένα κάτω από το άλλο έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα κάτω από το άλλο.
• πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους γραπτούς αριθμούς, παρά τα κόμματα, δηλαδή ως φυσικούς αριθμούς;
• υπολογίστε τον αριθμό των ψηφίων μετά το κόμμα σε κάθε έναν από τους αριθμούς;
• στο αποτέλεσμα που προκύπτει μετά τον πολλαπλασιασμό, πρέπει να μετρήσετε όσους αριθμητικούς χαρακτήρες περιέχονται στο άθροισμα και στους δύο παράγοντες μετά την υποδιαστολή, και να βάλετε ένα διαχωριστικό σύμβολο·
• εάν υπάρχουν λιγότερα ψηφία στο γινόμενο, τότε πρέπει να γράψετε τόσα μηδενικά μπροστά τους για να καλύψετε αυτόν τον αριθμό, να βάλετε κόμμα και να αντιστοιχίσετε ένα ακέραιο μέρος ίσο με μηδέν.

Παράδειγμα. Υπολογίστε το γινόμενο δύο δεκαδικών: 2, 25 και 3, 6.

Απόφαση.

Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων

Για να υπολογίσετε το γινόμενο δύο μικτών κλασμάτων, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:

• μετατροπή μικτών αριθμών σε ακατάλληλα κλάσματα;
• βρείτε το γινόμενο των αριθμητών;
• βρείτε το γινόμενο των παρονομαστών;
• γράψτε το αποτέλεσμα;
• απλοποιήστε την έκφραση όσο το δυνατόν περισσότερο.

Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των 4½ και 6²/_5.

Πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με ένα κλάσμα(κλάσματα ανά αριθμό)

Εκτός από την εύρεση του γινόμενου δύο κλασμάτων, μικτών αριθμών, υπάρχουν εργασίες όπου πρέπει να πολλαπλασιάσετε έναν φυσικό αριθμό με ένα κλάσμα.

Λοιπόν, για να βρείτε το γινόμενο ενός δεκαδικού κλάσματος και ενός φυσικού αριθμού, χρειάζεστε:

• γράψτε τον αριθμό κάτω από το κλάσμα έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα πάνω από το άλλο;
• εύρεση προϊόντος παρά κόμμα;
• στο αποτέλεσμα, διαχωρίστε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος χρησιμοποιώντας κόμμα, μετρώντας προς τα δεξιά τον αριθμό των χαρακτήρων που βρίσκεται μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα συνηθισμένο κλάσμα με έναν αριθμό, θα πρέπει να βρείτε το γινόμενο του αριθμητή και του φυσικού παράγοντα. Εάν η απάντηση είναι μειωμένο κλάσμα, θα πρέπει να μετατραπεί.

Παράδειγμα. Υπολογίστε το γινόμενο των ⁵/_{8 και 12.}

Απόφαση. ⁵/₈12=⁽⁵¹²⁾/₈₌60^/8 ₌30^/4 ₌15^/2 ₌₇1^/2.

Απάντηση: 7¹/_2.

Όπως μπορείτε να δείτε από το προηγούμενο παράδειγμα, ήταν απαραίτητο να μειωθεί το αποτέλεσμα που προέκυψε και να μετατραπεί η λανθασμένη κλασματική έκφραση σε μικτό αριθμό.

Επίσης, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων ισχύει και για την εύρεση του γινομένου ενός αριθμού σε μικτή μορφή και ενός φυσικού παράγοντα. Για να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους δύο αριθμούς, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε το ακέραιο μέρος του μικτού παράγοντα με τον αριθμό, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με την ίδια τιμή και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή. Εάν είναι απαραίτητο, απλοποιήστε το αποτέλεσμα όσο το δυνατόν περισσότερο.

Παράδειγμα. Να βρωτο γινόμενο των 9⁵/_{6 και 9.}

Απόφαση. 9⁵/₆ x 9=9 x 9 + ^{(5 x 9)}/ 6 _{=81 +} 45^/6 _{=81 + 7}3^/ 6 ₌₈₈1^/2.

Απάντηση: 88¹/_2.

Πολλαπλασιασμός με τους παράγοντες 10, 100, 1000 ή 0, 1; 0,01; 0, 001

Ο ακόλουθος κανόνας προκύπτει από την προηγούμενη παράγραφο. Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με το 10, 100, 1000, 10000 κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά με όσους ψηφιακούς χαρακτήρες υπάρχουν μηδενικά στον πολλαπλασιαστή μετά το ένα.

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο των 0, 065 και 1000.

Απόφαση. 0,065 x 1000=0065=65.

Απάντηση: 65.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 3, 9 και 1000.

Απόφαση. 3,9 x 1000=3,900 x 1000=3900.

Απάντηση: 3900.

Αν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν φυσικό αριθμό και 0, 1; 0,01; 0,001; 0, 0001, κ.λπ., θα πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά στο γινόμενο που προκύπτει κατά τόσους ψηφιακούς χαρακτήρες όσα μηδενικά πριν από το ένα. Εάν είναι απαραίτητο, ένας επαρκής αριθμός μηδενικών γράφεται πριν από τον φυσικό αριθμό.

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο των 56 και 0, 01.

Απόφαση. 56 x 0,01=0056=0,56.

Απάντηση: 0, 56.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 4 και 0, 001.

Απόφαση. 4 x 0,001=0004=0,004.

Απάντηση: 0, 004.

Έτσι, η εύρεση του γινομένου διαφόρων κλασμάτων δεν θα πρέπει να είναι δύσκολη, εκτός ίσως από τον υπολογισμό του αποτελέσματος. σε αυτήν την περίπτωση, απλά δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς αριθμομηχανή.