Μία από τις πιο σημαντικές επιστήμες, η εφαρμογή της οποίας μπορεί να δει κανείς σε κλάδους όπως η χημεία, η φυσική, ακόμη και η βιολογία, είναι τα μαθηματικά. Η μελέτη αυτής της επιστήμης σας επιτρέπει να αναπτύξετε ορισμένες ψυχικές ιδιότητες, να βελτιώσετε την αφηρημένη σκέψη και την ικανότητα συγκέντρωσης. Ένα από τα θέματα που αξίζουν ιδιαίτερης προσοχής στο μάθημα «Μαθηματικά» είναι η πρόσθεση και η αφαίρεση των κλασμάτων. Πολλοί μαθητές δυσκολεύονται να μελετήσουν. Ίσως το άρθρο μας βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση αυτού του θέματος.
Πώς να αφαιρέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές
Τα κλάσματα είναι οι ίδιοι αριθμοί με τους οποίους μπορείτε να εκτελέσετε διάφορες ενέργειες. Η διαφορά τους από τους ακέραιους έγκειται στην παρουσία ενός παρονομαστή. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο όταν εκτελείτε ενέργειες με κλάσματα, πρέπει να μελετήσετε ορισμένα από τα χαρακτηριστικά και τους κανόνες τους. Η απλούστερη περίπτωση είναι η αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων, οι παρονομαστές των οποίων παριστάνονται ως ο ίδιος αριθμός. Δεν θα είναι δύσκολο να εκτελέσετε αυτήν την ενέργεια εάν γνωρίζετε έναν απλό κανόνα:
Για να αφαιρέσουμε το δεύτερο από ένα κλάσμα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον αριθμητή του αφαιρεθέντος κλάσματος από τον αριθμητή του μειωμένου κλάσματος. Αυτό είναιγράφουμε τον αριθμό στον αριθμητή της διαφοράς και αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο: k/m – b/m=(k-b)/m
Παραδείγματα αφαίρεσης κλασμάτων των οποίων οι παρονομαστές είναι ίδιοι
Ας δούμε πώς φαίνεται σε ένα παράδειγμα:
7/19 - 3/19=(7 - 3)/19=4/19.
Από τον αριθμητή του μειωμένου κλάσματος "7" αφαιρούμε τον αριθμητή του αφαιρούμενου κλάσματος "3", παίρνουμε "4". Γράφουμε αυτόν τον αριθμό στον αριθμητή της απάντησης και βάζουμε στον παρονομαστή τον ίδιο αριθμό που ήταν στους παρονομαστές του πρώτου και του δεύτερου κλάσματος - "19".
Η παρακάτω εικόνα δείχνει μερικά ακόμη παρόμοια παραδείγματα.
Ας εξετάσουμε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα όπου αφαιρούνται κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47=(29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47=9/47.
Από τον αριθμητή του μειωμένου κλάσματος "29" αφαιρώντας με τη σειρά τους αριθμητές όλων των επόμενων κλασμάτων - "3", "8", "2", "7". Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το αποτέλεσμα "9", το οποίο γράφουμε στον αριθμητή της απάντησης και στον παρονομαστή γράφουμε τον αριθμό που είναι στους παρονομαστές όλων αυτών των κλασμάτων - "47".
Προσθήκη κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή
Η πρόσθεση και η αφαίρεση των συνηθισμένων κλασμάτων εκτελούνται σύμφωνα με την ίδια αρχή.
Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές. Ο αριθμός που προκύπτει είναι ο αριθμητής του αθροίσματος και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος: k/m + b/m=(k + b)/m
Ας δούμε πώς φαίνεται σε ένα παράδειγμα:
1/4 + 2/4=3/4.
Κο αριθμητής του πρώτου όρου του κλάσματος - "1" - προσθέστε τον αριθμητή του δεύτερου όρου του κλάσματος - "2". Το αποτέλεσμα - "3" - γράφεται στον αριθμητή του ποσού και ο παρονομαστής είναι ίδιος με αυτόν που υπάρχει στα κλάσματα - "4".
Κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές και η αφαίρεσή τους
Την ενέργεια με κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή, έχουμε ήδη εξετάσει. Όπως μπορείτε να δείτε, γνωρίζοντας απλούς κανόνες, η επίλυση τέτοιων παραδειγμάτων είναι αρκετά εύκολη. Τι γίνεται όμως αν χρειαστεί να εκτελέσετε μια ενέργεια με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές; Πολλοί μαθητές γυμνασίου μπερδεύονται με τέτοια παραδείγματα. Αλλά και εδώ, αν γνωρίζετε την αρχή της λύσης, τα παραδείγματα δεν θα σας δυσκολεύουν πλέον. Υπάρχει επίσης ένας κανόνας εδώ, χωρίς τον οποίο η λύση τέτοιων κλασμάτων είναι απλά αδύνατη.
-
Για να αφαιρέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο μικρότερο παρονομαστή.
αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Θα μιλήσουμε περισσότερα για το πώς να το κάνετε αυτό.
Ιδιότητα κλάσματος
Για να μειωθούν πολλά κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την κύρια ιδιότητα του κλάσματος στη λύση: αφού διαιρέσετε ή πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, θα λάβετε ένα κλάσμα ίσο με το δόθηκε ένα.
Έτσι, για παράδειγμα, το κλάσμα 2/3 μπορεί να έχει παρονομαστές όπως "6", "9", "12", κ.λπ., δηλαδή, μπορεί να μοιάζει με οποιονδήποτε αριθμό που είναι πολλαπλάσιο του " 3". Αφού πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με"2", παίρνετε το κλάσμα 4/6. Αφού πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος με το "3", παίρνουμε 6/9 και αν κάνουμε παρόμοια ενέργεια με τον αριθμό "4", παίρνουμε 8/12. Σε μια εξίσωση, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής:
2/3=4/6=6/9=8/12…
Πώς να φέρετε πολλά κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή
Ας εξετάσουμε πώς να μειώσουμε πολλά κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα, πάρτε τα κλάσματα που φαίνονται στην παρακάτω εικόνα. Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε ποιος αριθμός μπορεί να γίνει παρονομαστής για όλους. Για να το κάνουμε πιο εύκολο, ας παραγοντοποιήσουμε τους διαθέσιμους παρονομαστές.
Ο παρονομαστής του κλάσματος 1/2 και του κλάσματος 2/3 δεν μπορούν να συνυπολογιστούν. Ο παρονομαστής του 7/9 έχει δύο παράγοντες 7/9=7/(3 x 3), τον παρονομαστή του κλάσματος 5/6=5/(2 x 3). Τώρα πρέπει να προσδιορίσετε ποιοι παράγοντες θα είναι οι μικρότεροι και για αυτά τα τέσσερα κλάσματα. Εφόσον το πρώτο κλάσμα έχει τον αριθμό "2" στον παρονομαστή, σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει σε όλους τους παρονομαστές, στο κλάσμα 7/9 υπάρχουν δύο τριάδες, που σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχουν και στον παρονομαστή. Με βάση τα παραπάνω, προσδιορίζουμε ότι ο παρονομαστής αποτελείται από τρεις παράγοντες: 3, 2, 3 και ισούται με 3 x 2 x 3=18.
Θεωρήστε το πρώτο κλάσμα - 1/2. Ο παρονομαστής του περιέχει το "2", αλλά δεν υπάρχει ούτε ένα "3", αλλά θα πρέπει να υπάρχουν δύο. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με δύο τριπλάσια, αλλά, σύμφωνα με την ιδιότητα ενός κλάσματος, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με δύο τριπλάσια:
1/2=(1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3)=9 /18.
Ομοίως, εκτελούμε ενέργειες με τα υπόλοιπακλάσματα.
-
2/3 – ο παρονομαστής λείπει ένα τρία και ένα δύο:
2/3=(2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2)=12/18.
-
7/9 ή 7/(3 x 3) - από τον παρονομαστή λείπει ένας παρονομαστής:
7/9=(7 x 2)/(9 x 2)=14/18.
-
5/6 ή 5/(2 x 3) - ο παρονομαστής λείπει ένα τριπλό:
5/6=(5 x 3)/(6 x 3)=15/18.
Όλα μαζί μοιάζουν με αυτό:
Πώς αφαιρείτε και προσθέτετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να φέρετε στον ίδιο παρονομαστή και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες για την αφαίρεση κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή, που έχουν ήδη περιγραφεί.
Ας πάρουμε αυτό ως παράδειγμα: 4/18 – 3/15.
Βρείτε πολλαπλάσια του 18 και του 15:
- Ο αριθμός 18 είναι 3 x 2 x 3.
- Ο αριθμός 15 αποτελείται από 5 x 3.
- Το κοινό πολλαπλάσιο θα αποτελείται από τους ακόλουθους παράγοντες 5 x 3 x 3 x 2=90.
Αφού βρεθεί ο παρονομαστής, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο πολλαπλασιαστής που θα είναι διαφορετικός για κάθε κλάσμα, δηλαδή ο αριθμός με τον οποίο θα χρειαστεί να πολλαπλασιαστεί όχι μόνο ο παρονομαστής, αλλά και ο αριθμητής. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε τον αριθμό που βρήκαμε (κοινό πολλαπλάσιο) με τον παρονομαστή του κλάσματος για το οποίο πρέπει να καθοριστούν πρόσθετοι παράγοντες.
- 90 διαιρούμενο με το 15. Ο αριθμός "6" που προκύπτει θα είναι πολλαπλασιαστής για το 3/15.
- 90 διαιρούμενο με το 18. Ο αριθμός "5" που προκύπτει θα είναι πολλαπλασιαστής για το 4/18.
Το επόμενο βήμα στην απόφασή μας είναιφέρνοντας κάθε κλάσμα στον παρονομαστή "90".
Πώς γίνεται, έχουμε ήδη πει. Σκεφτείτε πώς γράφεται αυτό στο παράδειγμα:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6)=20/90 - 18/90=2/90=1/45.
Αν κλάσματα με μικρούς αριθμούς, τότε μπορείτε να προσδιορίσετε τον κοινό παρονομαστή, όπως στο παράδειγμα που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.
Ομοίως, γίνεται πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Αφαίρεση και πρόσθεση κλασμάτων με ακέραια μέρη
Αφαίρεση κλασμάτων και πρόσθεσή τους, έχουμε ήδη αναλύσει λεπτομερώς. Αλλά πώς να αφαιρέσετε εάν το κλάσμα έχει ένα ακέραιο μέρος; Και πάλι, ας χρησιμοποιήσουμε μερικούς κανόνες:
- Μεταφράστε όλα τα κλάσματα με ακέραιο μέρος σε ακατάλληλα. Με απλά λόγια, αφαιρέστε ολόκληρο το μέρος. Για να γίνει αυτό, ο αριθμός του ακέραιου μέρους πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή του κλάσματος, το προκύπτον γινόμενο προστίθεται στον αριθμητή. Ο αριθμός που θα ληφθεί μετά από αυτές τις ενέργειες είναι ο αριθμητής ενός ακατάλληλου κλάσματος. Ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.
- Αν τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, θα πρέπει να μειωθούν στον ίδιο.
- Προσθήκη ή αφαίρεση με τους ίδιους παρονομαστές.
- Όταν λαμβάνετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε το ακέραιο μέρος.
Υπάρχει ένας άλλος τρόπος με τον οποίο μπορείτε να προσθέσετε και να αφαιρέσετε κλάσματα με ακέραια μέρη. Για αυτό, οι ενέργειες εκτελούνται χωριστά με ακέραια μέρη και χωριστά με κλάσματα και τα αποτελέσματα καταγράφονται μαζί.
Το παραπάνω παράδειγμα αποτελείται από κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Στην περίπτωση που οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, πρέπει να μειωθούν στους ίδιους και στη συνέχεια να ακολουθήσετε τα βήματα όπως φαίνεται στο παράδειγμα.
Αφαίρεση κλασμάτων από ακέραιους αριθμούς
Ένας άλλος τύπος πράξεων με κλάσματα είναι η περίπτωση που ένα κλάσμα πρέπει να αφαιρεθεί από έναν φυσικό αριθμό. Με την πρώτη ματιά, ένα τέτοιο παράδειγμα φαίνεται δύσκολο να λυθεί. Ωστόσο, όλα είναι πολύ απλά εδώ. Για να το λύσουμε, είναι απαραίτητο να μετατρέψουμε έναν ακέραιο σε κλάσμα και με τέτοιο παρονομαστή, που βρίσκεται στο κλάσμα που πρέπει να αφαιρεθεί. Στη συνέχεια, εκτελούμε μια αφαίρεση παρόμοια με την αφαίρεση με τους ίδιους παρονομαστές. Σε ένα παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:
7 - 4/9=(7 x 9)/9 - 4/9=53/9 - 4/9=49/9.
Η αφαίρεση των κλασμάτων που παρουσιάζονται σε αυτό το άρθρο (Βαθμός 6) είναι η βάση για την επίλυση πιο περίπλοκων παραδειγμάτων που εξετάζονται στις επόμενες τάξεις. Η γνώση αυτού του θέματος χρησιμοποιείται αργότερα για την επίλυση συναρτήσεων, παραγώγων και ούτω καθεξής. Επομένως, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε και να κατανοήσουμε τις πράξεις με τα κλάσματα που συζητήθηκαν παραπάνω.
