Από την αρχή πρέπει να το υπενθυμίσουμε, για να μην μπερδευτούμε αργότερα: υπάρχουν αριθμοί - υπάρχουν 10. Από το 0 έως το 9. Υπάρχουν αριθμοί και αποτελούνται από αριθμούς. Υπάρχουν άπειροι αριθμοί. Σίγουρα περισσότερα από τα αστέρια στον ουρανό.
Μια μαθηματική έκφραση είναι μια οδηγία που γράφεται με χρήση μαθηματικών συμβόλων, ποιες ενέργειες πρέπει να γίνουν με αριθμούς για να ληφθεί ένα αποτέλεσμα. Όχι για να «φτάσουν» στο επιθυμητό αποτέλεσμα, όπως στα στατιστικά, αλλά για να μάθουμε πόσα ακριβώς ήταν. Αλλά τι συνέβη και πότε - δεν είναι πλέον στο πεδίο των ενδιαφερόντων της αριθμητικής. Ταυτόχρονα, είναι σημαντικό να μην κάνετε λάθος στην ακολουθία των ενεργειών, που είναι η πρώτη - πρόσθεση ή πολλαπλασιασμός; Μια έκφραση στο σχολείο μερικές φορές ονομάζεται "παράδειγμα".
Πρόσθεση και αφαίρεση
Ποιες ενέργειες μπορούν να εκτελεστούν με αριθμούς; Υπάρχουν δύο βασικά. Αυτό είναι πρόσθεση και αφαίρεση. Όλες οι άλλες ενέργειες βασίζονται σε αυτά τα δύο.
Η πιο απλή ανθρώπινη δράση: πάρτε δύο στοίβες πέτρες και ανακατέψτε τις σε μία. Αυτό είναι προσθήκη. Για να έχετε το αποτέλεσμα μιας τέτοιας ενέργειας, μπορεί να μην γνωρίζετε καν τι είναι η προσθήκη. Αρκεί μόνο να πάρεις ένα μάτσο πέτρες από το Petya και ένα μάτσο πέτρες από το Vasya. Βάλτε τα όλα μαζί, μετρήστε τα όλα ξανά. Το νέο αποτέλεσμα της διαδοχικής καταμέτρησης των λίθων από το νέο σωρό είναι το άθροισμα.
Με τον ίδιο τρόπο, δεν μπορείτε να ξέρετε τι είναι η αφαίρεση, απλά πάρτε και διαιρέστε ένα σωρό πέτρες σε δύο μέρη ή πάρτε έναν συγκεκριμένο αριθμό λίθων από έναν σωρό. Άρα αυτό που λέγεται διαφορά θα παραμείνει στο σωρό. Μπορείτε να πάρετε μόνο ό,τι είναι στο σωρό. Οι πιστώσεις και άλλοι οικονομικοί όροι δεν λαμβάνονται υπόψη σε αυτό το άρθρο.
Για να μην μετράνε κάθε φορά τις πέτρες, επειδή συμβαίνει να είναι πολλές και να είναι βαριές, κατέληξαν σε μαθηματικές πράξεις: πρόσθεση και αφαίρεση. Και για αυτές τις ενέργειες κατέληξαν σε μια τεχνική υπολογισμού.
Το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο αριθμών απομνημονεύεται ανόητα χωρίς καμία τεχνική. 2 συν 5 ισούται με επτά. Μπορείτε να βασιστείτε στο να μετράτε μπαστούνια, πέτρες, κεφάλια ψαριών - το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Βάλτε πρώτα 2 ξυλάκια, μετά 5 και μετά μετρήστε τα όλα μαζί. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος.
Όσοι είναι πιο έξυπνοι, συνήθως ταμίες και φοιτητές, απομνημονεύουν περισσότερο, όχι μόνο το άθροισμα των δύο ψηφίων, αλλά και το άθροισμα των αριθμών. Αλλά το πιο σημαντικό, μπορούν να προσθέσουν αριθμούς στο μυαλό τους χρησιμοποιώντας διαφορετικές τεχνικές. Αυτό ονομάζεται δεξιότητα της νοητικής καταμέτρησης.
Για να προσθέσετε αριθμούς που αποτελούνται από δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες και ακόμη μεγαλύτερα ψηφία, χρησιμοποιήστεειδικές τεχνικές - προσθήκη στήλης ή αριθμομηχανή. Με μια αριθμομηχανή, δεν μπορείτε καν να προσθέσετε αριθμούς και δεν χρειάζεται να διαβάσετε περαιτέρω.
Η προσθήκη στήλης είναι μια μέθοδος που σας επιτρέπει να προσθέτετε μεγάλους (πολυψήφιους) αριθμούς μαθαίνοντας μόνο τα αποτελέσματα της πρόσθεσης ψηφίων. Κατά την προσθήκη μιας στήλης, τα αντίστοιχα δεκαδικά ψηφία δύο αριθμών προστίθενται διαδοχικά (δηλαδή, στην πραγματικότητα δύο ψηφία), εάν το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δύο ψηφίων υπερβαίνει το 10, τότε λαμβάνεται υπόψη μόνο το τελευταίο ψηφίο αυτού του αθροίσματος - μονάδες του αριθμός και 1.
προστίθεται στο άθροισμα των παρακάτω ψηφίων
Πολλαπλασιασμός
Στους μαθηματικούς αρέσει να ομαδοποιούν παρόμοιες ενέργειες μαζί για να διευκολύνουν τους υπολογισμούς. Άρα η πράξη του πολλαπλασιασμού είναι μια ομαδοποίηση πανομοιότυπων ενεργειών - πρόσθεση πανομοιότυπων αριθμών. Κάθε γινόμενο N x M − είναι N πράξεις πρόσθεσης αριθμών M. Αυτή είναι απλώς μια μορφή γραφής της πρόσθεσης πανομοιότυπων όρων.
Για τον υπολογισμό του γινόμενου, χρησιμοποιείται η ίδια μέθοδος - πρώτα απομνημονεύεται ανόητα ο πίνακας πολλαπλασιασμού των ψηφίων μεταξύ τους και στη συνέχεια εφαρμόζεται η μέθοδος πολλαπλασιασμού bitwise, η οποία ονομάζεται "σε στήλη".
Ποιο έρχεται πρώτο, πολλαπλασιασμός ή πρόσθεση;
Οποιαδήποτε μαθηματική έκφραση είναι στην πραγματικότητα μια εγγραφή του λογιστή "από τα πεδία" σχετικά με τα αποτελέσματα οποιωνδήποτε ενεργειών. Ας πούμε συγκομιδή ντομάτας:
- 5 ενήλικες εργάτες διάλεξαν 500 ντομάτες ο καθένας και εκπλήρωσαν την ποσόστωση.
- 2 μαθητές δεν πήγαν σε μαθήματα μαθηματικών και βοήθησαν ενήλικες: μάζεψαν 50 ντομάτες ο καθένας, δεν πληρούσαν τον κανόνα, έφαγαν 30 ντομάτες, δάγκωσαν καιχάλασε άλλες 60 ντομάτες, 70 ντομάτες αφαιρέθηκαν από τις τσέπες των βοηθών. Δεν είναι ξεκάθαρο γιατί τα πήραν μαζί τους στο χωράφι.
Όλες οι ντομάτες παραδόθηκαν στον λογιστή, τις στοίβαξε σε στοίβες.
Γράψτε το αποτέλεσμα της "συγκομιδής" ως έκφραση:
- 500 + 500 + 500 + 500 + 500 είναι δέσμες ενήλικων εργαζομένων.
- 50 + 50 είναι μάτσες ανήλικων εργαζομένων.
- 70 – βγαλμένο από τις τσέπες των μαθητών (το κακομαθημένο και δαγκωμένο δεν μετράει στο αποτέλεσμα).
Λάβετε ένα παράδειγμα για το σχολείο, ένα αρχείο του ρεκόρ απόδοσης:
500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70=?;
Εδώ μπορείτε να εφαρμόσετε ομαδοποίηση: 5 σωροί από 500 ντομάτες - αυτό μπορεί να γραφτεί μέσω της λειτουργίας πολλαπλασιασμού: 5 ∙ 500.
Δύο στοίβες των 50 - αυτό μπορεί επίσης να γραφτεί μέσω πολλαπλασιασμού.
Και ένα μάτσο 70 ντομάτες.
5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70=?
Και τι να κάνετε πρώτα στο παράδειγμα - πολλαπλασιασμός ή πρόσθεση; Έτσι, μπορείτε να προσθέσετε μόνο ντομάτες. Δεν μπορείς να βάλεις 500 ντομάτες και 2 σωρούς μαζί. Δεν στοιβάζονται. Επομένως, αρχικά είναι πάντα απαραίτητο να φέρουμε όλες τις εγγραφές στις βασικές πράξεις πρόσθεσης, δηλαδή πρώτα από όλα να υπολογίσουμε όλες τις πράξεις ομαδοποίησης-πολλαπλασιασμού. Με πολύ απλά λόγια, πρώτα γίνεται ο πολλαπλασιασμός και μόνο μετά η πρόσθεση. Αν πολλαπλασιάσετε 5 σωρούς από 500 ντομάτες το καθένα, θα έχετε 2500 ντομάτες. Και μετά μπορούν ήδη να στοιβάζονται με ντομάτες από άλλους σωρούς.
2500 + 100 + 70=2 670
Όταν ένα παιδί μαθαίνει μαθηματικά, είναι απαραίτητο να του μεταφέρεις ότι αυτό είναι ένα εργαλείο που χρησιμοποιείται στην καθημερινή ζωή. Οι μαθηματικές εκφράσεις είναι στην πραγματικότητα (στην απλούστερη έκδοση του δημοτικού σχολείου), αρχεία αποθήκης σχετικά με την ποσότητα των αγαθών, τα χρήματα (πολύ εύκολα αντιληπτά από τους μαθητές) και άλλα είδη.
Συνεπώς, κάθε έργο είναι το άθροισμα των περιεχομένων ενός συγκεκριμένου αριθμού πανομοιότυπων δοχείων, κιβωτίων, πασσάλων που περιέχουν τον ίδιο αριθμό αντικειμένων. Και αυτός ο πρώτος πολλαπλασιασμός και μετά η πρόσθεση, δηλαδή, άρχισε πρώτα να υπολογίζεται ο συνολικός αριθμός των στοιχείων και μετά να τα προσθέτουμε μαζί.
Division
Η πράξη διαίρεσης δεν θεωρείται ξεχωριστά, είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού. Είναι απαραίτητο να διανείμετε κάτι μεταξύ των κουτιών, έτσι ώστε όλα τα κουτιά να έχουν τον ίδιο δεδομένο αριθμό αντικειμένων. Το πιο άμεσο ανάλογο στη ζωή είναι η συσκευασία.
Παρενθέσεις
Οι αγκύλες έχουν μεγάλη σημασία για την επίλυση παραδειγμάτων. Παρενθέσεις στην αριθμητική - ένα μαθηματικό πρόσημο που χρησιμοποιείται για τη ρύθμιση της ακολουθίας υπολογισμών σε μια παράσταση (παράδειγμα).
Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση έχουν προτεραιότητα έναντι της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Και οι παρενθέσεις έχουν προτεραιότητα έναντι του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης.
Ό,τι βρίσκεται σε παρένθεση αξιολογείται πρώτα. Εάν οι αγκύλες είναι ένθετες, τότε πρώτα αξιολογείται η έκφραση στις εσωτερικές αγκύλες. Και αυτός είναι ένας αμετάβλητος κανόνας. Μόλις αξιολογηθεί η έκφραση στις αγκύλες, οι αγκύλες εξαφανίζονται και στη θέση τους εμφανίζεται ένας αριθμός. Οι επιλογές για επέκταση αγκύλων με άγνωστα δεν λαμβάνονται υπόψη εδώ. Αυτό γίνεται μέχρι να εξαφανιστούν όλα από την έκφραση.
((25-5): 5 + 2): 3=?
- Είναι σαν μπομπονιέρες σε μια μεγάλη τσάντα. Πρώτα πρέπει να ανοίξετε όλα τα κουτιά και να τα ρίξετε σε μια μεγάλη σακούλα: (25 - 5) u003d 20. Πέντε καραμέλες από το κουτί στάλθηκαν αμέσως στον εξαιρετικό μαθητή Lyuda, ο οποίος ήταν άρρωστος και δεν συμμετείχε στις διακοπές. Η υπόλοιπη καραμέλα είναι στο σακουλάκι!
- Στη συνέχεια δέστε τα κουφέτα σε δέσμες των 5 τεμαχίων: 20: 5=4.
- Στη συνέχεια προσθέστε άλλα 2 ματσάκια γλυκά στο σακουλάκι για να το χωρίσετε σε τρία παιδιά χωρίς τσακωμό. Τα σημάδια της διαίρεσης με το 3 δεν λαμβάνονται υπόψη σε αυτό το άρθρο.
(20: 5 + 2): 3=(4 +2): 3=6: 3=2
Σύνολο: τρία παιδιά το καθένα με δύο δέσμες γλυκών (ένα πακέτο ανά χέρι), 5 γλυκά ανά πακέτο.
Αν υπολογίσετε τις πρώτες παρενθέσεις στην έκφραση και ξαναγράψετε τα πάντα ξανά, το παράδειγμα θα γίνει πιο σύντομο. Η μέθοδος δεν είναι γρήγορη, με μεγάλη κατανάλωση χαρτιού, αλλά εκπληκτικά αποτελεσματική. Ταυτόχρονα εκπαιδεύει την επίγνωση κατά την επανεγγραφή. Το παράδειγμα μεταφέρεται σε προβολή όταν απομένει μόνο μία ερώτηση, πρώτος πολλαπλασιασμός ή πρόσθεση χωρίς παρένθεση. Δηλαδή σε μια τέτοια μορφή, όταν δεν υπάρχουν πλέον αγκύλες. Αλλά η απάντηση σε αυτή την ερώτηση είναι ήδη εκεί, και δεν υπάρχει λόγος να συζητάμε ποιο έρχεται πρώτο - ο πολλαπλασιασμός ή η πρόσθεση.
Cherry on the cake
Και τέλος. Οι κανόνες της ρωσικής γλώσσας δεν ισχύουν για μια μαθηματική έκφραση - διαβάστε και εκτελέστε από αριστερά προς τα δεξιά:
5 – 8 + 4=1;
Αυτό το απλό παράδειγμα μπορεί να φέρει ένα παιδί σε υστερίες ή να χαλάσει τη βραδιά της μητέρας του. Γιατί θα πρέπει να εξηγήσει στη δεύτερη δημοτικού ότι υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί. Ή καταστρέψτε την εξουσία της "MaryaVanovna", η οποία είπε ότι: "Πρέπει να πάτε από αριστερά προς τα δεξιά και με τη σειρά."
Πολύ κεράσι
Ένα παράδειγμα κυκλοφορεί στον Ιστό που προκαλεί δυσκολίες στους ενήλικες θείους και θείες. Δεν είναι ακριβώς το θέμα στο χέρι, αυτό που έρχεται πρώτο - πολλαπλασιασμός ή πρόσθεση. Φαίνεται ότι πρόκειται για το γεγονός ότι εκτελέσατε πρώτα την ενέργεια σε αγκύλες.
Το άθροισμα δεν αλλάζει από την αναδιάταξη των όρων, ούτε από την αναδιάταξη των παραγόντων. Απλώς χρειάζεται να γράψετε την έκφραση με τέτοιο τρόπο ώστε να μην είναι επώδυνα ενοχλητικό αργότερα.
6: 2 ∙ (1+2)=6 ∙ ½ ∙ (1+2)=6 ∙ ½ ∙ 3=3 ∙ 3=9
Αυτό είναι σίγουρο τώρα!
