Στη γεωμετρία, δύο σημαντικά χαρακτηριστικά χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των σχημάτων: τα μήκη των πλευρών και οι γωνίες μεταξύ τους. Στην περίπτωση των χωρικών σχημάτων, σε αυτά τα χαρακτηριστικά προστίθενται διεδρικές γωνίες. Ας εξετάσουμε τι είναι και ας περιγράψουμε επίσης τη μέθοδο για τον προσδιορισμό αυτών των γωνιών χρησιμοποιώντας το παράδειγμα μιας πυραμίδας.
Η έννοια της διεδρικής γωνίας
Όλοι γνωρίζουν ότι δύο τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν γωνία με την κορυφή στο σημείο της τομής τους. Αυτή η γωνία μπορεί να μετρηθεί με ένα μοιρογνωμόνιο ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικές συναρτήσεις για να την υπολογίσετε. Η γωνία που σχηματίζεται από δύο ορθές γωνίες ονομάζεται γραμμική.
Τώρα φανταστείτε ότι στον τρισδιάστατο χώρο υπάρχουν δύο επίπεδα που τέμνονται σε ευθεία γραμμή. Φαίνονται στην εικόνα.
Μια διεδρική γωνία είναι η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων. Ακριβώς όπως το γραμμικό, μετριέται σε μοίρες ή ακτίνια. Εάν σε οποιοδήποτε σημείο της ευθείας κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα, επαναφέρετε δύο κάθετες,που βρίσκεται σε αυτά τα επίπεδα, τότε η γωνία μεταξύ τους θα είναι η επιθυμητή δίεδρος. Ο ευκολότερος τρόπος για να προσδιορίσετε αυτή τη γωνία είναι να χρησιμοποιήσετε τις γενικές εξισώσεις των επιπέδων.
Η εξίσωση των επιπέδων και ο τύπος για τη μεταξύ τους γωνία
Η εξίσωση οποιουδήποτε επιπέδου στο διάστημα σε γενικούς όρους γράφεται ως εξής:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Εδώ x, y, z είναι οι συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στο επίπεδο, οι συντελεστές A, B, C, D είναι κάποιοι γνωστοί αριθμοί. Η ευκολία αυτής της ισότητας για τον υπολογισμό των διεδρικών γωνιών είναι ότι περιέχει ρητά τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης του επιπέδου. Θα το συμβολίσουμε με n¯. Τότε:
n¯=(A; B; C).
Το διάνυσμα n¯ είναι κάθετο στο επίπεδο. Η γωνία μεταξύ δύο επιπέδων είναι ίση με τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους n1¯ και n2¯. Είναι γνωστό από τα μαθηματικά ότι η γωνία που σχηματίζουν δύο διανύσματα καθορίζεται μοναδικά από το βαθμωτό γινόμενο τους. Αυτό σας επιτρέπει να γράψετε έναν τύπο για τον υπολογισμό της διεδρικής γωνίας μεταξύ δύο επιπέδων:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Αν αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων, ο τύπος θα γραφτεί ρητά:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Το σύμβολο modulo στον αριθμητή χρησιμοποιείται για να ορίσει μόνο μια οξεία γωνία, καθώς μια διεδρική γωνία είναι πάντα μικρότερη ή ίση με 90o.
Η πυραμίδα και οι γωνίες της
Η
Πυραμίδα είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από ένα n-γώνιο και n τρίγωνα. Εδώ το n είναι ένας ακέραιος αριθμός ίσος με τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου που είναι η βάση της πυραμίδας. Αυτό το χωρικό σχήμα είναι ένα πολύεδρο ή πολύεδρο, καθώς αποτελείται από επίπεδες όψεις (πλευρές).
Οι δίεδρες γωνίες μιας πυραμίδας-πολύεδρου μπορούν να είναι δύο τύπων:
- μεταξύ βάσης και πλευράς (τρίγωνο);
- μεταξύ δύο πλευρών.
Αν η πυραμίδα θεωρείται κανονική, τότε είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι ονομαστικές γωνίες για αυτήν. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες τριών γνωστών σημείων, θα πρέπει κανείς να συνθέσει μια εξίσωση επιπέδων και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσει τον τύπο που δίνεται στην παραπάνω παράγραφο για τη γωνία φ.
Παρακάτω δίνουμε ένα παράδειγμα στο οποίο δείχνουμε πώς να βρείτε δίεδρες γωνίες στη βάση μιας τετράπλευρης κανονικής πυραμίδας.
Μια τετραγωνική κανονική πυραμίδα και μια γωνία στη βάση της
Υποθέστε ότι δίνεται μια κανονική πυραμίδα με τετράγωνη βάση. Το μήκος της πλευράς του τετραγώνου είναι a, το ύψος του σχήματος είναι h. Βρείτε τη γωνία μεταξύ της βάσης της πυραμίδας και της πλευράς της.
Ας τοποθετήσουμε την αρχή του συστήματος συντεταγμένων στο κέντρο του τετραγώνου. Στη συνέχεια οι συντεταγμένες των σημείωνΤα A, B, C, D που εμφανίζονται στην εικόνα θα είναι:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Εξετάστε τα επίπεδα ACB και ADB. Προφανώς, το διάνυσμα κατεύθυνσης n1¯ για το επίπεδο ACB θα είναι:
1¯=(0; 0; 1).
Για να προσδιορίσετε το διάνυσμα κατεύθυνσης n2¯ του επιπέδου ADB, προχωρήστε ως εξής: βρείτε δύο αυθαίρετα διανύσματα που ανήκουν σε αυτό, για παράδειγμα, AD¯ και AB¯, στη συνέχεια να υπολογίσετε το διανυσματικό τους έργο. Το αποτέλεσμά του θα δώσει τις συντεταγμένες n2¯. Έχουμε:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Δεδομένου ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση ενός διανύσματος με έναν αριθμό δεν αλλάζει την κατεύθυνση του, μετατρέπουμε το n2¯, διαιρώντας τις συντεταγμένες του με -a, παίρνουμε:
2¯=(h; 0; a/2).
Έχουμε ορίσει διανυσματικούς οδηγούς n1¯ και n2¯ για τη βάση ACB και τα πλευρικά επίπεδα ADB. Απομένει να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τη γωνία φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Μετατρέψτε την έκφραση που προκύπτει και ξαναγράψτε την ως εξής:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Λάβαμε τον τύπο για τη διεδρική γωνία στη βάση για μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα. Γνωρίζοντας το ύψος του σχήματος και το μήκος της πλευράς του, μπορείτε να υπολογίσετε τη γωνία φ. Για παράδειγμα, για την πυραμίδα του Χέοπα, της οποίας η πλευρά βάσης είναι 230,4 μέτρα και το αρχικό ύψος ήταν 146,5 μέτρα, η γωνία φ θα είναι 51,8o.
Είναι επίσης δυνατός ο προσδιορισμός της διεδρικής γωνίας για μια τετραγωνική κανονική πυραμίδα χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική μέθοδο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να εξετάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από το ύψος h, το μισό μήκος της βάσης a/2 και το απόθεμα ενός ισοσκελούς τριγώνου.
