Δίεδρες γωνίες της πυραμίδας και ο τρόπος υπολογισμού τους

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Τυπικές γραμμικές παράμετροι οποιασδήποτε πυραμίδας είναι τα μήκη των πλευρών της βάσης, το ύψος, τα πλευρικά άκρα και τα αποθέματα. Ωστόσο, υπάρχει ένα άλλο χαρακτηριστικό που σχετίζεται με τις σημειωμένες παραμέτρους - αυτή είναι η διεδρική γωνία. Σκεφτείτε στο άρθρο τι είναι και πώς να το βρείτε.

Πυραμίδα χωρικής μορφής

Κάθε μαθητής έχει μια καλή ιδέα για το τι διακυβεύεται όταν ακούει τη λέξη "πυραμίδα". Μπορεί να κατασκευαστεί γεωμετρικά ως εξής: επιλέξτε ένα συγκεκριμένο πολύγωνο, στη συνέχεια καθορίστε ένα σημείο στο χώρο και συνδέστε το σε κάθε γωνία του πολυγώνου. Το προκύπτον τρισδιάστατο σχήμα θα είναι μια πυραμίδα αυθαίρετου τύπου. Το πολύγωνο που το σχηματίζει ονομάζεται βάση και το σημείο στο οποίο συνδέονται όλες οι γωνίες του είναι η κορυφή του σχήματος. Το παρακάτω σχήμα δείχνει σχηματικά μια πενταγωνική πυραμίδα.

Μπορεί να φανεί ότι η επιφάνειά του σχηματίζεται όχι μόνο από ένα πεντάγωνο, αλλά και από πέντε τρίγωνα. Γενικά, ο αριθμός αυτών των τριγώνων θα είναι ίσος με τον αριθμόπλευρές πολυγωνικής βάσης.

Δίεδρες γωνίες του σχήματος

Όταν εξετάζονται γεωμετρικά προβλήματα σε ένα επίπεδο, οποιαδήποτε γωνία σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες γραμμές ή τμήματα. Στο διάστημα, σε αυτές τις γραμμικές γωνίες προστίθενται διεδρικές γωνίες, που σχηματίζονται από την τομή δύο επιπέδων.

Αν ο χαρακτηρισμένος ορισμός μιας γωνίας στο διάστημα εφαρμοστεί στο εν λόγω σχήμα, τότε μπορούμε να πούμε ότι υπάρχουν δύο τύποι διεδρικών γωνιών:

• Στη βάση της πυραμίδας. Σχηματίζεται από το επίπεδο της βάσης και οποιαδήποτε από τις πλευρικές όψεις (τρίγωνο). Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες βάσης της πυραμίδας είναι n, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου.
• Μεταξύ των πλευρών (τρίγωνα). Ο αριθμός αυτών των δίεδρων γωνιών είναι επίσης n κομμάτια.

Σημειώστε ότι ο πρώτος τύπος εξεταζόμενων γωνιών είναι χτισμένος στις άκρες της βάσης, ο δεύτερος τύπος - στα πλευρικά άκρα.

Πώς να υπολογίσετε τις γωνίες μιας πυραμίδας;

Η γραμμική γωνία μιας διεδρικής γωνίας είναι το μέτρο της τελευταίας. Δεν είναι εύκολο να το υπολογίσουμε, αφού οι όψεις της πυραμίδας, σε αντίθεση με τις όψεις του πρίσματος, δεν τέμνονται σε ορθή γωνία στη γενική περίπτωση. Είναι πιο αξιόπιστο να υπολογιστούν οι τιμές των διεδρικών γωνιών χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις του επιπέδου σε γενική μορφή.

Στον τρισδιάστατο χώρο, ένα επίπεδο δίνεται από την ακόλουθη έκφραση:

Ax + By + Cz + D=0

Όπου A, B, C, D είναι μερικοί πραγματικοί αριθμοί. Η ευκολία αυτής της εξίσωσης είναι ότι οι τρεις πρώτοι σημειωμένοι αριθμοί είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος,που είναι κάθετο στο δεδομένο επίπεδο, δηλ.:

n¯=[A; ΣΙ; Γ]

Αν οι συντεταγμένες των τριών σημείων που ανήκουν στο επίπεδο είναι γνωστές, τότε λαμβάνοντας το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων που είναι χτισμένα σε αυτά τα σημεία, μπορούμε να λάβουμε τις συντεταγμένες n¯. Το διάνυσμα n¯ ονομάζεται οδηγός για το επίπεδο.

Σύμφωνα με τον ορισμό, η διεδρική γωνία που σχηματίζεται από την τομή δύο επιπέδων είναι ίση με τη γραμμική γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο επίπεδα των οποίων τα κανονικά διανύσματα είναι ίσα:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Για να υπολογίσετε τη γωνία φ μεταξύ τους, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα κλιμακωτό γινόμενο και, στη συνέχεια, ο αντίστοιχος τύπος γίνεται:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Ή σε μορφή συντεταγμένων:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Ας δείξουμε πώς να χρησιμοποιήσετε την παραπάνω μέθοδο για τον υπολογισμό των διεδρικών γωνιών κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.

Γωνίες κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας

Υποθέστε ότι υπάρχει μια κανονική πυραμίδα, στη βάση της οποίας υπάρχει ένα τετράγωνο με πλευρά 10 εκ. Το ύψος του σχήματος είναι12 εκ. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε ποιες είναι οι δίεδρες γωνίες στη βάση της πυραμίδας και για τις πλευρές της.

Δεδομένου ότι το σχήμα που δίνεται στην συνθήκη του προβλήματος είναι σωστό, δηλαδή έχει υψηλή συμμετρία, τότε όλες οι γωνίες στη βάση είναι ίσες μεταξύ τους. Οι γωνίες που σχηματίζονται από τις πλευρικές όψεις είναι επίσης ίδιες. Για να υπολογίσουμε τις απαιτούμενες διεδρικές γωνίες, βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης για τη βάση και τα δύο πλευρικά επίπεδα. Σημειώστε το μήκος της πλευράς της βάσης με το γράμμα a και το ύψος h.

Η παραπάνω εικόνα δείχνει μια τετράγωνη κανονική πυραμίδα. Ας γράψουμε τις συντεταγμένες των σημείων A, B, C και D σύμφωνα με το εισαγόμενο σύστημα συντεταγμένων:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; η)

Τώρα βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης για τα επίπεδα βάσης ABC και τις δύο πλευρές ABD και BCD σύμφωνα με τη μέθοδο που περιγράφεται στην παραπάνω παράγραφο:

Για ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Για ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Για BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Τώρα απομένει να εφαρμόσουμε τον κατάλληλο τύπο για τη γωνία φ και να αντικαταστήσουμε τις τιμές πλευράς και ύψους από τη δήλωση προβλήματος:

Γωνία μεταξύ ABC καιABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

Γωνία μεταξύ ABD και BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Υπολογίσαμε τις τιμές των γωνιών που έπρεπε να βρεθούν από την συνθήκη του προβλήματος. Οι τύποι που λαμβάνονται για την επίλυση του προβλήματος μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό των διεδρικών γωνιών τετραγωνικών κανονικών πυραμίδων με οποιεσδήποτε τιμές a και h.

Γωνίες μιας τριγωνικής κανονικής πυραμίδας

Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο. Είναι γνωστό ότι η δίεδρη γωνία μεταξύ των πλευρών είναι ορθή. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης εάν είναι γνωστό ότι το ύψος του σχήματος είναι 15 cm.

Μια διεδρική γωνία ίση με 90^o συμβολίζεται ως ABC στο σχήμα. Μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας την παραπάνω μέθοδο, αλλά σε αυτήν την περίπτωση θα το κάνουμε πιο εύκολα. Ας συμβολίσουμε την πλευρά του τριγώνου a, το ύψος του σχήματος - h, το απόθεμα - h_b και την πλευράπλευρό - β. Τώρα μπορείτε να γράψετε τους παρακάτω τύπους:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Δεδομένου ότι τα δύο πλευρικά τρίγωνα στην πυραμίδα είναι ίδια, οι πλευρές AB και CB είναι ίσες και είναι τα σκέλη του τριγώνου ABC. Ας συμβολίσουμε το μήκος τους με x, τότε:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Εξισώνοντας τα εμβαδά των πλευρικών τριγώνων και αντικαθιστώντας το απόθεμα στην αντίστοιχη παράσταση, έχουμε:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

Το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου υπολογίζεται ως εξής:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Αντικαταστήστε την τιμή ύψους από την συνθήκη του προβλήματος, παίρνουμε την απάντηση: S=584, 567 cm².