Όταν μελετάτε τη στερεομετρία, ένα από τα κύρια θέματα είναι ο «Κύλινδρος». Η πλευρική επιφάνεια θεωρείται, αν όχι η κύρια, τότε μια σημαντική φόρμουλα για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων. Ωστόσο, είναι σημαντικό να θυμάστε ορισμούς που θα σας βοηθήσουν να περιηγηθείτε στα παραδείγματα και κατά την απόδειξη διαφόρων θεωρημάτων.
Cylinder concept
Πρώτα πρέπει να εξετάσουμε μερικούς ορισμούς. Μόνο μετά τη μελέτη τους μπορεί κανείς να αρχίσει να εξετάζει το ζήτημα του τύπου για την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου. Με βάση αυτήν την καταχώρηση, μπορούν να υπολογιστούν και άλλες εκφράσεις.
- Μια κυλινδρική επιφάνεια νοείται ως ένα επίπεδο που περιγράφεται από μια γεννήτρια, που κινείται και παραμένει παράλληλη σε μια δεδομένη κατεύθυνση, ολισθαίνοντας κατά μήκος μιας υπάρχουσας καμπύλης.
- Υπάρχει επίσης ένας δεύτερος ορισμός: μια κυλινδρική επιφάνεια σχηματίζεται από ένα σύνολο παράλληλων γραμμών που τέμνουν μια δεδομένη καμπύλη.
- Γενικό ονομάζεται συμβατικά το ύψος του κυλίνδρου. Όταν κινείται γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο της βάσης,προκύπτει το καθορισμένο γεωμετρικό σώμα.
- Κάτω από τον άξονα νοείται μια ευθεία που διέρχεται από τις δύο βάσεις του σχήματος.
- Ένας κύλινδρος είναι ένα στερεομετρικό σώμα που οριοθετείται από μια τέμνουσα πλευρική επιφάνεια και 2 παράλληλα επίπεδα.
Υπάρχουν ποικιλίες αυτής της τρισδιάστατης φιγούρας:
- Κύκλος είναι ένας κύλινδρος του οποίου ο οδηγός είναι ένας κύκλος. Τα κύρια συστατικά του είναι η ακτίνα της βάσης και η γεννήτρια. Το τελευταίο είναι ίσο με το ύψος του σχήματος.
- Υπάρχει ένας ευθύς κύλινδρος. Πήρε το όνομά του λόγω της καθετότητας της γενεαλογίας στις βάσεις του σχήματος.
- Το τρίτο είδος είναι ένας λοξότμητος κύλινδρος. Στα σχολικά βιβλία, μπορείτε επίσης να βρείτε ένα άλλο όνομα για αυτό - "κυκλικός κύλινδρος με λοξότμητη βάση". Αυτό το σχήμα ορίζει την ακτίνα της βάσης, το ελάχιστο και το μέγιστο ύψος.
- Ισόπλευρος κύλινδρος νοείται ως σώμα που έχει ίσο ύψος και διάμετρο κυκλικού επιπέδου.
Symbols
Παραδοσιακά, τα κύρια "εξαρτήματα" ενός κυλίνδρου ονομάζονται ως εξής:
- Η ακτίνα της βάσης είναι R (αντικαθιστά επίσης την ίδια τιμή ενός στερεομετρικού σχήματος).
- Generative – L.
- Ύψος – Υ.
- Περιοχή βάσης - Sβάση (με άλλα λόγια, πρέπει να βρείτε την καθορισμένη παράμετρο κύκλου).
- Υψη λοξότμητου κυλίνδρου – h1, h2 (ελάχιστο και μέγιστο).
- Εμβαδόν πλευρικής επιφάνειας - Sπλευρά (αν το επεκτείνετε, λαμβάνετεείδος ορθογωνίου).
- Ο όγκος μιας στερεομετρικής φιγούρας - V.
- Συνολική επιφάνεια – S.
"Στοιχεία" μιας στερεομετρικής φιγούρας
Όταν μελετάτε έναν κύλινδρο, η πλευρική επιφάνεια παίζει σημαντικό ρόλο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αυτός ο τύπος περιλαμβάνεται σε πολλές άλλες, πιο σύνθετες. Επομένως, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε καλά τη θεωρία.
Τα κύρια συστατικά του σχήματος είναι:
- Πλάγια επιφάνεια. Όπως γνωρίζετε, λαμβάνεται λόγω της κίνησης της γεννήτριας κατά μήκος μιας δεδομένης καμπύλης.
- Η πλήρης επιφάνεια περιλαμβάνει τις υπάρχουσες βάσεις και το πλευρικό επίπεδο.
- Το τμήμα ενός κυλίνδρου, κατά κανόνα, είναι ένα ορθογώνιο που βρίσκεται παράλληλα στον άξονα του σχήματος. Διαφορετικά, ονομάζεται αεροπλάνο. Αποδεικνύεται ότι το μήκος και το πλάτος είναι στοιχεία μερικής απασχόλησης άλλων σχημάτων. Άρα, υπό όρους, τα μήκη του τμήματος είναι γεννήτριες. Πλάτος - παράλληλες συγχορδίες στερεομετρικής φιγούρας.
- Αξονική τομή σημαίνει τη θέση του επιπέδου διαμέσου του κέντρου του σώματος.
- Και τέλος, ο τελικός ορισμός. Εφαπτομένη είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από τη γεννήτρια του κυλίνδρου και βρίσκεται σε ορθή γωνία προς την αξονική τομή. Σε αυτή την περίπτωση πρέπει να πληρούται μία προϋπόθεση. Η καθορισμένη γεννήτρια πρέπει να περιλαμβάνεται στο επίπεδο του αξονικού τμήματος.
Βασικοί τύποι για εργασία με κύλινδρο
Για να απαντήσετε στο ερώτημα πώς να βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας ενός κυλίνδρου, είναι απαραίτητο να μελετήσετε τα κύρια "συστατικά" ενός στερεομετρικού σχήματος και τους τύπους για την εύρεση τους.
Αυτοί οι τύποι διαφέρουν στο ότι δίνονται πρώτα οι εκφράσεις για τον λοξότμητο κύλινδρο και μετά για τον ευθύ.
Αποδομημένα Παραδείγματα
Εργασία 1.
Είναι απαραίτητο να γνωρίζετε την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου. Δίνεται η διαγώνιος της τομής AC=8 cm (εξάλλου είναι αξονική). Όταν έρχεται σε επαφή με τη γεννήτρια, προκύπτει <ACD=30°
Απόφαση. Εφόσον οι τιμές της διαγωνίου και της γωνίας είναι γνωστές, τότε σε αυτήν την περίπτωση:
CD=ACcos 30°
Σχόλιο. Το τρίγωνο ACD, στο συγκεκριμένο παράδειγμα, είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό σημαίνει ότι το πηλίκο διαίρεσης CD και AC=το συνημίτονο της δεδομένης γωνίας. Η τιμή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μπορεί να βρεθεί σε έναν ειδικό πίνακα.
Ομοίως, μπορείτε να βρείτε την τιμή του AD:
AD=ACsin 30°
Τώρα πρέπει να υπολογίσετε το επιθυμητό αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας την ακόλουθη διατύπωση: η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι ίση με το διπλάσιο του αποτελέσματος του πολλαπλασιασμού του "pi", της ακτίνας του σχήματος και του ύψους του. Θα πρέπει επίσης να χρησιμοποιηθεί ένας άλλος τύπος: η περιοχή της βάσης του κυλίνδρου. Είναι ίσο με το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του "pi" με το τετράγωνο της ακτίνας. Και τέλος, ο τελευταίος τύπος: συνολική επιφάνεια. Είναι ίσο με το άθροισμα των δύο προηγούμενων περιοχών.
Εργασία 2.
Δίνονται κύλινδροι. Ο όγκος τους=128n cm³. Ποιος κύλινδρος έχει τον μικρότεροπλήρης επιφάνεια;
Απόφαση. Πρώτα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους τύπους για να βρείτε τον όγκο ενός σχήματος και το ύψος του.
Δεδομένου ότι η συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου είναι γνωστή από τη θεωρία, πρέπει να εφαρμοστεί ο τύπος του.
Αν θεωρήσουμε τον τύπο που προκύπτει ως συνάρτηση της επιφάνειας του κυλίνδρου, τότε ο ελάχιστος "δείκτης" θα επιτευχθεί στο ακραίο σημείο. Για να λάβετε την τελευταία τιμή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε διαφοροποίηση.
Οι τύποι μπορούν να προβληθούν σε έναν ειδικό πίνακα για την εύρεση παραγώγων. Στο μέλλον, το αποτέλεσμα που βρέθηκε ισοδυναμεί με μηδέν και βρίσκεται η λύση της εξίσωσης.
Απάντηση: Smin θα επιτευχθεί στο h=1/32 cm, R=64 cm.
Πρόβλημα 3.
Δίνεται μια στερεομετρική φιγούρα - ένας κύλινδρος και μια τομή. Το τελευταίο εκτελείται με τέτοιο τρόπο ώστε να βρίσκεται παράλληλα με τον άξονα του στερεομετρικού σώματος. Ο κύλινδρος έχει τις ακόλουθες παραμέτρους: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η απόσταση μεταξύ του τμήματος και του άξονα.
Απόφαση.
Δεδομένου ότι η διατομή ενός κυλίνδρου εννοείται ότι είναι VSCM, δηλαδή ορθογώνιο, η πλευρά του VM=h. Το WMC πρέπει να εξεταστεί. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Με βάση αυτή τη δήλωση, μπορούμε να συμπεράνουμε τη σωστή υπόθεση ότι MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
Από εδώ μπορούμε να συμπεράνουμε ότι MK=BC=8 cm.
Το επόμενο βήμα είναι να σχεδιάσετε ένα τμήμα στη βάση του σχήματος. Είναι απαραίτητο να λάβετε υπόψη το επίπεδο που προκύπτει.
AD – διάμετρος στερεομετρικού σχήματος. Είναι παράλληλη με την ενότητα που αναφέρεται στη δήλωση προβλήματος.
Το BC είναι μια ευθεία γραμμή που βρίσκεται στο επίπεδο του υπάρχοντος ορθογωνίου.
Το Το ABCD είναι τραπεζοειδές. Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, θεωρείται ισοσκελές, καθώς περιγράφεται ένας κύκλος γύρω του.
Αν βρείτε το ύψος του τραπεζοειδούς που προκύπτει, μπορείτε να λάβετε την απάντηση που δίνεται στην αρχή του προβλήματος. Δηλαδή: εύρεση της απόστασης μεταξύ του άξονα και του τμήματος που σχεδιάστηκε.
Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε τις τιμές των AD και OS.
Απάντηση: το τμήμα βρίσκεται 3 cm από τον άξονα.
Προβλήματα ενοποίησης του υλικού
Παράδειγμα 1.
Δόθηκε Κύλινδρος. Η πλευρική επιφάνεια χρησιμοποιείται στην περαιτέρω λύση. Άλλες επιλογές είναι γνωστές. Το εμβαδόν της βάσης είναι Q, το εμβαδόν του αξονικού τμήματος είναι M. Είναι απαραίτητο να βρεθεί το S. Με άλλα λόγια, το συνολικό εμβαδόν του κυλίνδρου.
Παράδειγμα 2.
Δόθηκε Κύλινδρος. Η πλευρική επιφάνεια πρέπει να βρεθεί σε ένα από τα βήματα επίλυσης του προβλήματος. Είναι γνωστό ότι ύψος=4 cm, ακτίνα=2 cm. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η συνολική επιφάνεια μιας στερεομετρικής φιγούρας.
