Το
Το Πρίσμα είναι μια από τις γνωστές φιγούρες που μελετήθηκαν στο μάθημα της στερεάς γεωμετρίας στα σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Για να μπορέσετε να υπολογίσετε διάφορα χαρακτηριστικά για σχήματα αυτής της κατηγορίας, πρέπει να γνωρίζετε τι είδη πρισμάτων υπάρχουν. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτό το ζήτημα.
Πρίσμα στη στερεομετρία
Αρχικά, ας ορίσουμε την αναφερόμενη κατηγορία ψηφίων. Πρίσμα είναι κάθε πολύεδρο που αποτελείται από δύο παράλληλες πολυγωνικές βάσεις, οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους με παραλληλόγραμμα.
Μπορείτε να πάρετε αυτό το σχήμα με τον ακόλουθο τρόπο: επιλέξτε ένα αυθαίρετο πολύγωνο στο επίπεδο και, στη συνέχεια, μετακινήστε το στο μήκος οποιουδήποτε διανύσματος που δεν ανήκει στο αρχικό επίπεδο του πολυγώνου. Κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας παράλληλης κίνησης, οι πλευρές του πολυγώνου θα περιγράφουν τις πλευρικές όψεις του μελλοντικού πρίσματος και η τελική θέση του πολυγώνου θα γίνει η δεύτερη βάση του σχήματος. Με τον τρόπο που περιγράφηκε, μπορεί να ληφθεί ένας αυθαίρετος τύπος πρίσματος. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα τριγωνικό πρίσμα.
Ποιοι είναι οι τύποι των πρισμάτων;
Πρόκειται για την ταξινόμηση των σχημάτωντην εν λόγω τάξη. Στη γενική περίπτωση, αυτή η ταξινόμηση πραγματοποιείται λαμβάνοντας υπόψη τα χαρακτηριστικά της πολυγωνικής βάσης και των πλευρών του σχήματος. Συνήθως, διακρίνονται οι ακόλουθοι τρεις τύποι πρισμάτων:
- Ευθεία και λοξή (λοξή).
- Σωστό και λάθος.
- Κυρτό και κοίλο.
Ένα πρίσμα οποιουδήποτε από τους ονομαζόμενους τύπους ταξινόμησης μπορεί να έχει μια τετραγωνική, πενταγωνική, …, n-γωνική βάση. Όσον αφορά τους τύπους τριγωνικού πρίσματος, μπορεί να ταξινομηθεί μόνο σύμφωνα με τα δύο πρώτα σημεία που αναφέρθηκαν. Ένα τριγωνικό πρίσμα είναι πάντα κυρτό.
Παρακάτω, θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε κάθε έναν από αυτούς τους τύπους ταξινόμησης και θα δώσουμε μερικούς χρήσιμους τύπους για τον υπολογισμό των γεωμετρικών ιδιοτήτων ενός πρίσματος (εμβαδόν επιφάνειας, όγκος).
Ίσια και λοξά σχήματα
Μπορείτε να διακρίνετε ένα άμεσο πρίσμα από ένα λοξό με μια ματιά. Εδώ είναι το αντίστοιχο σχήμα.
Εδώ φαίνονται δύο πρίσματα (εξάγωνο στα αριστερά και πενταγωνικό στα δεξιά). Όλοι θα πουν με σιγουριά ότι το εξάγωνο είναι ίσιο και το πεντάγωνο είναι λοξό. Ποιο γεωμετρικό χαρακτηριστικό διακρίνει αυτά τα πρίσματα; Φυσικά, ο τύπος του πλαϊνού προσώπου.
Ένα ευθύ πρίσμα, ανεξάρτητα από τη βάση του, όλες οι όψεις είναι ορθογώνια. Μπορεί να είναι ίσα μεταξύ τους ή μπορεί να διαφέρουν, το μόνο σημαντικό πράγμα είναι ότι είναι ορθογώνια και οι δίεδρες γωνίες τους με τις βάσεις είναι 90o.
Σχετικά με ένα λοξό σχήμα, θα πρέπει να ειπωθεί ότι όλες ή μερικές από τις πλευρικές του όψεις είναιπαραλληλόγραμμα που σχηματίζουν έμμεσες διεδρικές γωνίες με τη βάση.
Για όλους τους τύπους ευθύγραμμων πρισμάτων, το ύψος είναι το μήκος του πλευρικού άκρου, για τις πλάγιες μορφές, το ύψος είναι πάντα μικρότερο από τα πλευρικά τους άκρα. Η γνώση του ύψους ενός πρίσματος είναι σημαντική κατά τον υπολογισμό της επιφάνειας και του όγκου του. Για παράδειγμα, ο τύπος όγκου είναι:
V=Soh
Όπου h είναι το ύψος, So είναι το εμβαδόν μιας βάσης.
Πρίσματα σωστά και λανθασμένα
Οποιοδήποτε πρίσμα είναι λάθος αν δεν είναι ευθύ ή η βάση του δεν είναι σωστή. Το ζήτημα των ευθύγραμμων και κεκλιμένων πρισμάτων συζητήθηκε παραπάνω. Εδώ εξετάζουμε τι σημαίνει η έκφραση "κανονική πολυγωνική βάση".
Ένα πολύγωνο είναι κανονικό εάν όλες οι πλευρές του είναι ίσες (ας υποδηλώσουμε το μήκος τους με το γράμμα α), και όλες οι γωνίες του είναι επίσης ίσες. Παραδείγματα κανονικών πολυγώνων είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα τετράγωνο, ένα εξάγωνο με έξι γωνίες 120o και ούτω καθεξής. Η περιοχή οποιουδήποτε κανονικού n-gon υπολογίζεται χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Ακολουθεί μια σχηματική αναπαράσταση κανονικών πρισμάτων με τριγωνικές, τετράγωνες, …, οκταγωνικές βάσεις.
Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για το V, μπορούμε να γράψουμε την αντίστοιχη έκφραση για κανονικά σχήματα:
V=n/4a2ctg(pi/n)h
Όσον αφορά τη συνολική επιφάνεια, για τα κανονικά πρίσματα σχηματίζεται από τα εμβαδά δύοπανομοιότυπες βάσεις και n όμοια ορθογώνια με πλευρές h και a. Αυτά τα γεγονότα μας επιτρέπουν να γράψουμε έναν τύπο για την επιφάνεια οποιουδήποτε κανονικού πρίσματος:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
Εδώ ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στο εμβαδόν των δύο βάσεων, ο δεύτερος όρος καθορίζει μόνο το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας.
Από όλους τους τύπους κανονικών πρισμάτων, μόνο τα τετράγωνα πρίσματα έχουν τα δικά τους ονόματα. Έτσι, ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, στο οποίο a≠h, ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Αν αυτός ο αριθμός έχει a=h, τότε μιλάνε για έναν κύβο.
Κοίλα σχήματα
Μέχρι τώρα, εξετάζαμε μόνο κυρτούς τύπους πρισμάτων. Σε αυτούς δίνεται η κύρια προσοχή στη μελέτη της κατηγορίας των μορφών που εξετάζονται. Υπάρχουν όμως και κοίλα πρίσματα. Διαφέρουν από τα κυρτά στο ότι οι βάσεις τους είναι κοίλα πολύγωνα, ξεκινώντας από ένα τετράπλευρο.
Το σχήμα δείχνει δύο κοίλα πρίσματα, τα οποία είναι κατασκευασμένα από χαρτί, για παράδειγμα. Το αριστερό με τη μορφή πεντάκτινου αστέρα είναι ένα δεκαγωνικό πρίσμα, το δεξί με τη μορφή ενός εξάκτινου αστέρα ονομάζεται δωδεκαγωνικό κοίλο ευθύ πρίσμα.
