Αυτά τα γεωμετρικά σχήματα μας περιβάλλουν παντού. Τα κυρτά πολύγωνα μπορεί να είναι φυσικά, όπως μια κηρήθρα, ή τεχνητά (τεχνητά). Οι φιγούρες αυτές χρησιμοποιούνται στην παραγωγή διαφόρων τύπων επιστρώσεων, στη ζωγραφική, την αρχιτεκτονική, τη διακόσμηση κ.λπ. Τα κυρτά πολύγωνα έχουν την ιδιότητα όλα τα σημεία τους να βρίσκονται στην ίδια πλευρά μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από ένα ζεύγος γειτονικών κορυφών αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Υπάρχουν και άλλοι ορισμοί. Ένα πολύγωνο ονομάζεται κυρτό εάν βρίσκεται σε ένα μόνο ημιεπίπεδο σε σχέση με οποιαδήποτε ευθεία που περιέχει μία από τις πλευρές του.
Κυρτά πολύγωνα
Στο μάθημα της στοιχειώδους γεωμετρίας, λαμβάνονται πάντα υπόψη μόνο τα απλά πολύγωνα. Να κατανοήσουν όλες τις ιδιότητες τέτοιωνγεωμετρικά σχήματα, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τη φύση τους. Αρχικά, θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι οποιαδήποτε γραμμή ονομάζεται κλειστή, τα άκρα της οποίας συμπίπτουν. Επιπλέον, το σχήμα που σχηματίζεται από αυτό μπορεί να έχει ποικίλες διαμορφώσεις. Ένα πολύγωνο είναι μια απλή κλειστή διακεκομμένη γραμμή, στην οποία οι γειτονικοί σύνδεσμοι δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Οι σύνδεσμοι και οι κορυφές του είναι, αντίστοιχα, οι πλευρές και οι κορυφές αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Μια απλή πολύγραμμη δεν πρέπει να έχει αυτοτομές.
Οι κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται γειτονικές αν αντιπροσωπεύουν τα άκρα μιας από τις πλευρές του. Ένα γεωμετρικό σχήμα που έχει τον ν-οστό αριθμό κορυφών, και επομένως τον ν-οστό αριθμό πλευρών, ονομάζεται n-gon. Η ίδια η διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται περίγραμμα ή περίγραμμα αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Πολυγωνικό επίπεδο ή επίπεδο πολύγωνο ονομάζεται το άκρο κάθε επιπέδου που οριοθετείται από αυτό. Οι γειτονικές πλευρές αυτού του γεωμετρικού σχήματος ονομάζονται τμήματα μιας διακεκομμένης γραμμής που προέρχεται από μια κορυφή. Δεν θα είναι γειτονικά αν προέρχονται από διαφορετικές κορυφές του πολυγώνου.
Άλλοι ορισμοί κυρτών πολυγώνων
Στη στοιχειώδη γεωμετρία, υπάρχουν αρκετοί ακόμη ισοδύναμοι ορισμοί που υποδεικνύουν ποιο πολύγωνο ονομάζεται κυρτό. Όλες αυτές οι δηλώσεις είναι εξίσου αληθινές. Ένα πολύγωνο θεωρείται κυρτό αν:
• κάθε τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία μέσα του βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα σε αυτό;
• μέσα σε αυτόόλες οι διαγώνιες του βρίσκονται;
• οποιαδήποτε εσωτερική γωνία δεν υπερβαίνει τις 180°.
Ένα πολύγωνο διαιρεί πάντα ένα επίπεδο σε 2 μέρη. Το ένα από αυτά είναι περιορισμένο (μπορεί να περικλείεται σε κύκλο) και το άλλο είναι απεριόριστο. Η πρώτη ονομάζεται εσωτερική περιοχή και η δεύτερη είναι η εξωτερική περιοχή αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Αυτό το πολύγωνο είναι μια τομή (με άλλα λόγια, μια κοινή συνιστώσα) πολλών ημιεπίπεδων. Επιπλέον, κάθε τμήμα που τελειώνει σε σημεία που ανήκουν στο πολύγωνο ανήκει πλήρως σε αυτό.
Ποικιλίες κυρτών πολυγώνων
Ο ορισμός ενός κυρτού πολυγώνου δεν υποδεικνύει ότι υπάρχουν πολλά είδη από αυτά. Και καθένα από αυτά έχει ορισμένα κριτήρια. Έτσι, τα κυρτά πολύγωνα που έχουν εσωτερική γωνία 180° ονομάζονται ασθενώς κυρτά. Ένα κυρτό γεωμετρικό σχήμα που έχει τρεις κορυφές ονομάζεται τρίγωνο, τέσσερις - τετράγωνο, πέντε - πεντάγωνο, κ.λπ. Κάθε ένα από τα κυρτά n-γόνια πληροί την ακόλουθη βασική απαίτηση: το n πρέπει να είναι ίσο ή μεγαλύτερο από 3. Κάθε ένα από τα τρίγωνα είναι κυρτά. Ένα γεωμετρικό σχήμα αυτού του τύπου, στο οποίο όλες οι κορυφές βρίσκονται στον ίδιο κύκλο, ονομάζεται εγγεγραμμένο σε κύκλο. Ένα κυρτό πολύγωνο ονομάζεται περιγεγραμμένο εάν όλες οι πλευρές του κοντά στον κύκλο το αγγίζουν. Δύο πολύγωνα λέγονται ίσα μόνο εάν μπορούν να υπερτεθούν με υπέρθεση. Ένα επίπεδο πολύγωνο ονομάζεται πολυγωνικό επίπεδο.(μέρος του επιπέδου), το οποίο περιορίζεται από αυτό το γεωμετρικό σχήμα.
Κανονικά κυρτά πολύγωνα
Τα κανονικά πολύγωνα είναι γεωμετρικά σχήματα με ίσες γωνίες και πλευρές. Μέσα τους υπάρχει ένα σημείο 0, το οποίο βρίσκεται στην ίδια απόσταση από κάθε κορυφή του. Ονομάζεται κέντρο αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Τα τμήματα που συνδέουν το κέντρο με τις κορυφές αυτού του γεωμετρικού σχήματος ονομάζονται αποθέματα και αυτά που συνδέουν το σημείο 0 με τις πλευρές ονομάζονται ακτίνες.
Ένα κανονικό τετράπλευρο είναι ένα τετράγωνο. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο ονομάζεται ισόπλευρο τρίγωνο. Για τέτοια σχήματα, υπάρχει ο ακόλουθος κανόνας: κάθε γωνία ενός κυρτού πολυγώνου είναι 180°(n-2)/ n, όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών αυτού του κυρτού γεωμετρικού σχήματος.
Το εμβαδόν οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου καθορίζεται από τον τύπο:
S=ph, όπου p είναι το ήμισυ του αθροίσματος όλων των πλευρών του δεδομένου πολυγώνου και h το μήκος του αποθέματος.
Ιδιότητες κυρτών πολυγώνων
Τα κυρτά πολύγωνα έχουν ορισμένες ιδιότητες. Άρα, ένα τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε 2 σημεία ενός τέτοιου γεωμετρικού σχήματος βρίσκεται αναγκαστικά σε αυτό. Απόδειξη:
Υποθέστε ότι το P είναι ένα δεδομένο κυρτό πολύγωνο. Παίρνουμε 2 αυθαίρετα σημεία, για παράδειγμα, Α, Β, που ανήκουν στο P. Σύμφωνα με τον υπάρχοντα ορισμό ενός κυρτού πολυγώνου, αυτά τα σημεία βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας, η οποία περιέχει οποιαδήποτε πλευρά του P. Επομένως, το AB έχει επίσης αυτή την ιδιότητα και περιέχεται στο P. Ένα κυρτό πολύγωνο μπορεί πάντα να διαιρεθεί σε πολλά τρίγωνα με απολύτως όλες τις διαγώνιες που προέρχονται από μία από τις κορυφές του.
Γωνίες κυρτών γεωμετρικών σχημάτων
Οι γωνίες ενός κυρτού πολυγώνου είναι οι γωνίες που σχηματίζονται από τις πλευρές του. Οι εσωτερικές γωνίες βρίσκονται στην εσωτερική περιοχή ενός δεδομένου γεωμετρικού σχήματος. Η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές του που συγκλίνουν σε μία κορυφή ονομάζεται γωνία κυρτού πολυγώνου. Οι γωνίες που γειτνιάζουν με τις εσωτερικές γωνίες ενός δεδομένου γεωμετρικού σχήματος ονομάζονται εξωτερικές. Κάθε γωνία ενός κυρτού πολυγώνου που βρίσκεται μέσα του είναι:
180° - x, όπου x είναι η τιμή της εξωτερικής γωνίας. Αυτός ο απλός τύπος λειτουργεί για οποιαδήποτε γεωμετρικά σχήματα αυτού του τύπου.
Γενικά, για τις εξωτερικές γωνίες υπάρχει ο ακόλουθος κανόνας: κάθε γωνία ενός κυρτού πολυγώνου είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ 180° και της τιμής της εσωτερικής γωνίας. Μπορεί να έχει τιμές που κυμαίνονται από -180° έως 180°. Επομένως, όταν η εσωτερική γωνία είναι 120°, η εξωτερική γωνία θα είναι 60°.
Άθροισμα γωνιών κυρτών πολυγώνων
Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου ορίζεται από τον τύπο:
180°(n-2), όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών του n-γώνου.
Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι αρκετά εύκολο να υπολογιστεί. Σκεφτείτε οποιοδήποτε τέτοιο γεωμετρικό σχήμα. Για να προσδιοριστεί το άθροισμα των γωνιών μέσα σε ένα κυρτό πολύγωνο, είναι απαραίτητοσυνδέστε μια από τις κορυφές του με άλλες κορυφές. Ως αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας, προκύπτουν (n-2) τρίγωνα. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι πάντα 180°. Δεδομένου ότι ο αριθμός τους σε οποιοδήποτε πολύγωνο είναι (n-2), το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τέτοιου σχήματος είναι 180° x (n-2).
Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου, δηλαδή οποιωνδήποτε δύο εσωτερικών και γειτονικών εξωτερικών γωνιών, για ένα δεδομένο κυρτό γεωμετρικό σχήμα θα είναι πάντα ίσο με 180°. Με βάση αυτό, μπορείτε να προσδιορίσετε το άθροισμα όλων των γωνιών του:
180 x n.
Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 180°(n-2). Με βάση αυτό, το άθροισμα όλων των εξωτερικών γωνιών αυτού του σχήματος ορίζεται από τον τύπο:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών οποιουδήποτε κυρτού πολυγώνου θα είναι πάντα 360° (ανεξάρτητα από τον αριθμό των πλευρών).
Η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου αντιπροσωπεύεται γενικά από τη διαφορά μεταξύ 180° και της τιμής της εσωτερικής γωνίας.
Άλλες ιδιότητες ενός κυρτού πολυγώνου
Εκτός από τις βασικές ιδιότητες αυτών των γεωμετρικών σχημάτων, έχουν και άλλες που προκύπτουν κατά τον χειρισμό τους. Έτσι, οποιοδήποτε από τα πολύγωνα μπορεί να χωριστεί σε πολλά κυρτά n-γώνια. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να συνεχίσετε κάθε πλευρά του και να κόψετε αυτό το γεωμετρικό σχήμα κατά μήκος αυτών των ευθειών γραμμών. Είναι επίσης δυνατό να χωριστεί οποιοδήποτε πολύγωνο σε πολλά κυρτά μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε οι κορυφές καθενός από τα κομμάτια να συμπίπτουν με όλες τις κορυφές του. Από ένα τέτοιο γεωμετρικό σχήμα, τα τρίγωνα μπορούν να γίνουν πολύ απλά σχεδιάζοντας όλαδιαγώνιες από μία κορυφή. Έτσι, οποιοδήποτε πολύγωνο μπορεί τελικά να χωριστεί σε έναν ορισμένο αριθμό τριγώνων, κάτι που αποδεικνύεται πολύ χρήσιμο για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων που σχετίζονται με τέτοια γεωμετρικά σχήματα.
Περίμετρος κυρτού πολυγώνου
Τα τμήματα μιας διακεκομμένης γραμμής, που ονομάζονται πλευρές ενός πολυγώνου, υποδηλώνονται συχνότερα με τα ακόλουθα γράμματα: ab, bc, cd, de, ea. Αυτές είναι οι πλευρές ενός γεωμετρικού σχήματος με κορυφές a, b, c, d, e. Το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών αυτού του κυρτού πολυγώνου ονομάζεται περίμετρός του.
Περίμετρος πολυγώνου
Τα κυρτά πολύγωνα μπορούν να εγγραφούν και να περιγραφούν. Ένας κύκλος που αγγίζει όλες τις πλευρές αυτού του γεωμετρικού σχήματος ονομάζεται εγγεγραμμένος σε αυτόν. Ένα τέτοιο πολύγωνο ονομάζεται περιγεγραμμένο. Το κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένο σε ένα πολύγωνο είναι το σημείο τομής των διχοτόμων όλων των γωνιών μέσα σε ένα δεδομένο γεωμετρικό σχήμα. Το εμβαδόν ενός τέτοιου πολυγώνου είναι:
S=pr, όπου r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και p είναι η ημιπερίμετρος του δεδομένου πολυγώνου.
Ένας κύκλος που περιέχει τις κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζεται περιγεγραμμένος γύρω του. Επιπλέον, αυτό το κυρτό γεωμετρικό σχήμα ονομάζεται εγγεγραμμένο. Το κέντρο του κύκλου, που περιβάλλεται γύρω από ένα τέτοιο πολύγωνο, είναι το σημείο τομής των λεγόμενων κάθετων διχοτόμων όλων των πλευρών.
Διαγώνιοι κυρτών γεωμετρικών σχημάτων
Οι διαγώνιοι ενός κυρτού πολυγώνου είναι τμήματα πουσυνδέστε μη γειτονικές κορυφές. Κάθε ένα από αυτά βρίσκεται μέσα σε αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Ο αριθμός των διαγωνίων ενός τέτοιου n-gon ορίζεται από τον τύπο:
N=n (n – 3)/ 2.
Ο αριθμός των διαγωνίων ενός κυρτού πολυγώνου παίζει σημαντικό ρόλο στη στοιχειώδη γεωμετρία. Ο αριθμός των τριγώνων (K) στα οποία είναι δυνατή η διαίρεση κάθε κυρτού πολυγώνου υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:
K=n – 2.
Ο αριθμός των διαγωνίων ενός κυρτού πολυγώνου εξαρτάται πάντα από τον αριθμό των κορυφών του.
Αποσύνθεση κυρτού πολυγώνου
Σε ορισμένες περιπτώσεις, για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων, είναι απαραίτητο να χωριστεί ένα κυρτό πολύγωνο σε πολλά τρίγωνα με μη τέμνουσες διαγώνιες. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με την εξαγωγή ενός συγκεκριμένου τύπου.
Ορισμός του προβλήματος: ας καλέσουμε μια σωστή κατάτμηση ενός κυρτού n-γώνου σε πολλά τρίγωνα με διαγώνιες που τέμνονται μόνο στις κορυφές αυτού του γεωμετρικού σχήματος.
Λύση: Ας υποθέσουμε ότι τα Р1, Р2, Р3 …, Pn είναι κορυφές αυτού του n-γώνου. Ο αριθμός Xn είναι ο αριθμός των κατατμήσεων του. Ας εξετάσουμε προσεκτικά τη ληφθείσα διαγώνιο του γεωμετρικού σχήματος Pi Pn. Σε οποιοδήποτε από τα κανονικά διαμερίσματα το P1 Pn ανήκει σε ένα συγκεκριμένο τρίγωνο P1 Pi Pn, το οποίο έχει 1<i<n. Συνεχίζοντας από αυτό και υποθέτοντας ότι i=2, 3, 4 …, n-1, λαμβάνουμε (n-2) ομάδες αυτών των κατατμήσεων, οι οποίες περιλαμβάνουν όλες τις πιθανές συγκεκριμένες περιπτώσεις.
Έστω i=2 μια ομάδα κανονικών κατατμήσεων, που περιέχει πάντα τη διαγώνιο Р2 Pn. Ο αριθμός των κατατμήσεων που εισάγονται είναι ίδιος με τον αριθμό των κατατμήσεων(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Με άλλα λόγια, ισούται με Xn-1.
Αν i=3, τότε αυτή η άλλη ομάδα διαμερισμάτων θα περιέχει πάντα τις διαγώνιους Р3 Р1 και Р3 Pn. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των κανονικών κατατμήσεων που περιέχονται σε αυτήν την ομάδα θα συμπίπτει με τον αριθμό των κατατμήσεων του (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Με άλλα λόγια, θα ισούται με Xn-2.
Έστω i=4, τότε μεταξύ των τριγώνων ένα κανονικό διαμέρισμα θα περιέχει σίγουρα ένα τρίγωνο P1 P4 Pn, στο οποίο θα γειτνιάζει το τετράγωνο P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn. Ο αριθμός των κανονικών διαμερισμάτων ενός τέτοιου τετράπλευρου είναι X4 και ο αριθμός των διαμερισμάτων ενός (n-3)-gon είναι Xn-3. Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να πούμε ότι ο συνολικός αριθμός των σωστών κατατμήσεων που περιέχονται σε αυτή την ομάδα είναι Xn-3 X4. Άλλες ομάδες με i=4, 5, 6, 7… θα περιέχουν Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … κανονικές κατατμήσεις.
Έστω i=n-2, τότε ο αριθμός των σωστών διαχωρισμών σε αυτήν την ομάδα θα είναι ίδιος με τον αριθμό των διαχωρισμών στην ομάδα όπου i=2 (με άλλα λόγια, ισούται με Xn-1).
Δεδομένου ότι X1=X2=0, X3=1, X4=2…, τότε ο αριθμός όλων των διαμερισμάτων ενός κυρτού πολυγώνου είναι:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Παράδειγμα:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Αριθμός σωστών διαμερισμάτων που τέμνονται κατά μία διαγώνιο μέσα
Κατά τον έλεγχο ειδικών περιπτώσεων, μπορεί κανείς να φτάσει σεη υπόθεση ότι ο αριθμός των διαγωνίων των κυρτών n-γωνίων είναι ίσος με το γινόμενο όλων των διαμερισμάτων αυτού του σχήματος κατά (n-3).
Απόδειξη αυτής της υπόθεσης: φανταστείτε ότι P1n=Xn(n-3), τότε οποιοδήποτε n-gon μπορεί να χωριστεί σε (n-2)-τρίγωνα. Επιπλέον, ένα (n-3)-τετράπλευρο μπορεί να αποτελείται από αυτά. Μαζί με αυτό, κάθε τετράπλευρο θα έχει μια διαγώνιο. Εφόσον σε αυτό το κυρτό γεωμετρικό σχήμα μπορούν να σχεδιαστούν δύο διαγώνιοι, αυτό σημαίνει ότι μπορούν να σχεδιαστούν επιπλέον (n-3) διαγώνιοι σε οποιαδήποτε (n-3)-τετράπλευρα. Με βάση αυτό, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι σε οποιοδήποτε κανονικό διαμέρισμα είναι δυνατό να σχεδιάσουμε (n-3)-διαγώνιους που πληρούν τις προϋποθέσεις αυτού του προβλήματος.
Εμβαδόν κυρτών πολυγώνων
Συχνά, κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων στοιχειώδους γεωμετρίας, καθίσταται απαραίτητος ο προσδιορισμός του εμβαδού ενός κυρτού πολυγώνου. Ας υποθέσουμε ότι (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n είναι η ακολουθία των συντεταγμένων όλων των γειτονικών κορυφών ενός πολυγώνου που δεν έχει αυτοτομές. Σε αυτήν την περίπτωση, το εμβαδόν του υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), where (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
