Τρίγωνο, τετράγωνο, εξάγωνο - αυτές οι φιγούρες είναι γνωστές σχεδόν σε όλους. Αλλά δεν γνωρίζουν όλοι τι είναι ένα κανονικό πολύγωνο. Αλλά όλα αυτά είναι τα ίδια γεωμετρικά σχήματα. Κανονικό πολύγωνο είναι αυτό που έχει ίσες γωνίες και πλευρές. Υπάρχουν πολλές τέτοιες φιγούρες, αλλά όλες έχουν τις ίδιες ιδιότητες και ισχύουν οι ίδιοι τύποι.
Ιδιότητες κανονικών πολυγώνων
Οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο, είτε είναι τετράγωνο είτε οκτάγωνο, μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο. Αυτή η βασική ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά κατά την κατασκευή μιας φιγούρας. Επιπλέον, ένας κύκλος μπορεί επίσης να εγγραφεί σε ένα πολύγωνο. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των σημείων επαφής θα είναι ίσος με τον αριθμό των πλευρών του. Είναι σημαντικό ότι ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε ένα κανονικό πολύγωνο θα έχει ένα κοινό κέντρο μαζί του. Αυτά τα γεωμετρικά σχήματα υπόκεινται στα ίδια θεωρήματα. Οποιαδήποτε πλευράενός κανονικού n-γώνου σχετίζεται με την ακτίνα R του κύκλου που περικλείεται γύρω του. Επομένως, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: a=2R ∙ sin180°. Μέσα από την ακτίνα του κύκλου, μπορείτε να βρείτε όχι μόνο τις πλευρές, αλλά και την περίμετρο του πολυγώνου.
Πώς να βρείτε τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου
Οποιοδήποτε κανονικό n-gon αποτελείται από έναν ορισμένο αριθμό τμημάτων ίσων μεταξύ τους, τα οποία, όταν συνδέονται, σχηματίζουν μια κλειστή γραμμή. Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι γωνίες του σχήματος που σχηματίζεται έχουν την ίδια τιμή. Τα πολύγωνα χωρίζονται σε απλά και σύνθετα. Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει ένα τρίγωνο και ένα τετράγωνο. Τα σύνθετα πολύγωνα έχουν περισσότερες πλευρές. Περιλαμβάνουν επίσης φιγούρες σε σχήμα αστεριού. Για σύνθετα κανονικά πολύγωνα, οι πλευρές βρίσκονται με την εγγραφή τους σε κύκλο. Ας δώσουμε μια απόδειξη. Σχεδιάστε ένα κανονικό πολύγωνο με αυθαίρετο αριθμό πλευρών n. Περιγράψτε έναν κύκλο γύρω του. Καθορίστε την ακτίνα R. Τώρα φανταστείτε ότι δίνεται κάποιο n-gon. Αν τα σημεία των γωνιών του βρίσκονται σε κύκλο και είναι ίσα μεταξύ τους, τότε οι πλευρές μπορούν να βρεθούν με τον τύπο: a=2R ∙ sinα: 2.
Εύρεση του αριθμού των πλευρών ενός εγγεγραμμένου κανονικού τριγώνου
Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο. Ισχύουν για αυτό οι ίδιοι τύποι όπως για το τετράγωνο και το n-gon. Ένα τρίγωνο θα θεωρείται σωστό αν έχει πλευρές ίδιου μήκους. Σε αυτή την περίπτωση, οι γωνίες είναι 60⁰. Κατασκευάστε ένα τρίγωνο με δεδομένο μήκος πλευράς α. Γνωρίζοντας τη διάμεσο και το ύψος του,μπορείτε να βρείτε την αξία των πλευρών του. Για να το κάνουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εύρεσης μέσω του τύπου a \u003d x: cosα, όπου x είναι η διάμεσος ή το ύψος. Εφόσον όλες οι πλευρές του τριγώνου είναι ίσες, παίρνουμε a=b=c. Τότε η παρακάτω πρόταση θα είναι αληθής a=b=c=x: cosα. Ομοίως, μπορείτε να βρείτε την τιμή των πλευρών σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, αλλά x θα είναι το δεδομένο ύψος. Ταυτόχρονα, θα πρέπει να προβάλλεται αυστηρά στη βάση του σχήματος. Έτσι, γνωρίζοντας το ύψος x, βρίσκουμε την πλευρά a ενός ισοσκελούς τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο a \u003d b \u003d x: cosα. Αφού βρείτε την τιμή του a, μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος της βάσης c. Ας εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Θα αναζητήσουμε την τιμή του μισού της βάσης c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Τότε c=2xtanα. Εδώ είναι ένας απλός τρόπος για να βρείτε τον αριθμό των πλευρών οποιουδήποτε εγγεγραμμένου πολυγώνου.
Υπολογίστε τις πλευρές ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο
Όπως κάθε άλλο εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο, ένα τετράγωνο έχει ίσες πλευρές και γωνίες. Για αυτό ισχύουν οι ίδιοι τύποι όπως και για το τρίγωνο. Μπορείτε να υπολογίσετε τις πλευρές ενός τετραγώνου χρησιμοποιώντας την τιμή της διαγωνίου. Ας εξετάσουμε αυτή τη μέθοδο με περισσότερες λεπτομέρειες. Είναι γνωστό ότι η διαγώνιος διχοτομεί τη γωνία. Αρχικά, η τιμή του ήταν 90 μοίρες. Έτσι, μετά τη διαίρεση σχηματίζονται δύο ορθογώνια τρίγωνα. Οι γωνίες βάσης τους θα είναι 45 μοίρες. Κατά συνέπεια, κάθε πλευρά του τετραγώνου θα είναι ίση, δηλαδή: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, όπου e είναι η διαγώνιος του τετραγώνου ή η βάση του το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται μετά τη διαίρεση. Δεν είναι ο μόνος τρόποςβρίσκοντας τις πλευρές ενός τετραγώνου. Ας εγγράψουμε αυτό το σχήμα σε κύκλο. Γνωρίζοντας την ακτίνα αυτού του κύκλου R, βρίσκουμε την πλευρά του τετραγώνου. Θα το υπολογίσουμε ως εξής a4=R√2. Οι ακτίνες των κανονικών πολυγώνων υπολογίζονται με τον τύπο R=a: 2tg (360o: 2n), όπου a είναι το μήκος της πλευράς.
Πώς να υπολογίσετε την περίμετρο ενός n-gon
Η περίμετρος ενός n-gon είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του. Είναι εύκολο να το υπολογίσεις. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζετε τις αξίες όλων των πλευρών. Για ορισμένους τύπους πολυγώνων, υπάρχουν ειδικοί τύποι. Σας επιτρέπουν να βρείτε την περίμετρο πολύ πιο γρήγορα. Είναι γνωστό ότι κάθε κανονικό πολύγωνο έχει ίσες πλευρές. Επομένως, για να υπολογίσουμε την περίμετρό του, αρκεί να γνωρίζουμε τουλάχιστον ένα από αυτά. Ο τύπος θα εξαρτηθεί από τον αριθμό των πλευρών του σχήματος. Γενικά, μοιάζει με αυτό: P \u003d an, όπου a είναι η τιμή της πλευράς και n είναι ο αριθμός των γωνιών. Για παράδειγμα, για να βρείτε την περίμετρο ενός κανονικού οκτάγωνου με πλευρά 3 cm, πρέπει να την πολλαπλασιάσετε με το 8, δηλαδή P=3 ∙ 8=24 cm. Για ένα εξάγωνο με πλευρά 5 cm, υπολογίζουμε ως εξής: P=5 ∙ 6=30 εκ. Και έτσι για κάθε πολύγωνο.
Εύρεση της περιμέτρου ενός παραλληλογράμμου, ενός τετραγώνου και ενός ρόμβου
Ανάλογα με το πόσες πλευρές έχει ένα κανονικό πολύγωνο, υπολογίζεται η περίμετρός του. Αυτό κάνει το έργο πολύ πιο εύκολο. Πράγματι, σε αντίθεση με άλλες φιγούρες, σε αυτή την περίπτωση δεν είναι απαραίτητο να αναζητήσετε όλες τις πλευρές του, μόνο μία αρκεί. Με την ίδια αρχή, βρίσκουμε την περίμετρο στοτετράγωνα, δηλαδή ένα τετράγωνο και ένας ρόμβος. Παρά το γεγονός ότι πρόκειται για διαφορετικά σχήματα, ο τύπος για αυτούς είναι ο ίδιος P=4a, όπου a είναι η πλευρά. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Εάν η πλευρά ενός ρόμβου ή τετραγώνου είναι 6 cm, τότε βρίσκουμε την περίμετρο ως εξής: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 εκ. Ένα παραλληλόγραμμο έχει μόνο αντίθετες πλευρές. Επομένως, η περίμετρός του βρίσκεται με διαφορετική μέθοδο. Άρα, πρέπει να γνωρίζουμε το μήκος a και το πλάτος b του σχήματος. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον τύπο P=(a + c) ∙ 2. Ένα παραλληλόγραμμο, στο οποίο όλες οι πλευρές και οι γωνίες μεταξύ τους είναι ίσες, ονομάζεται ρόμβος.
Εύρεση της περιμέτρου ισόπλευρου και ορθογωνίου τριγώνου
Η περίμετρος ενός κανονικού ισόπλευρου τριγώνου μπορεί να βρεθεί με τον τύπο P=3a, όπου a είναι το μήκος της πλευράς. Εάν είναι άγνωστο, μπορεί να βρεθεί μέσω της διάμεσης. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μόνο δύο πλευρές είναι ίσες. Η βάση μπορεί να βρεθεί μέσα από το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αφού γίνουν γνωστές οι τιμές και των τριών πλευρών, υπολογίζουμε την περίμετρο. Μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον τύπο P \u003d a + b + c, όπου a και b είναι ίσες πλευρές και c είναι η βάση. Θυμηθείτε ότι σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ένα \u003d b \u003d a, επομένως, a + b \u003d 2a, στη συνέχεια P \u003d 2a + c. Για παράδειγμα, η πλευρά ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 4 cm, βρείτε τη βάση και την περίμετρό του. Υπολογίζουμε την τιμή της υποτείνουσας χρησιμοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρημα c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Τώρα υπολογίζουμε την περίμετρο Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Πώς να βρείτε τις γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου
Κανονικό πολύγωνοεμφανίζεται στη ζωή μας κάθε μέρα, για παράδειγμα, ένα συνηθισμένο τετράγωνο, τρίγωνο, οκτάγωνο. Φαίνεται ότι δεν υπάρχει τίποτα πιο εύκολο από το να φτιάξετε αυτό το σχήμα μόνοι σας. Αλλά αυτό είναι μόνο με την πρώτη ματιά. Για να κατασκευάσετε οποιοδήποτε n-gon, πρέπει να γνωρίζετε την τιμή των γωνιών του. Πώς τα βρίσκεις όμως; Ακόμη και επιστήμονες της αρχαιότητας προσπάθησαν να κατασκευάσουν κανονικά πολύγωνα. Μάντευαν ότι θα τα χωρέσουν σε κύκλους. Και στη συνέχεια σημειώθηκαν πάνω του τα απαραίτητα σημεία, συνδεδεμένα με ευθείες γραμμές. Για απλά σχήματα, το κατασκευαστικό πρόβλημα έχει λυθεί. Έχουν ληφθεί τύποι και θεωρήματα. Για παράδειγμα, ο Ευκλείδης στο διάσημο έργο του "The Beginning" ασχολήθηκε με την επίλυση προβλημάτων για 3-, 4-, 5-, 6- και 15-gons. Βρήκε τρόπους να τα κατασκευάσει και να βρει γωνίες. Ας δούμε πώς να το κάνουμε αυτό για 15-gon. Πρώτα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τον τύπο S=180⁰(n-2). Έτσι, μας δίνεται ένα 15-gon, που σημαίνει ότι ο αριθμός n είναι 15. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα που γνωρίζουμε στον τύπο και παίρνουμε S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Βρήκαμε το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών ενός 15-γωνίου. Τώρα πρέπει να πάρουμε την αξία καθενός από αυτά. Οι γωνίες είναι συνολικά 15. Υπολογίζουμε 2340⁰: 15=156⁰. Αυτό σημαίνει ότι κάθε εσωτερική γωνία είναι 156⁰, τώρα χρησιμοποιώντας έναν χάρακα και μια πυξίδα, μπορείτε να δημιουργήσετε ένα κανονικό 15-gon. Τι γίνεται όμως με τα πιο σύνθετα n-gons; Για αιώνες, οι επιστήμονες αγωνίζονται να λύσουν αυτό το πρόβλημα. Βρέθηκε μόλις τον 18ο αιώνα από τον Carl Friedrich Gauss. Μπόρεσε να κατασκευάσει ένα 65537-gon. Έκτοτε, το πρόβλημα θεωρείται επίσημα πλήρως λυμένο.
Υπολογισμός γωνιών n-γωνίωνσε ακτίνια
Φυσικά, υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε τις γωνίες των πολυγώνων. Τις περισσότερες φορές υπολογίζονται σε μοίρες. Μπορείτε όμως να τα εκφράσετε και σε ακτίνια. Πως να το κάνεις? Είναι απαραίτητο να προχωρήσετε ως εξής. Αρχικά, βρίσκουμε τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου και, στη συνέχεια, αφαιρούμε από αυτό 2. Έτσι, παίρνουμε την τιμή: n - 2. Πολλαπλασιάζουμε τη διαφορά που βρέθηκε με τον αριθμό n (“pi”=3, 14). Τώρα μένει μόνο να διαιρέσουμε το προϊόν που προκύπτει με τον αριθμό των γωνιών στο n-gon. Εξετάστε αυτούς τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της ίδιας δεκαπεντάπλευρης. Άρα, ο αριθμός n είναι 15. Εφαρμόστε τον τύπο S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Αυτό, φυσικά, δεν είναι ο μόνος τρόπος υπολογισμού της γωνίας σε ακτίνια. Μπορείτε απλά να διαιρέσετε το μέγεθος της γωνίας σε μοίρες με τον αριθμό 57, 3. Εξάλλου, αυτές οι πολλές μοίρες ισοδυναμούν με ένα ακτίνιο.
Υπολογισμός της τιμής των γωνιών σε μοίρες
Εκτός από τις μοίρες και τα ακτίνια, μπορείτε να προσπαθήσετε να βρείτε την τιμή των γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου σε βαθμίδες. Αυτό γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Αφαιρέστε 2 από τον συνολικό αριθμό γωνιών, διαιρέστε τη διαφορά που προκύπτει με τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου. Πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα που βρέθηκε επί 200. Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια μονάδα μέτρησης των γωνιών όπως το χαλάζι πρακτικά δεν χρησιμοποιείται.
Υπολογισμός εξωτερικών γωνιών n-γώνων
Για οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο, εκτός από το εσωτερικό, μπορείτε επίσης να υπολογίσετε την εξωτερική γωνία. Η αξία του βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο όπως και για άλλα σχήματα. Έτσι, για να βρείτε την εξωτερική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου, χρειάζεστεγνωρίζουν την έννοια του εσωτερικού. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι το άθροισμα αυτών των δύο γωνιών είναι πάντα 180 μοίρες. Επομένως, κάνουμε τους υπολογισμούς ως εξής: 180⁰ μείον την τιμή της εσωτερικής γωνίας. Βρίσκουμε τη διαφορά. Θα είναι ίσο με την τιμή της γωνίας που γειτνιάζει με αυτό. Για παράδειγμα, η εσωτερική γωνία ενός τετραγώνου είναι 90 μοίρες, επομένως η εξωτερική γωνία θα είναι 180⁰ - 90⁰=90⁰. Όπως βλέπουμε, δεν είναι δύσκολο να το βρεις. Η εξωτερική γωνία μπορεί να πάρει μια τιμή από +180⁰ έως -180⁰, αντίστοιχα.
