Τα
Πολύεδρα όχι μόνο κατέχουν εξέχουσα θέση στη γεωμετρία, αλλά εμφανίζονται και στην καθημερινή ζωή κάθε ανθρώπου. Για να μην αναφέρουμε τα τεχνητά δημιουργημένα είδη οικιακής χρήσης με τη μορφή διαφόρων πολυγώνων, ξεκινώντας από ένα σπιρτόκουτο και τελειώνοντας με αρχιτεκτονικά στοιχεία, κρυστάλλους σε μορφή κύβου (αλάτι), πρίσματος (κρύσταλλο), πυραμίδας (scheelite), οκτάεδρο (διαμάντι), κ.λπ. e.
Η έννοια του πολυέδρου, τύποι πολύεδρων στη γεωμετρία
Η γεωμετρία ως επιστήμη περιέχει ένα τμήμα της στερεομετρίας που μελετά τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες των τρισδιάστατων μορφών. Τα γεωμετρικά σώματα, οι πλευρές των οποίων στον τρισδιάστατο χώρο σχηματίζονται από περιορισμένα επίπεδα (όψεις), ονομάζονται «πολύεδρα». Οι τύποι πολύεδρων περιλαμβάνουν περισσότερους από δώδεκα αντιπροσώπους, που διαφέρουν ως προς τον αριθμό και το σχήμα των προσώπων.
Ωστόσο, όλα τα πολύεδρα έχουν κοινές ιδιότητες:
- Όλα έχουν 3 βασικά συστατικά: πρόσωπο(επιφάνεια πολυγώνου), κορυφή (γωνίες που σχηματίζονται στη συμβολή των όψεων), άκρη (πλευρά σχήματος ή τμήμα που σχηματίζεται στη συμβολή δύο όψεων).
- Κάθε ακμή πολυγώνου συνδέει δύο και μόνο δύο όψεις που είναι γειτονικές μεταξύ τους.
- Κυρτότητα σημαίνει ότι το σώμα βρίσκεται πλήρως μόνο στη μία πλευρά του επιπέδου στο οποίο βρίσκεται ένα από τα πρόσωπα. Ο κανόνας ισχύει για όλες τις όψεις του πολύεδρου. Τέτοια γεωμετρικά σχήματα στη στερεομετρία ονομάζονται κυρτά πολύεδρα. Η εξαίρεση είναι τα πολύεδρα σε σχήμα αστεριού, τα οποία είναι παράγωγα κανονικών πολυεδρικών γεωμετρικών στερεών.
Το
Πολύεδρα μπορεί να χωριστεί υπό όρους σε:
- Τύποι κυρτών πολύεδρων, που αποτελούνται από τις ακόλουθες κατηγορίες: συνηθισμένα ή κλασικά (πρίσμα, πυραμίδα, παραλληλεπίπεδο), κανονικά (ονομάζονται επίσης πλατωνικά στερεά), ημικανονικά (δεύτερο όνομα - Αρχιμήδεια στερεά).
- Μη κυρτά πολύεδρα (σε σχήμα αστεριού).
Το πρίσμα και οι ιδιότητές του
Η Στερεομετρία ως κλάδος της γεωμετρίας μελετά τις ιδιότητες τρισδιάστατων μορφών, τύπους πολύεδρων (ένα πρίσμα είναι ένα από αυτά). Ένα πρίσμα είναι ένα γεωμετρικό σώμα που έχει αναγκαστικά δύο απολύτως όμοιες όψεις (ονομάζονται επίσης βάσεις) που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα και τον ν-ο αριθμό πλευρικών όψεων με τη μορφή παραλληλογραμμών. Με τη σειρά του, το πρίσμα έχει επίσης πολλές ποικιλίες, συμπεριλαμβανομένων τύπων πολύεδρων όπως:
- Παραλληλεπίπεδο - σχηματίζεται εάν η βάση είναι παραλληλόγραμμο -πολύγωνο με 2 ζεύγη ίσων απέναντι γωνιών και 2 ζεύγη ίσων απέναντι πλευρών.
- Ένα ευθύ πρίσμα έχει άκρες κάθετες στη βάση.
- Το κεκλιμένο πρίσμα χαρακτηρίζεται από την παρουσία μη ορθών γωνιών (εκτός από 90) μεταξύ των όψεων και της βάσης.
- Ένα κανονικό πρίσμα χαρακτηρίζεται από βάσεις με τη μορφή κανονικού πολυγώνου με ίσες πλευρικές όψεις.
Βασικές ιδιότητες ενός πρίσματος:
- Σύμφωνες βάσεις.
- Όλες οι άκρες του πρίσματος είναι ίσες και παράλληλες μεταξύ τους.
- Όλες οι πλευρικές όψεις έχουν σχήμα παραλληλόγραμμου.
Πυραμίδα
Η
Πυραμίδα είναι ένα γεωμετρικό σώμα, το οποίο αποτελείται από μία βάση και ν-οστό αριθμό τριγωνικών όψεων, που συνδέονται σε ένα σημείο - την κορυφή. Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν οι πλευρικές όψεις της πυραμίδας αναπαρίστανται απαραίτητα με τρίγωνα, τότε η βάση μπορεί να είναι είτε ένα τριγωνικό πολύγωνο, είτε ένα τετράγωνο, είτε ένα πεντάγωνο, και ούτω καθεξής ad infinitum. Σε αυτήν την περίπτωση, το όνομα της πυραμίδας θα αντιστοιχεί στο πολύγωνο στη βάση. Για παράδειγμα, εάν ένα τρίγωνο βρίσκεται στη βάση μιας πυραμίδας, είναι μια τριγωνική πυραμίδα, ένα τετράπλευρο είναι ένα τετράγωνο, κ.λπ.
Οι πυραμίδες είναι πολύεδρα που μοιάζουν με κώνους. Οι τύποι πολύεδρων αυτής της ομάδας, εκτός από αυτούς που αναφέρονται παραπάνω, περιλαμβάνουν επίσης τους ακόλουθους αντιπροσώπους:
- Μια κανονική πυραμίδα έχει ένα κανονικό πολύγωνο στη βάση της και το ύψος της προβάλλεται στο κέντροένας κύκλος εγγεγραμμένος στη βάση ή περιγεγραμμένος γύρω από αυτόν.
- Μια ορθογώνια πυραμίδα σχηματίζεται όταν ένα από τα πλευρικά άκρα τέμνεται με τη βάση σε ορθή γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι επίσης δίκαιο να ονομάσουμε αυτή την άκρη το ύψος της πυραμίδας.
Ιδιότητες πυραμίδας:
- Αν όλες οι πλευρικές άκρες της πυραμίδας είναι ίσες (του ίδιου ύψους), τότε όλες τέμνονται με τη βάση στην ίδια γωνία και γύρω από τη βάση μπορείτε να σχεδιάσετε έναν κύκλο με κέντρο που να συμπίπτει με την προβολή του η κορυφή της πυραμίδας.
- Αν η βάση της πυραμίδας είναι κανονικό πολύγωνο, τότε όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες και οι όψεις είναι ισοσκελές τρίγωνα.
Κανονικό πολύεδρο: τύποι και ιδιότητες πολυέδρων
Στη στερεομετρία, ιδιαίτερη θέση κατέχουν τα γεωμετρικά σώματα με απολύτως ίσες όψεις, στις κορυφές των οποίων συνδέονται ο ίδιος αριθμός ακμών. Αυτά τα στερεά ονομάζονται πλατωνικά στερεά, ή κανονικά πολύεδρα. Οι τύποι πολύεδρων με τέτοιες ιδιότητες έχουν μόνο πέντε σχήματα:
- Tetrahedron.
- Εξάεδρο.
- Οκτάεδρο.
- Δωδεκάεδρο.
- Εικοσάεδρο.
Τα κανονικά πολύεδρα οφείλουν το όνομά τους στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πλάτωνα, ο οποίος περιέγραψε αυτά τα γεωμετρικά σώματα στα γραπτά του και τα συνέδεσε με τα φυσικά στοιχεία: γη, νερό, φωτιά, αέρας. Στο πέμπτο σχήμα απονεμήθηκε η ομοιότητα με τη δομή του σύμπαντος. Κατά τη γνώμη του, τα άτομα των φυσικών στοιχείων σε σχήμα μοιάζουν με τους τύπους των κανονικών πολύεδρων. Λόγω της πιο συναρπαστικής ιδιότητάς του -Συμμετρία, αυτά τα γεωμετρικά σώματα είχαν μεγάλο ενδιαφέρον όχι μόνο για αρχαίους μαθηματικούς και φιλοσόφους, αλλά και για αρχιτέκτονες, καλλιτέχνες και γλύπτες όλων των εποχών. Η παρουσία μόνο 5 τύπων πολύεδρων με απόλυτη συμμετρία θεωρήθηκε θεμελιώδης ανακάλυψη, τους απονεμήθηκε μάλιστα και σύνδεση με τη θεϊκή αρχή.
Εξάεδρο και οι ιδιότητές του
Με τη μορφή ενός εξαγώνου, οι διάδοχοι του Πλάτωνα υπέθεσαν ομοιότητα με τη δομή των ατόμων της γης. Βέβαια, προς το παρόν, αυτή η υπόθεση έχει πλήρως διαψευσθεί, κάτι που όμως δεν εμποδίζει τις φιγούρες να τραβήξουν το μυαλό διάσημων μορφών με την αισθητική τους στη σύγχρονη εποχή.
Στη γεωμετρία, ένα εξάεδρο, γνωστό και ως κύβος, θεωρείται ειδική περίπτωση παραλληλεπίπεδου, το οποίο, με τη σειρά του, είναι ένα είδος πρίσματος. Αντίστοιχα, οι ιδιότητες του κύβου σχετίζονται με τις ιδιότητες του πρίσματος, με τη μόνη διαφορά ότι όλες οι όψεις και οι γωνίες του κύβου είναι ίσες μεταξύ τους. Από αυτό προκύπτουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
- Όλες οι άκρες του κύβου είναι ίσες και βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα η μία ως προς την άλλη.
- Όλες οι όψεις είναι ίσα τετράγωνα (υπάρχουν 6 συνολικά σε έναν κύβο), οποιαδήποτε από τα οποία μπορεί να ληφθεί ως βάση.
- Όλες οι γωνίες διεπαφής είναι 90.
- Ένας ίσος αριθμός ακμών προέρχεται από κάθε κορυφή, δηλαδή 3.
- Ο κύβος έχει 9 άξονες συμμετρίας, που όλοι τέμνονται στο σημείο τομής των διαγωνίων του εξαέδρου, που ονομάζεται κέντρο συμμετρίας.
Tetrahedron
Ένα τετράεδρο είναι ένα τετράεδρο με ίσες όψεις σε μορφή τριγώνων, καθεμία από τις κορυφές του οποίουείναι το σημείο διασταύρωσης τριών όψεων.
Ιδιότητες κανονικού τετραέδρου:
- Όλες οι όψεις ενός τετραέδρου είναι ισόπλευρα τρίγωνα, που σημαίνει ότι όλες οι όψεις ενός τετραέδρου είναι ίσες.
- Δεδομένου ότι η βάση αντιπροσωπεύεται από ένα κανονικό γεωμετρικό σχήμα, δηλαδή έχει ίσες πλευρές, οι όψεις του τετραέδρου συγκλίνουν στην ίδια γωνία, δηλαδή όλες οι γωνίες είναι ίσες.
- Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε καθεμία από τις κορυφές είναι 180, αφού όλες οι γωνίες είναι ίσες, τότε οποιαδήποτε γωνία ενός κανονικού τετραέδρου είναι 60.
- Κάθε μία από τις κορυφές προβάλλεται στο σημείο τομής των υψών της απέναντι (ορθόκεντρης) όψης.
Το οκτάεδρο και οι ιδιότητές του
Περιγράφοντας τους τύπους των κανονικών πολύεδρων, δεν μπορούμε να μην σημειώσουμε ένα τέτοιο αντικείμενο όπως ένα οκτάεδρο, το οποίο μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά ως δύο τετράγωνες κανονικές πυραμίδες κολλημένες μεταξύ τους με βάσεις.
Ιδιότητες του οκταέδρου:
- Το ίδιο το όνομα ενός γεωμετρικού σώματος υποδηλώνει τον αριθμό των προσώπων του. Το οκτάεδρο αποτελείται από 8 ίσα ισόπλευρα τρίγωνα, σε καθεμία από τις κορυφές των οποίων συγκλίνουν ίσος αριθμός όψεων, δηλαδή 4.
- Δεδομένου ότι όλες οι όψεις ενός οκταέδρου είναι ίσες, οι γωνίες διεπαφής του είναι επίσης ίσες, καθεμία από τις οποίες είναι ίση με 60, και το άθροισμα των επίπεδων γωνιών οποιασδήποτε από τις κορυφές είναι επομένως 240.
Δωδεκάεδρο
Αν φανταστούμε ότι όλες οι όψεις ενός γεωμετρικού σώματος είναι ένα κανονικό πεντάγωνο, τότε θα έχουμε ένα δωδεκάεδρο -ένα σχήμα 12 πολυγώνων.
Ιδιότητες του δωδεκάεδρου:
- Τρεις όψεις τέμνονται σε κάθε κορυφή.
- Όλες οι όψεις είναι ίσες και έχουν το ίδιο μήκος άκρου και ίσο εμβαδόν.
- Το δωδεκάεδρο έχει 15 άξονες και επίπεδα συμμετρίας και οποιοδήποτε από αυτά διέρχεται από την κορυφή της όψης και το μέσο της απέναντι ακμής.
Εικοσάεδρο
Όχι λιγότερο ενδιαφέρον από το δωδεκάεδρο, το σχήμα του εικοσάεδρου είναι ένα τρισδιάστατο γεωμετρικό σώμα με 20 ίσες όψεις. Μεταξύ των ιδιοτήτων ενός κανονικού εικοσάεδρου, μπορούν να σημειωθούν τα ακόλουθα:
- Όλες οι όψεις του εικοσάεδρου είναι ισοσκελές τρίγωνα.
- Πέντε όψεις συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του πολυέδρου και το άθροισμα των γειτονικών γωνιών της κορυφής είναι 300.
- Το εικοσάεδρο, όπως και το δωδεκάεδρο, έχει 15 άξονες και επίπεδα συμμετρίας που διέρχονται από τα μέσα των απέναντι όψεων.
Ημικανονικά πολύγωνα
Εκτός από τα πλατωνικά στερεά, η ομάδα των κυρτών πολύεδρων περιλαμβάνει και τα στερεά του Αρχιμήδειου, τα οποία είναι κολοβωμένα κανονικά πολύεδρα. Οι τύποι πολύεδρων αυτής της ομάδας έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:
- Τα γεωμετρικά σώματα έχουν κατά ζεύγη ίσες όψεις πολλών τύπων, για παράδειγμα, ένα κολοβό τετράεδρο έχει 8 όψεις, όπως ένα κανονικό τετράεδρο, αλλά στην περίπτωση ενός αρχιμήδειου στερεού, 4 όψεις θα είναι τριγωνικές και 4 θα είναι εξαγωνικές.
- Όλες οι γωνίες μιας κορυφής είναι ίσες.
Πολύεδρα αστεριών
Οι εκπρόσωποι των μη ογκομετρικών τύπων γεωμετρικών σωμάτων είναι αστεροειδή πολύεδρα των οποίων οι όψεις τέμνονται μεταξύ τους. Μπορούν να σχηματιστούν με τη συγχώνευση δύο κανονικών τρισδιάστατων στερεών ή με την επέκταση των προσώπων τους.
Επομένως, τέτοια αστρικά πολύεδρα είναι γνωστά ως: αστρικές μορφές του οκταέδρου, δωδεκάεδρου, εικοσάεδρου, κυβοκτάεδρου, εικοσοδωδεκάεδρου.
