Για να κατανοήσουμε ποια είναι τα ακραία σημεία μιας συνάρτησης, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να γνωρίζουμε την παρουσία της πρώτης και δεύτερης παραγώγου και να κατανοήσουμε τη φυσική τους σημασία. Πρώτα πρέπει να κατανοήσετε τα εξής:
- συνάρτηση ακραία μεγιστοποίηση ή, αντίθετα, ελαχιστοποίηση της τιμής της συνάρτησης σε μια αυθαίρετα μικρή γειτονιά;
- Δεν πρέπει να υπάρχει αλλαγή συνάρτησης στο ακραίο σημείο.
Και τώρα τα ίδια, μόνο σε απλή γλώσσα. Κοιτάξτε την άκρη ενός στυλό. Εάν το στυλό τοποθετηθεί κάθετα, με το τέλος της γραφής, τότε το πολύ μέσο της μπάλας θα είναι το ακραίο σημείο - το υψηλότερο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση, μιλάμε για το μέγιστο. Τώρα, αν γυρίσετε το στυλό με το τέλος της γραφής προς τα κάτω, τότε στη μέση της μπάλας θα υπάρχει ήδη ένα ελάχιστο της συνάρτησης. Με τη βοήθεια του σχήματος που δίνεται εδώ, μπορείτε να φανταστείτε τους αναφερόμενους χειρισμούς για ένα μολύβι χαρτικής. Άρα, τα άκρα μιας συνάρτησης είναι πάντα κρίσιμα σημεία: τα μέγιστα ή ελάχιστα. Το διπλανό τμήμα του γραφήματος μπορεί να είναι αυθαίρετα αιχμηρό ή ομαλό, αλλά πρέπει να υπάρχει και στις δύο πλευρές, μόνο που στην περίπτωση αυτή το σημείο είναι ακραίο. Εάν το γράφημα υπάρχει μόνο στη μία πλευρά, αυτό το σημείο δεν θα είναι ακραίο ακόμα και αν βρίσκεται στη μία πλευράπληρούνται οι ακραίες προϋποθέσεις. Ας μελετήσουμε τώρα τα άκρα της συνάρτησης από επιστημονική άποψη. Για να θεωρηθεί ένα σημείο ακραίο, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι:
- η πρώτη παράγωγος ήταν ίση με μηδέν ή δεν υπήρχε στο σημείο;
- η πρώτη παράγωγος άλλαξε πρόσημο σε αυτό το σημείο.
Η συνθήκη ερμηνεύεται κάπως διαφορετικά από την άποψη των παραγώγων υψηλότερης τάξης: για μια συνάρτηση διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο, αρκεί να υπάρχει μια παράγωγος περιττής τάξης που δεν είναι ίση με μηδέν, ενώ όλες οι πρέπει να υπάρχουν παράγωγοι χαμηλότερης τάξης και να είναι ίσες με μηδέν. Αυτή είναι η απλούστερη ερμηνεία θεωρημάτων από εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών. Αλλά για τους πιο απλούς ανθρώπους, αξίζει να εξηγήσουμε αυτό το σημείο με ένα παράδειγμα. Η βάση είναι μια συνηθισμένη παραβολή. Κάνε αμέσως κράτηση, στο σημείο μηδέν έχει ελάχιστο. Λίγα μαθηματικά:
- πρώτη παράγωγος (X2)|=2X, για σημείο μηδέν 2X=0;
- δεύτερη παράγωγος (2X)|=2, για σημείο μηδέν 2=2.
Αυτή είναι μια απλή απεικόνιση των συνθηκών που καθορίζουν τα άκρα της συνάρτησης τόσο για παραγώγους πρώτης τάξης όσο και για παραγώγους υψηλότερης τάξης. Μπορούμε να προσθέσουμε σε αυτό ότι η δεύτερη παράγωγος είναι ακριβώς η ίδια παράγωγος μιας περιττής τάξης, άνισης με το μηδέν, η οποία συζητήθηκε λίγο υψηλότερα. Όταν πρόκειται για άκρα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών, οι προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται και για τα δύο ορίσματα. Πότεγίνεται γενίκευση και στη συνέχεια χρησιμοποιούνται μερικοί παράγωγοι. Δηλαδή, είναι απαραίτητο για την παρουσία ενός άκρου σε ένα σημείο που και οι δύο παράγωγοι πρώτης τάξης να είναι ίσες με μηδέν, ή τουλάχιστον μία από αυτές να μην υπάρχει. Για την επάρκεια της παρουσίας ενός άκρου, διερευνάται μια έκφραση, η οποία είναι η διαφορά μεταξύ του γινομένου παραγώγων δεύτερης τάξης και του τετραγώνου της μικτής παραγώγου δεύτερης τάξης της συνάρτησης. Εάν αυτή η έκφραση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε υπάρχει ένα άκρο, και εάν υπάρχει μηδέν, τότε το ερώτημα παραμένει ανοιχτό και απαιτείται πρόσθετη έρευνα.
