Η γραμμή και το επίπεδο είναι τα δύο πιο σημαντικά γεωμετρικά στοιχεία που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή διαφορετικών σχημάτων σε 2D και 3D χώρο. Σκεφτείτε πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ παράλληλων ευθειών και παράλληλων επιπέδων.
Μαθηματική εργασία ευθεία
Από το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας είναι γνωστό ότι σε ένα δισδιάστατο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μια γραμμή μπορεί να καθοριστεί με την ακόλουθη μορφή:
y=kx + b.
Όπου k και b είναι αριθμοί (παράμετροι). Η γραπτή μορφή αναπαράστασης μιας ευθείας σε ένα επίπεδο είναι ένα επίπεδο που είναι παράλληλο στον άξονα z στον τρισδιάστατο χώρο. Ενόψει αυτού, σε αυτό το άρθρο, για τη μαθηματική αντιστοίχιση μιας ευθείας γραμμής, θα χρησιμοποιήσουμε μια πιο βολική και καθολική μορφή - μια διανυσματική.
Υποθέστε ότι η ευθεία μας είναι παράλληλη σε κάποιο διάνυσμα u¯(a, b, c) και διέρχεται από το σημείο P(x0, y0, z0). Σε αυτήν την περίπτωση, σε διανυσματική μορφή, η εξίσωσή του θα αναπαρασταθεί ως εξής:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Εδώ λ είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Αν αναπαραστήσουμε ρητά τις συντεταγμένες επεκτείνοντας τη γραπτή έκφραση, τότε θα λάβουμε μια παραμετρική μορφή γραφής μιας ευθείας γραμμής.
Είναι βολικό να εργάζεστε με μια διανυσματική εξίσωση όταν λύνετε διάφορα προβλήματα στα οποία είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε την απόσταση μεταξύ παράλληλων γραμμών.
Γραμμές και η μεταξύ τους απόσταση
Είναι λογικό να μιλάμε για την απόσταση μεταξύ των γραμμών μόνο όταν είναι παράλληλες (στην τρισδιάστατη περίπτωση, υπάρχει επίσης μια μη μηδενική απόσταση μεταξύ λοξών γραμμών). Αν οι ευθείες τέμνονται, τότε είναι προφανές ότι βρίσκονται σε μηδενική απόσταση μεταξύ τους.
Η απόσταση μεταξύ των παράλληλων γραμμών είναι το μήκος της κάθετης που τις συνδέει. Για να προσδιορίσετε αυτόν τον δείκτη, αρκεί να επιλέξετε ένα αυθαίρετο σημείο σε μια από τις ευθείες και να ρίξετε μια κάθετη από αυτήν στην άλλη.
Ας περιγράψουμε εν συντομία τη διαδικασία εύρεσης της επιθυμητής απόστασης. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε τις διανυσματικές εξισώσεις δύο γραμμών, οι οποίες παρουσιάζονται στην ακόλουθη γενική μορφή:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Κατασκευάστε ένα παραλληλόγραμμο σε αυτές τις ευθείες έτσι ώστε η μία από τις πλευρές να είναι PQ και η άλλη, για παράδειγμα, u. Προφανώς, το ύψος αυτού του σχήματος, που αντλείται από το σημείο P, είναι το μήκος της απαιτούμενης καθέτου. Για να το βρείτε, μπορείτε να εφαρμόσετε τα παρακάτω απλάτύπος:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Δεδομένου ότι η απόσταση μεταξύ των ευθειών είναι το μήκος του κάθετου τμήματος μεταξύ τους, τότε σύμφωνα με τη γραπτή έκφραση, αρκεί να βρούμε το μέτρο του διανυσματικού γινομένου των PQ¯ και u¯ και να διαιρέσουμε το αποτέλεσμα με το μήκος του διανύσματος u¯.
Ένα παράδειγμα εργασίας για τον προσδιορισμό της απόστασης μεταξύ ευθειών
Δύο ευθείες γραμμές δίνονται από τις ακόλουθες διανυσματικές εξισώσεις:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Από τις γραπτές εκφράσεις είναι ξεκάθαρο ότι έχουμε δύο παράλληλες ευθείες. Πράγματι, αν πολλαπλασιάσουμε με -1 τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της πρώτης ευθείας, παίρνουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της δεύτερης ευθείας, που δείχνει τον παραλληλισμό τους.
Η απόσταση μεταξύ των ευθειών θα υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που γράφτηκε στην προηγούμενη παράγραφο του άρθρου. Έχουμε:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Τότε παίρνουμε:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Σημειώστε ότι αντί για τα σημεία P και Q, θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν απολύτως οποιαδήποτε σημεία που ανήκουν σε αυτές τις γραμμές για την επίλυση του προβλήματος. Σε αυτήν την περίπτωση, θα είχαμε την ίδια απόσταση d.
Ρύθμιση επιπέδου στη γεωμετρία
Το ζήτημα της απόστασης μεταξύ των γραμμών συζητήθηκε παραπάνω λεπτομερώς. Τώρα ας δείξουμε πώς να βρίσκουμε την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων.
Όλοι αντιπροσωπεύουν τι είναι αεροπλάνο. Σύμφωνα με τον μαθηματικό ορισμό, το καθορισμένο γεωμετρικό στοιχείο είναι μια συλλογή σημείων. Επιπλέον, εάν συνθέσετε όλα τα πιθανά διανύσματα χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία, τότε όλα θα είναι κάθετα σε ένα μόνο διάνυσμα. Το τελευταίο συνήθως ονομάζεται κανονικό στο επίπεδο.
Για να καθορίσετε την εξίσωση ενός επιπέδου στον τρισδιάστατο χώρο, χρησιμοποιείται συχνότερα η γενική μορφή της εξίσωσης. Μοιάζει με αυτό:
Ax + By + Cz + D=0.
Όπου τα κεφαλαία λατινικά γράμματα είναι κάποιοι αριθμοί. Είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί αυτό το είδος εξίσωσης επιπέδου επειδή οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος δίνονται ρητά σε αυτό. Είναι Α, Β, Γ.
Είναι εύκολο να δούμε ότι δύο επίπεδα είναι παράλληλα μόνο όταν τα κανονικά τους είναι παράλληλα.
Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων;
Για να προσδιορίσετε την καθορισμένη απόσταση, θα πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι διακυβεύεται. Η απόσταση μεταξύ των επιπέδων που είναι παράλληλα μεταξύ τους νοείται ως το μήκος του κάθετου σε αυτά τμήματος. Τα άκρα αυτού του τμήματος ανήκουν σε επίπεδα.
Ο αλγόριθμος για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι απλός. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε απολύτως σημείου που ανήκει σε ένα από τα δύο επίπεδα. Στη συνέχεια, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον τύπο:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Δεδομένου ότι η απόσταση είναι θετική τιμή, το πρόσημο του συντελεστή είναι στον αριθμητή. Ο γραπτός τύπος είναι καθολικός, καθώς σας επιτρέπει να υπολογίσετε την απόσταση από το επίπεδο σε απολύτως οποιοδήποτε γεωμετρικό στοιχείο. Αρκεί να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες ενός σημείου αυτού του στοιχείου.
Για λόγους πληρότητας, σημειώνουμε ότι εάν τα κανονικά δύο επιπέδων δεν είναι παράλληλα μεταξύ τους, τότε τέτοια επίπεδα θα τέμνονται. Η απόσταση μεταξύ τους θα είναι τότε μηδέν.
Το πρόβλημα του προσδιορισμού της απόστασης μεταξύ των επιπέδων
Είναι γνωστό ότι δύο επίπεδα δίνονται από τις ακόλουθες εκφράσεις:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Είναι απαραίτητο να αποδείξουμε ότι τα επίπεδα είναι παράλληλα και επίσης να καθορίσουμε την απόσταση μεταξύ τους.
Για να απαντήσετε στο πρώτο μέρος του προβλήματος, πρέπει να φέρετε την πρώτη εξίσωση σε μια γενική μορφή. Σημειώστε ότι δίνεται με τη λεγόμενη μορφή εξίσωσης σε τμήματα. Πολλαπλασιάστε το αριστερό και το δεξί μέρος του επί 15 και μετακινήστε όλους τους όρους στη μία πλευρά της εξίσωσης, παίρνουμε:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Ας γράψουμε τις συντεταγμένες δύο κανονικών διανυσμάτων των επιπέδων:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Μπορεί να φανεί ότι αν το n2¯ πολλαπλασιαστεί με 5, τότε θα λάβουμε ακριβώς τις συντεταγμένες n1¯. Έτσι, τα θεωρούμενα επίπεδα είναιπαράλληλα.
Για να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ των παράλληλων επιπέδων, επιλέξτε ένα αυθαίρετο σημείο του πρώτου από αυτά και χρησιμοποιήστε τον παραπάνω τύπο. Για παράδειγμα, ας πάρουμε το σημείο (0, 0, 1) που ανήκει στο πρώτο επίπεδο. Τότε παίρνουμε:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Η επιθυμητή απόσταση είναι 31 mm.
Απόσταση μεταξύ αεροπλάνου και γραμμής
Η θεωρητική γνώση που παρέχεται μας επιτρέπει επίσης να λύσουμε το πρόβλημα του προσδιορισμού της απόστασης μεταξύ μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου. Έχει ήδη αναφερθεί παραπάνω ότι ο τύπος που ισχύει για υπολογισμούς μεταξύ επιπέδων είναι καθολικός. Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του προβλήματος. Για να το κάνετε αυτό, απλώς επιλέξτε οποιοδήποτε σημείο που ανήκει στη δεδομένη γραμμή.
Το κύριο πρόβλημα στον προσδιορισμό της απόστασης μεταξύ των θεωρούμενων γεωμετρικών στοιχείων είναι η απόδειξη του παραλληλισμού τους (αν όχι, τότε d=0). Ο παραλληλισμός είναι εύκολο να αποδειχθεί αν υπολογίσετε το βαθμωτό γινόμενο της κανονικής και το διάνυσμα κατεύθυνσης για την ευθεία. Εάν τα υπό εξέταση στοιχεία είναι παράλληλα, τότε αυτό το γινόμενο θα είναι ίσο με μηδέν.
