Κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων στο διάστημα, συχνά υπάρχουν εκείνα όπου είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι γωνίες μεταξύ διαφορετικών χωροαντικειμένων. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε το ζήτημα της εύρεσης γωνιών μεταξύ των επιπέδων και μεταξύ τους και μιας ευθείας γραμμής.
Γραμμή στο διάστημα
Είναι γνωστό ότι απολύτως οποιαδήποτε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να οριστεί από την ακόλουθη ισότητα:
y=ax + b
Εδώ a και b είναι μερικοί αριθμοί. Αν αναπαραστήσουμε μια ευθεία στο χώρο με την ίδια έκφραση, τότε παίρνουμε ένα επίπεδο παράλληλο στον άξονα z. Για τον μαθηματικό ορισμό της χωρικής γραμμής, χρησιμοποιείται διαφορετική μέθοδος επίλυσης απ' ό,τι στη δισδιάστατη περίπτωση. Συνίσταται στη χρήση της έννοιας του "διανύσματος κατεύθυνσης".
Το κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής δείχνει τον προσανατολισμό της στο διάστημα. Αυτή η παράμετρος ανήκει στη γραμμή. Δεδομένου ότι υπάρχει ένα άπειρο σύνολο διανυσμάτων παράλληλα στο χώρο, τότε για να προσδιοριστεί μοναδικά το θεωρούμενο γεωμετρικό αντικείμενο, είναι επίσης απαραίτητο να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου που ανήκει σε αυτό.
Υποθέστε ότι υπάρχεισημείο P(x0; y0; z0) και διάνυσμα κατεύθυνσης v¯(a; b; γ), τότε η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να δοθεί ως εξής:
(x; y; z)=P + αv¯ ή
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; β; γ)
Αυτή η παράσταση ονομάζεται παραμετρική διανυσματική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Ο συντελεστής α είναι μια παράμετρος που μπορεί να λάβει απολύτως οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές. Οι συντεταγμένες μιας γραμμής μπορούν να αναπαρασταθούν ρητά επεκτείνοντας αυτήν την ισότητα:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Εξίσωση του επιπέδου
Υπάρχουν διάφορες μορφές γραφής μιας εξίσωσης για ένα επίπεδο στο διάστημα. Εδώ θα εξετάσουμε ένα από αυτά, το οποίο χρησιμοποιείται συχνότερα κατά τον υπολογισμό των γωνιών μεταξύ δύο επιπέδων ή μεταξύ ενός από αυτά και μιας ευθείας γραμμής.
Αν είναι γνωστό κάποιο διάνυσμα n¯(A; B; C), το οποίο είναι κάθετο στο επιθυμητό επίπεδο, και το σημείο P(x0; y 0; z0), που ανήκει σε αυτό, τότε η γενική εξίσωση για το τελευταίο είναι:
Ax + By + Cz + D=0 όπου D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Έχουμε παραλείψει την παραγωγή αυτής της έκφρασης, η οποία είναι αρκετά απλή. Εδώ σημειώνουμε μόνο ότι, γνωρίζοντας τους συντελεστές των μεταβλητών στην εξίσωση του επιπέδου, μπορεί κανείς εύκολα να βρει όλα τα διανύσματα που είναι κάθετα σε αυτό. Οι τελευταίες ονομάζονται κανονικές και χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των γωνιών μεταξύ του κεκλιμένου και του επιπέδου και μεταξύαυθαίρετα ανάλογα.
Η θέση των επιπέδων και ο τύπος για τη γωνία μεταξύ τους
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο αεροπλάνα. Ποιες είναι οι επιλογές για τη σχετική τους θέση στο χώρο. Εφόσον το επίπεδο έχει δύο άπειρες διαστάσεις και ένα μηδέν, είναι δυνατές μόνο δύο επιλογές για τον αμοιβαίο προσανατολισμό τους:
- θα είναι παράλληλα μεταξύ τους;
- μπορεί να επικαλύπτονται.
Η γωνία μεταξύ των επιπέδων είναι ο δείκτης μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους, δηλαδή μεταξύ των κανονικών τους n1¯ και n2¯.
Προφανώς, αν είναι παράλληλα με το επίπεδο, τότε η γωνία τομής είναι μηδέν μεταξύ τους. Αν τέμνονται, τότε είναι μη μηδενικό, αλλά πάντα αιχμηρό. Μια ειδική περίπτωση τομής θα είναι η γωνία 90o, όταν τα επίπεδα είναι αμοιβαία κάθετα μεταξύ τους.
Η γωνία α μεταξύ n1¯ και n2¯ προσδιορίζεται εύκολα από το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων. Δηλαδή, λαμβάνει χώρα ο τύπος:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Υποθέστε ότι οι συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τους τύπους για τον υπολογισμό του βαθμωτού γινομένου και των μονάδων των διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, η παραπάνω έκφραση μπορεί να ξαναγραφτεί ως:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + β 22 + c22)))
Ο συντελεστής στον αριθμητή εμφανίστηκε επειδή εξαιρούνται οι τιμές αμβλειών γωνιών.
Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων για τον προσδιορισμό της γωνίας τομής των επιπέδων
Γνωρίζοντας πώς να βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων, θα λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα. Δίνονται δύο επίπεδα, οι εξισώσεις των οποίων είναι:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Ποια είναι η γωνία μεταξύ των επιπέδων;
Για να απαντήσουμε στην ερώτηση του προβλήματος, ας θυμηθούμε ότι οι συντελεστές των μεταβλητών στη γενική εξίσωση του επιπέδου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος οδηγού. Για τα υποδεικνυόμενα επίπεδα έχουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των κανονικών τους:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Τώρα βρίσκουμε το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων και των μονάδων τους, έχουμε:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Τώρα μπορείτε να αντικαταστήσετε τους αριθμούς που βρέθηκαν στον τύπο που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Παίρνουμε:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Η τιμή που προκύπτει αντιστοιχεί σε οξεία γωνία τομής των επιπέδων που καθορίζονται στη συνθήκηεργασίες.
Σκεφτείτε τώρα ένα άλλο παράδειγμα. Δίνονται δύο επίπεδα:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Τέμνονται; Ας γράψουμε τις τιμές των συντεταγμένων των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους, ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο και τις ενότητες τους:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Τότε η γωνία τομής είναι:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Αυτή η γωνία δείχνει ότι τα επίπεδα δεν τέμνονται, αλλά είναι παράλληλα. Το γεγονός ότι δεν ταιριάζουν μεταξύ τους είναι εύκολο να ελεγχθεί. Ας πάρουμε για αυτό ένα αυθαίρετο σημείο που ανήκει στο πρώτο από αυτά, για παράδειγμα, P(0; 3; 2). Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Δηλαδή, το σημείο P ανήκει μόνο στο πρώτο επίπεδο.
Έτσι δύο επίπεδα είναι παράλληλα όταν οι κανονικές τους είναι.
Επίπεδο και ευθεία
Στην περίπτωση της εξέτασης της σχετικής θέσης μεταξύ ενός επιπέδου και μιας ευθείας γραμμής, υπάρχουν πολλές περισσότερες επιλογές από ό,τι με δύο επίπεδα. Το γεγονός αυτό συνδέεται με το γεγονός ότι η ευθεία είναι ένα μονοδιάστατο αντικείμενο. Η γραμμή και το επίπεδο μπορεί να είναι:
- αμοιβαία παράλληλη, σε αυτήν την περίπτωση το επίπεδο δεν τέμνει την ευθεία;
- το τελευταίο μπορεί να ανήκει στο επίπεδο, ενώ θα είναι και παράλληλο με αυτό;
- και τα δύο αντικείμενα μπορούντέμνονται σε κάποια γωνία.
Ας εξετάσουμε πρώτα την τελευταία περίπτωση, καθώς απαιτεί την εισαγωγή της έννοιας της γωνίας τομής.
Γραμμή και επίπεδο, η γωνία μεταξύ τους
Αν μια ευθεία τέμνει ένα επίπεδο, τότε ονομάζεται κεκλιμένη ως προς αυτό. Το σημείο τομής ονομάζεται βάση της κλίσης. Για να προσδιορίσετε τη γωνία μεταξύ αυτών των γεωμετρικών αντικειμένων, είναι απαραίτητο να χαμηλώσετε μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο από οποιοδήποτε σημείο. Τότε το σημείο τομής της κάθετου με το επίπεδο και το σημείο τομής της κεκλιμένης με αυτό σχηματίζουν ευθεία γραμμή. Το τελευταίο ονομάζεται προβολή της αρχικής γραμμής στο υπό εξέταση επίπεδο. Η οξεία γωνία μεταξύ της γραμμής και της προβολής της είναι η απαιτούμενη.
Κάπως συγκεχυμένος ορισμός της γωνίας μεταξύ επιπέδου και λοξής θα διευκρινίσει το παρακάτω σχήμα.
Εδώ η γωνία ABO είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας AB και του επιπέδου a.
Για να σημειώσετε τον τύπο για αυτό, εξετάστε ένα παράδειγμα. Έστω μια ευθεία γραμμή και ένα επίπεδο, τα οποία περιγράφονται από τις εξισώσεις:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Είναι εύκολο να υπολογίσετε την επιθυμητή γωνία για αυτά τα αντικείμενα εάν βρείτε το βαθμωτό γινόμενο μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης της ευθείας και του επιπέδου. Η προκύπτουσα οξεία γωνία πρέπει να αφαιρεθεί από το 90o και, στη συνέχεια, λαμβάνεται μεταξύ μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου.
Το παραπάνω σχήμα δείχνει τον περιγραφόμενο αλγόριθμο εύρεσηςθεωρούμενη γωνία. Εδώ το β είναι η γωνία μεταξύ της κανονικής και της ευθείας, και το α είναι μεταξύ της ευθείας και της προβολής της στο επίπεδο. Μπορεί να φανεί ότι το άθροισμά τους είναι 90o.
Παραπάνω, παρουσιάστηκε ένας τύπος που απαντά στο ερώτημα πώς να βρείτε μια γωνία μεταξύ των επιπέδων. Τώρα δίνουμε την αντίστοιχη έκφραση για την περίπτωση μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Ο συντελεστής στον τύπο επιτρέπει τον υπολογισμό μόνο οξειών γωνιών. Η συνάρτηση τόξου εμφανίστηκε αντί της αρκοσίνης λόγω της χρήσης του αντίστοιχου τύπου αναγωγής μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Πρόβλημα: Ένα επίπεδο τέμνει μια ευθεία γραμμή
Τώρα ας δείξουμε πώς να εργάζεστε με τον παραπάνω τύπο. Ας λύσουμε το πρόβλημα: είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε τη γωνία μεταξύ του άξονα y και του επιπέδου που δίνεται από την εξίσωση:
y - z + 12=0
Αυτό το αεροπλάνο φαίνεται στην εικόνα.
Μπορείτε να δείτε ότι τέμνει τους άξονες y και z στα σημεία (0; -12; 0) και (0; 0; 12), αντίστοιχα, και είναι παράλληλος στον άξονα x.
Το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας y έχει συντεταγμένες (0; 1; 0). Ένα διάνυσμα κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο χαρακτηρίζεται από συντεταγμένες (0; 1; -1). Εφαρμόζουμε τον τύπο για τη γωνία τομής μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου, παίρνουμε:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Πρόβλημα: ευθεία παράλληλη προς το επίπεδο
Τώρα ας αποφασίσουμεπαρόμοια με το προηγούμενο πρόβλημα, το ερώτημα του οποίου τίθεται διαφορετικά. Οι εξισώσεις του επιπέδου και της ευθείας είναι γνωστές:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Είναι απαραίτητο να ανακαλύψουμε εάν αυτά τα γεωμετρικά αντικείμενα είναι παράλληλα μεταξύ τους.
Έχουμε δύο διανύσματα: η κατεύθυνση της ευθείας είναι (0; 2; 2) και η κατεύθυνση του επιπέδου είναι (1; 1; -1). Βρείτε το προϊόν κουκκίδων τους:
01 + 12 - 12=0
Το μηδέν που προκύπτει υποδηλώνει ότι η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι 90o, που αποδεικνύει ότι η ευθεία και το επίπεδο είναι παράλληλα.
Τώρα ας ελέγξουμε αν αυτή η ευθεία είναι μόνο παράλληλη ή βρίσκεται επίσης στο επίπεδο. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε ένα αυθαίρετο σημείο στη γραμμή και ελέγξτε αν ανήκει στο επίπεδο. Για παράδειγμα, ας πάρουμε λ=0, τότε το σημείο P(1; 0; 0) ανήκει στην ευθεία. Αντικαταστήστε στην εξίσωση του επιπέδου P:
1 - 3=-2 ≠ 0
Το σημείο P δεν ανήκει στο επίπεδο, πράγμα που σημαίνει ότι ούτε ολόκληρη η ευθεία βρίσκεται σε αυτό.
Πού είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τις γωνίες μεταξύ των θεωρούμενων γεωμετρικών αντικειμένων;
Οι παραπάνω τύποι και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων δεν έχουν μόνο θεωρητικό ενδιαφέρον. Συχνά χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό σημαντικών φυσικών ποσοτήτων πραγματικών τρισδιάστατων μορφών, όπως πρίσματα ή πυραμίδες. Είναι σημαντικό να μπορούμε να προσδιορίζουμε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων κατά τον υπολογισμό των όγκων των σχημάτων και των επιφανειών των επιφανειών τους. Επιπλέον, εάν στην περίπτωση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι δυνατό να μην χρησιμοποιηθούν αυτοί οι τύποι για τον προσδιορισμόκαθορισμένες τιμές, τότε για κάθε τύπο πυραμίδας η χρήση τους είναι αναπόφευκτη.
Παρακάτω, εξετάστε ένα παράδειγμα χρήσης της παραπάνω θεωρίας για τον προσδιορισμό των γωνιών μιας πυραμίδας με τετράγωνη βάση.
Η πυραμίδα και οι γωνίες της
Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια πυραμίδα, στη βάση της οποίας βρίσκεται ένα τετράγωνο με πλευρά α. Το ύψος του σχήματος είναι h. Πρέπει να βρείτε δύο γωνίες:
- μεταξύ πλευρικής επιφάνειας και βάσης;
- μεταξύ πλευρικής πλευράς και βάσης.
Για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει πρώτα να εισαγάγετε το σύστημα συντεταγμένων και να προσδιορίσετε τις παραμέτρους των αντίστοιχων κορυφών. Το σχήμα δείχνει ότι η αρχή των συντεταγμένων συμπίπτει με το σημείο στο κέντρο της τετραγωνικής βάσης. Σε αυτήν την περίπτωση, το επίπεδο βάσης περιγράφεται από την εξίσωση:
z=0
Δηλαδή, για οποιαδήποτε x και y, η τιμή της τρίτης συντεταγμένης είναι πάντα μηδέν. Το πλευρικό επίπεδο ABC τέμνει τον άξονα z στο σημείο B(0; 0; h) και τον άξονα y στο σημείο με συντεταγμένες (0; a/2; 0). Δεν διασχίζει τον άξονα x. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση του επιπέδου ABC μπορεί να γραφτεί ως:
y / (a / 2) + z / h=1 ή
2hy + az - ah=0
Το διάνυσμα AB¯ είναι μια πλευρική ακμή. Οι συντεταγμένες έναρξης και λήξης του είναι: A(a/2; a/2; 0) και B(0; 0; h). Τότε οι συντεταγμένες του ίδιου του διανύσματος:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Βρήκαμε όλες τις απαραίτητες εξισώσεις και διανύσματα. Τώρα απομένει να χρησιμοποιήσουμε τους εξεταζόμενους τύπους.
Πρώτα υπολογίζουμε στην πυραμίδα τη γωνία μεταξύ των επιπέδων της βάσηςκαι πλευρά. Τα αντίστοιχα κανονικά διανύσματα είναι: n1¯(0; 0; 1) και n2¯(0; 2h; a). Τότε η γωνία θα είναι:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Η γωνία μεταξύ επιπέδου και ακμής AB θα είναι:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Απομένει να αντικαταστήσουμε τις συγκεκριμένες τιμές της πλευράς της βάσης a και του ύψους h για να λάβουμε τις απαιτούμενες γωνίες.
