Επίπεδες εξισώσεις. Γωνία μεταξύ δύο επιπέδων

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Ένα επίπεδο, μαζί με ένα σημείο και μια ευθεία, είναι ένα βασικό γεωμετρικό στοιχείο. Με τη χρήση του κατασκευάζονται πολλές μορφές χωρικής γεωμετρίας. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε λεπτομερέστερα το ερώτημα πώς να βρείτε μια γωνία μεταξύ δύο επιπέδων.

Έννοια

Πριν μιλήσετε για τη γωνία μεταξύ δύο επιπέδων, θα πρέπει να καταλάβετε καλά για ποιο στοιχείο της γεωμετρίας μιλάμε. Ας καταλάβουμε την ορολογία. Ένα επίπεδο είναι μια ατελείωτη συλλογή σημείων στο χώρο, τα οποία συνδέουν τα διανύσματα. Το τελευταίο θα είναι κάθετο σε κάποιο διάνυσμα. Συνήθως ονομάζεται κανονικό στο επίπεδο.

Το παραπάνω σχήμα δείχνει ένα επίπεδο και δύο κανονικά διανύσματα σε αυτό. Μπορεί να φανεί ότι και τα δύο διανύσματα βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Η γωνία μεταξύ τους είναι 180o.

Εξισώσεις

Η γωνία μεταξύ δύο επιπέδων μπορεί να προσδιοριστεί εάν είναι γνωστή η μαθηματική εξίσωση του θεωρούμενου γεωμετρικού στοιχείου. Υπάρχουν διάφοροι τύποι τέτοιων εξισώσεων,των οποίων τα ονόματα αναφέρονται παρακάτω:

• γενικός τύπος;
• διάνυσμα;
• σε τμήματα.

Αυτοί οι τρεις τύποι είναι οι πιο βολικοί για την επίλυση διαφόρων ειδών προβλημάτων, επομένως χρησιμοποιούνται συχνότερα.

Μια γενική εξίσωση τύπου μοιάζει με αυτό:

Ax + By + Cz + D=0.

Εδώ x, y, z είναι οι συντεταγμένες ενός αυθαίρετου σημείου που ανήκει στο δεδομένο επίπεδο. Οι παράμετροι Α, Β, Γ και Δ είναι αριθμοί. Η ευκολία αυτής της σημείωσης έγκειται στο γεγονός ότι οι αριθμοί A, B, C είναι οι συντεταγμένες ενός διανύσματος κάθετου στο επίπεδο.

Η διανυσματική μορφή του επιπέδου μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, β₂, c_2).

Εδώ (α₂, b₂, c₂) και (α ₁, b₁, c₁) - παράμετροι δύο διανυσμάτων συντεταγμένων που ανήκουν στο εξεταζόμενο επίπεδο. Το σημείο (x₀, y₀, z_{0) βρίσκεται επίσης σε αυτό το επίπεδο. Οι παράμετροι α και β μπορούν να λάβουν ανεξάρτητες και αυθαίρετες τιμές.}

Τέλος, η εξίσωση του επιπέδου σε τμήματα αναπαρίσταται με την ακόλουθη μαθηματική μορφή:

x/p + y/q + z/l=1.

Εδώ τα p, q, l είναι συγκεκριμένοι αριθμοί (συμπεριλαμβανομένων των αρνητικών). Αυτό το είδος εξίσωσης είναι χρήσιμο όταν είναι απαραίτητο να απεικονιστεί ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, καθώς οι αριθμοί p, q, l δείχνουν τα σημεία τομής με τους άξονες x, y και zαεροπλάνο.

Σημειώστε ότι κάθε τύπος εξίσωσης μπορεί να μετατραπεί σε οποιονδήποτε άλλο χρησιμοποιώντας απλές μαθηματικές πράξεις.

Τύπος για τη γωνία μεταξύ δύο επιπέδων

Σκεφτείτε τώρα την παρακάτω απόχρωση. Στον τρισδιάστατο χώρο, δύο επίπεδα μπορούν να εντοπιστούν μόνο με δύο τρόπους. Είτε τέμνονται είτε είναι παράλληλοι. Μεταξύ δύο επιπέδων, η γωνία είναι αυτή που βρίσκεται μεταξύ των διανυσμάτων οδηγών τους (κανονική). Τέμνονται, 2 διανύσματα σχηματίζουν 2 γωνίες (οξεία και αμβλεία στη γενική περίπτωση). Η γωνία μεταξύ των επιπέδων θεωρείται οξεία. Εξετάστε την εξίσωση.

Ο τύπος για τη γωνία μεταξύ δύο επιπέδων είναι:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι αυτή η έκφραση είναι άμεση συνέπεια του βαθμωτού γινόμενου των κανονικών διανυσμάτων n₁¯ και n₂ ¯ για τα εξεταζόμενα επίπεδα. Ο συντελεστής του γινόμενου κουκίδων στον αριθμητή υποδεικνύει ότι η γωνία θ θα λάβει τιμές μόνο από 0^o έως 90^{o. Το γινόμενο των συντελεστών των κανονικών διανυσμάτων στον παρονομαστή σημαίνει το γινόμενο των μηκών τους.}

Σημείωση, εάν (n₁¯n_{2¯)=0, τότε τα επίπεδα τέμνονται σε ορθή γωνία.}

Παράδειγμα προβλήματος

Έχοντας καταλάβει τι ονομάζεται γωνία μεταξύ δύο επιπέδων, θα λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα. Ως παράδειγμα. Επομένως, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ τέτοιων επιπέδων:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να γνωρίζετε τα διανύσματα κατεύθυνσης των επιπέδων. Για το πρώτο επίπεδο, το κανονικό διάνυσμα είναι: n₁¯=(2, -3, 0). Για να βρεθεί το δεύτερο επίπεδο κανονικό διάνυσμα, θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τα διανύσματα μετά τις παραμέτρους α και β. Το αποτέλεσμα είναι ένα διάνυσμα: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Για να προσδιορίσουμε τη γωνία θ, χρησιμοποιούμε τον τύπο από την προηγούμενη παράγραφο. Παίρνουμε:

θ=τόξο (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=τόξο (19/√(1338))=0,5455 rad.

Η υπολογισμένη γωνία σε ακτίνια αντιστοιχεί σε 31,26^o. Έτσι, τα επίπεδα από την συνθήκη του προβλήματος τέμνονται υπό γωνία 31, 26^o.