Ένα από τα αξιώματα της γεωμετρίας δηλώνει ότι μέσω οποιωνδήποτε δύο σημείων είναι δυνατό να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή. Αυτό το αξίωμα μαρτυρεί ότι υπάρχει μια μοναδική αριθμητική έκφραση που περιγράφει μοναδικά το καθορισμένο μονοδιάστατο γεωμετρικό αντικείμενο. Εξετάστε στο άρθρο το ερώτημα πώς να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.
Τι είναι ένα σημείο και μια ευθεία;
Πριν εξετάσουμε το ζήτημα της κατασκευής στο διάστημα και στο επίπεδο μιας ευθείας γραμμής μιας εξίσωσης που διέρχεται από ένα ζεύγος διαφορετικών σημείων, θα πρέπει να ορίσουμε τα καθορισμένα γεωμετρικά αντικείμενα.
Ένα σημείο προσδιορίζεται μοναδικά από ένα σύνολο συντεταγμένων σε ένα δεδομένο σύστημα αξόνων συντεταγμένων. Εκτός από αυτά, δεν υπάρχουν άλλα χαρακτηριστικά για το σημείο. Είναι ένα αντικείμενο μηδενικών διαστάσεων.
Όταν μιλάμε για μια ευθεία γραμμή, κάθε άτομο φαντάζεται μια γραμμή που απεικονίζεται σε ένα λευκό φύλλο χαρτιού. Ταυτόχρονα, είναι δυνατό να δοθεί ένας ακριβής γεωμετρικός ορισμόςαυτό το αντικείμενο. Μια ευθεία γραμμή είναι μια τέτοια συλλογή σημείων για τα οποία η σύνδεση καθενός από αυτά με όλα τα άλλα θα δώσει ένα σύνολο παράλληλων διανυσμάτων.
Αυτός ο ορισμός χρησιμοποιείται κατά τον ορισμό της διανυσματικής εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής, η οποία θα συζητηθεί παρακάτω.
Δεδομένου ότι οποιαδήποτε γραμμή μπορεί να επισημανθεί με ένα τμήμα αυθαίρετου μήκους, λέγεται ότι είναι ένα μονοδιάστατο γεωμετρικό αντικείμενο.
Αριθμός διανυσματική συνάρτηση
Μια εξίσωση που διασχίζει δύο σημεία μιας διερχόμενης ευθείας μπορεί να γραφτεί με διαφορετικές μορφές. Σε τρισδιάστατους και δισδιάστατους χώρους, η κύρια και διαισθητικά κατανοητή αριθμητική έκφραση είναι ένα διάνυσμα.
Υποθέστε ότι υπάρχει κάποιο κατευθυνόμενο τμήμα u¯(a; b; c). Στον τρισδιάστατο χώρο, το διάνυσμα u μπορεί να ξεκινήσει από οποιοδήποτε σημείο, επομένως οι συντεταγμένες του ορίζουν ένα άπειρο σύνολο παράλληλων διανυσμάτων. Ωστόσο, αν επιλέξουμε ένα συγκεκριμένο σημείο P(x0; y0; z0) και βάλουμε είναι η αρχή του διανύσματος u¯, τότε, πολλαπλασιάζοντας αυτό το διάνυσμα με έναν αυθαίρετο πραγματικό αριθμό λ, μπορούμε να λάβουμε όλα τα σημεία μιας ευθείας στο διάστημα. Δηλαδή, η διανυσματική εξίσωση θα γραφτεί ως:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; β; γ)
Προφανώς, για την περίπτωση στο επίπεδο, η αριθμητική συνάρτηση έχει τη μορφή:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; β)
Το πλεονέκτημα αυτού του τύπου εξίσωσης σε σύγκριση με τις άλλες (σε τμήματα, κανονικές,γενική μορφή) έγκειται στο γεγονός ότι περιέχει ρητά τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης. Το τελευταίο χρησιμοποιείται συχνά για να προσδιοριστεί εάν οι ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες.
Γενικά σε τμήματα και κανονική συνάρτηση για ευθεία γραμμή σε δισδιάστατο χώρο
Όταν λύνετε προβλήματα, μερικές φορές χρειάζεται να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο σημεία σε μια συγκεκριμένη, συγκεκριμένη μορφή. Επομένως, θα πρέπει να δοθούν άλλοι τρόποι προσδιορισμού αυτού του γεωμετρικού αντικειμένου σε δισδιάστατο χώρο (για λόγους απλότητας, εξετάζουμε την περίπτωση στο επίπεδο).
Ας ξεκινήσουμε με μια γενική εξίσωση. Έχει τη μορφή:
Ax + By + C=0
Κατά κανόνα, στο επίπεδο η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής γράφεται με αυτή τη μορφή, μόνο το y ορίζεται ρητά μέσω του x.
Τώρα μετατρέψτε την παραπάνω έκφραση ως εξής:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Αυτή η παράσταση ονομάζεται εξίσωση σε τμήματα, καθώς ο παρονομαστής για κάθε μεταβλητή δείχνει πόσο χρόνο αποκόπτεται το τμήμα γραμμής στον αντίστοιχο άξονα συντεταγμένων σε σχέση με το σημείο εκκίνησης (0; 0).
Μένει να δώσουμε ένα παράδειγμα της κανονικής εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, γράφουμε ρητά τη διανυσματική ισότητα:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Ας εκφράσουμε την παράμετρο λ από εδώ και ας εξισώσουμε τις ισότητες που προκύπτουν:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Η τελευταία ισότητα ονομάζεται εξίσωση σε κανονική ή συμμετρική μορφή.
Καθένα από αυτά μπορεί να μετατραπεί σε διανυσματικό και αντίστροφα.
Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο σημεία: μια τεχνική μεταγλώττισης
Επιστροφή στην ερώτηση του άρθρου. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο σημεία στο διάστημα:
M(x1; y1; z1) και N(x 2; y2; z2)
Η μόνη ευθεία γραμμή διέρχεται από αυτά, η εξίσωση της οποίας είναι πολύ εύκολο να συντεθεί σε διανυσματική μορφή. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του κατευθυνόμενου τμήματος MN¯, έχουμε:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι αυτό το διάνυσμα θα είναι ο οδηγός για την ευθεία, η εξίσωση της οποίας πρέπει να ληφθεί. Γνωρίζοντας ότι διέρχεται επίσης από τα M και N, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε από αυτά για μια διανυσματική έκφραση. Τότε η επιθυμητή εξίσωση παίρνει τη μορφή:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Για την περίπτωση σε δισδιάστατο χώρο, λαμβάνουμε παρόμοια ισότητα χωρίς τη συμμετοχή της μεταβλητής z.
Μόλις γραφτεί η διανυσματική ισότητα για τη γραμμή, μπορεί να μεταφραστεί σε οποιαδήποτε άλλη μορφή απαιτεί η ερώτηση του προβλήματος.
Εργασία:γράψτε μια γενική εξίσωση
Είναι γνωστό ότι μια ευθεία διέρχεται από τα σημεία με συντεταγμένες (-1; 4) και (3; 2). Είναι απαραίτητο να συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από αυτές, σε γενική μορφή, που να εκφράζει το y ως x.
Για να λύσουμε το πρόβλημα, γράφουμε πρώτα την εξίσωση σε διανυσματική μορφή. Οι συντεταγμένες του διανύσματος (οδηγός) είναι:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Τότε η διανυσματική μορφή της εξίσωσης της ευθείας γραμμής είναι η εξής:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Μένει να το γράψουμε σε γενική μορφή με τη μορφή y(x). Ξαναγράφουμε αυτήν την ισότητα ρητά, εκφράζουμε την παράμετρο λ και την αποκλείουμε από την εξίσωση:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-ε)/2
Από την προκύπτουσα κανονική εξίσωση, εκφράζουμε το y και καταλήγουμε στην απάντηση στην ερώτηση του προβλήματος:
y=-0,5x + 3,5
Η εγκυρότητα αυτής της ισότητας μπορεί να ελεγχθεί αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των σημείων που καθορίζονται στη δήλωση προβλήματος.
Πρόβλημα: μια ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του τμήματος
Τώρα ας λύσουμε ένα ενδιαφέρον πρόβλημα. Ας υποθέσουμε ότι δίνονται δύο σημεία M(2; 1) και N(5; 0). Είναι γνωστό ότι μια ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος που συνδέει τα σημεία και είναι κάθετη σε αυτό. Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το μέσο του τμήματος σε διανυσματική μορφή.
Η επιθυμητή αριθμητική έκφραση μπορεί να σχηματιστεί με τον υπολογισμό της συντεταγμένης αυτού του κέντρου και τον προσδιορισμό του διανύσματος κατεύθυνσης, το οποίοτο τμήμα κάνει γωνία 90o.
Το μέσο του τμήματος είναι:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Τώρα ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Δεδομένου ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης για την επιθυμητή ευθεία είναι κάθετο στο MN¯, το βαθμωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις άγνωστες συντεταγμένες (a; b) του διανύσματος διεύθυνσης:
a3 - b=0=>
b=3a
Τώρα γράψτε τη διανυσματική εξίσωση:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Εδώ αντικαταστήσαμε το προϊόν aλ με μια νέα παράμετρο β.
Έτσι, φτιάξαμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το κέντρο του τμήματος.
