Πολλά προβλήματα κίνησης στην κλασική μηχανική μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας την έννοια της ορμής ενός σωματιδίου ή ολόκληρου του μηχανικού συστήματος. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην έννοια της ορμής και ας δείξουμε επίσης πώς η γνώση που αποκτήθηκε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση φυσικών προβλημάτων.
Το κύριο χαρακτηριστικό του κινήματος
Τον 17ο αιώνα, όταν μελετούσε την κίνηση των ουράνιων σωμάτων στο διάστημα (την περιστροφή των πλανητών στο ηλιακό μας σύστημα), ο Ισαάκ Νεύτων χρησιμοποίησε την έννοια της ορμής. Για να είμαστε δίκαιοι, σημειώνουμε ότι μερικές δεκαετίες νωρίτερα, ο Galileo Galilei είχε ήδη χρησιμοποιήσει ένα παρόμοιο χαρακτηριστικό όταν περιέγραφε σώματα σε κίνηση. Ωστόσο, μόνο ο Νεύτωνας μπόρεσε να το ενσωματώσει συνοπτικά στην κλασική θεωρία της κίνησης των ουράνιων σωμάτων που αναπτύχθηκε από αυτόν.
Όλοι γνωρίζουν ότι ένα από τα σημαντικά μεγέθη που χαρακτηρίζουν την ταχύτητα αλλαγής των συντεταγμένων του σώματος στο διάστημα είναι η ταχύτητα. Αν πολλαπλασιαστεί με τη μάζα του κινούμενου αντικειμένου, τότε παίρνουμε την αναφερόμενη ποσότητα κίνησης, δηλαδή ισχύει ο ακόλουθος τύπος:
p¯=mv¯
Όπως μπορείτε να δείτε, το p¯ είναιένα διανυσματικό μέγεθος του οποίου η διεύθυνση συμπίπτει με αυτή της ταχύτητας v¯. Μετριέται σε kgm/s.
Η φυσική έννοια του p¯ μπορεί να γίνει κατανοητή από το ακόλουθο απλό παράδειγμα: ένα φορτηγό οδηγεί με την ίδια ταχύτητα και μια μύγα πετά, είναι σαφές ότι ένα άτομο δεν μπορεί να σταματήσει ένα φορτηγό, αλλά μια μύγα μπορεί να το κάνει είναι χωρίς προβλήματα. Δηλαδή, το μέγεθος της κίνησης είναι ευθέως ανάλογο όχι μόνο με την ταχύτητα, αλλά και με τη μάζα του σώματος (εξαρτάται από τις αδρανειακές ιδιότητες).
Κίνηση ενός υλικού σημείου ή σωματιδίου
Όταν εξετάζουμε πολλά προβλήματα κίνησης, το μέγεθος και το σχήμα ενός κινούμενου αντικειμένου συχνά δεν παίζουν σημαντικό ρόλο στη λύση τους. Σε αυτή την περίπτωση, εισάγεται μια από τις πιο συνηθισμένες προσεγγίσεις - το σώμα θεωρείται σωματίδιο ή υλικό σημείο. Είναι ένα αδιάστατο αντικείμενο, ολόκληρη η μάζα του οποίου είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο του σώματος. Αυτή η βολική προσέγγιση ισχύει όταν οι διαστάσεις του σώματος είναι πολύ μικρότερες από τις αποστάσεις που διανύει. Ένα ζωντανό παράδειγμα είναι η κίνηση ενός αυτοκινήτου μεταξύ πόλεων, η περιστροφή του πλανήτη μας στην τροχιά του.
Έτσι, η κατάσταση του υπό εξέταση σωματιδίου χαρακτηρίζεται από τη μάζα και την ταχύτητα της κίνησής του (σημειώστε ότι η ταχύτητα μπορεί να εξαρτάται από το χρόνο, δηλαδή να μην είναι σταθερή).
Ποια είναι η ορμή ενός σωματιδίου;
Συχνά αυτές οι λέξεις σημαίνουν το μέγεθος της κίνησης ενός υλικού σημείου, δηλαδή την τιμή p¯. Αυτό δεν είναι απολύτως σωστό. Ας δούμε αυτό το θέμα πιο αναλυτικά, για αυτό γράφουμε τον δεύτερο νόμο του Ισαάκ Νεύτωνα, που έχει ήδη ψηφιστεί στην 7η τάξη του σχολείου, έχουμε:
F¯=ma¯
Γνωρίζοντας ότι η επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής του v¯ στο χρόνο, μπορούμε να το ξαναγράψουμε ως εξής:
F¯=mdv¯/dt=> F¯dt=mdv¯
Αν η ενεργούσα δύναμη δεν αλλάζει με το χρόνο, τότε το διάστημα Δt θα είναι ίσο με:
F¯Δt=mΔv¯=Δp¯
Η αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης (F¯Δt) ονομάζεται ορμή της δύναμης, η δεξιά πλευρά (Δp¯) είναι η μεταβολή της ορμής. Εφόσον εξετάζεται η περίπτωση της κίνησης ενός υλικού σημείου, αυτή η έκφραση μπορεί να ονομαστεί τύπος για την ορμή ενός σωματιδίου. Δείχνει πόσο θα αλλάξει η συνολική ορμή του κατά τη διάρκεια του χρόνου Δt υπό την επίδραση της αντίστοιχης ώθησης δύναμης.
Στιγμή ορμής
Έχοντας ασχοληθεί με την έννοια της ορμής ενός σωματιδίου μάζας m για γραμμική κίνηση, ας προχωρήσουμε στην εξέταση ενός παρόμοιου χαρακτηριστικού για την κυκλική κίνηση. Εάν ένα υλικό σημείο, με ορμή p¯, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα O σε απόσταση r¯ από αυτό, τότε μπορεί να γραφεί η ακόλουθη παράσταση:
L¯=r¯p¯
Αυτή η έκφραση αντιπροσωπεύει τη γωνιακή ορμή του σωματιδίου, η οποία, όπως το p¯, είναι ένα διανυσματικό μέγεθος (το L¯ κατευθύνεται σύμφωνα με τον κανόνα της δεξιάς κάθετης στο επίπεδο που είναι κατασκευασμένο στα τμήματα r¯ και p¯).
Αν η ορμή p¯ χαρακτηρίζει την ένταση της γραμμικής μετατόπισης του σώματος, τότε το L¯ έχει παρόμοια φυσική σημασία μόνο για μια κυκλική τροχιά (περιστροφή γύρω απόάξονα).
Ο τύπος για τη γωνιακή ορμή ενός σωματιδίου, που γράφτηκε παραπάνω, σε αυτή τη μορφή δεν χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων. Μέσα από απλούς μαθηματικούς μετασχηματισμούς, μπορείτε να καταλήξετε στην ακόλουθη έκφραση:
L¯=Iω¯
Όπου ω¯ είναι η γωνιακή ταχύτητα, I είναι η ροπή αδράνειας. Αυτή η σημείωση είναι παρόμοια με αυτή για τη γραμμική ορμή ενός σωματιδίου (η αναλογία μεταξύ ω¯ και v¯ και μεταξύ I και m).
Νόμοι διατήρησης για p¯ και L¯
Στην τρίτη παράγραφο του άρθρου εισήχθη η έννοια της ώθησης μιας εξωτερικής δύναμης. Εάν τέτοιες δυνάμεις δεν δρουν στο σύστημα (είναι κλειστό και μόνο εσωτερικές δυνάμεις λαμβάνουν χώρα σε αυτό), τότε η συνολική ορμή των σωματιδίων που ανήκουν στο σύστημα παραμένει σταθερή, δηλαδή:
p¯=const
Σημειώστε ότι ως αποτέλεσμα εσωτερικών αλληλεπιδράσεων, κάθε συντεταγμένη ορμής διατηρείται:
px=συντ.; py=συνεχ.; pz=const
Συνήθως αυτός ο νόμος χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων με τη σύγκρουση άκαμπτων σωμάτων, όπως οι μπάλες. Είναι σημαντικό να γνωρίζετε ότι ανεξάρτητα από τη φύση της σύγκρουσης (απολύτως ελαστική ή πλαστική), η συνολική ποσότητα κίνησης θα παραμένει πάντα η ίδια πριν και μετά την πρόσκρουση.
Σχεδιάζοντας μια πλήρη αναλογία με τη γραμμική κίνηση ενός σημείου, γράφουμε τον νόμο διατήρησης για τη γωνιακή ορμή ως εξής:
L¯=συντ. ή I1ω1¯=I2ω2 ¯
Δηλαδή, οποιεσδήποτε εσωτερικές αλλαγές στη ροπή αδράνειας του συστήματος οδηγούν σε αναλογική μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας τουπεριστροφή.
Ίσως ένα από τα κοινά φαινόμενα που καταδεικνύει αυτόν τον νόμο είναι η περιστροφή του σκέιτερ στον πάγο, όταν ομαδοποιεί το σώμα του με διαφορετικούς τρόπους, αλλάζοντας τη γωνιακή του ταχύτητα.
Πρόβλημα σύγκρουσης δύο κολλωδών σφαιρών
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος της διατήρησης της γραμμικής ορμής των σωματιδίων που κινούνται το ένα προς το άλλο. Αφήστε αυτά τα σωματίδια να είναι μπάλες με κολλώδη επιφάνεια (σε αυτή την περίπτωση, η μπάλα μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο, αφού οι διαστάσεις της δεν επηρεάζουν τη λύση του προβλήματος). Έτσι, μια μπάλα κινείται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ με ταχύτητα 5 m/s, έχει μάζα 3 kg. Η δεύτερη μπάλα κινείται κατά μήκος της αρνητικής κατεύθυνσης του άξονα Χ, η ταχύτητα και η μάζα της είναι 2 m/s και 5 kg, αντίστοιχα. Είναι απαραίτητο να καθοριστεί σε ποια κατεύθυνση και με ποια ταχύτητα θα κινηθεί το σύστημα αφού οι μπάλες συγκρουστούν και κολλήσουν μεταξύ τους.
Η ορμή του συστήματος πριν από τη σύγκρουση καθορίζεται από τη διαφορά στην ορμή για κάθε μπάλα (η διαφορά λαμβάνεται επειδή τα σώματα κατευθύνονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις). Μετά τη σύγκρουση, η ορμή p¯ εκφράζεται μόνο από ένα σωματίδιο, η μάζα του οποίου είναι ίση με m1 + m2. Εφόσον οι μπάλες κινούνται μόνο κατά μήκος του άξονα Χ, έχουμε την έκφραση:
μ1v1 - m2v 2=(m1+m2)u
Όπου η άγνωστη ταχύτητα είναι από τον τύπο:
u=(m1v1 -m2v2)/(m1+m2)
Αντικαθιστώντας τα δεδομένα από τη συνθήκη, παίρνουμε την απάντηση: u=0, 625 m/s. Μια θετική τιμή ταχύτητας υποδηλώνει ότι το σύστημα θα κινηθεί προς την κατεύθυνση του άξονα Χ μετά την κρούση και όχι αντίθετα.
