Ξεχάσατε πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση;

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-09 16:31

Πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση; Είναι γνωστό ότι είναι μια συγκεκριμένη έκδοση της ισότητας θα είναι μηδέν - ταυτόχρονα ή χωριστά. Για παράδειγμα, c=o, v ≠ o ή αντίστροφα. Σχεδόν θυμηθήκαμε τον ορισμό μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Έλεγχος

Το τριώνυμο του δεύτερου βαθμού είναι ίσο με μηδέν. Ο πρώτος συντελεστής του a ≠ o, b και c μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε τιμές. Η τιμή της μεταβλητής x θα είναι τότε η ρίζα της εξίσωσης όταν, κατά την αντικατάσταση, τη μετατρέψει στη σωστή αριθμητική ισότητα. Ας σταθούμε στις πραγματικές ρίζες, αν και οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν επίσης να είναι λύσεις της εξίσωσης. Συνηθίζεται να ονομάζουμε μια εξίσωση ολοκληρωμένη εάν κανένας από τους συντελεστές δεν είναι ίσος με o, αλλά ≠ o, με ≠ o, c ≠ o.

Λύστε ένα παράδειγμα. 2x²-9x-5=ω, βρίσκουμε

D=81+40=121, D είναι θετικό, άρα υπάρχουν ρίζες, x1 _{=(9+√121):4=5 και το δεύτερο x}2 _{=(9-√121):4=-o, 5. Έλεγχος θα σας βοηθήσει να βεβαιωθείτε ότι είναι σωστά.}

Ακολουθεί μια βήμα προς βήμα λύση για την τετραγωνική εξίσωση

Μέσω του διαχωριστή, μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε εξίσωση, στην αριστερή πλευρά της οποίας υπάρχει ένα γνωστό τετράγωνο τριώνυμο με ≠ o. Στο παράδειγμά μας. 2x²-9x-5=0 (ax^2+σε+s=o)

• Πρώτα, βρείτε το διαχωριστικό D χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο στο2-4ac.
• Έλεγχος ποια θα είναι η τιμή του D: έχουμε περισσότερο από μηδέν, μπορεί να είναι ίσο με μηδέν ή μικρότερο.

• Γνωρίζουμε ότι εάν D › o, η τετραγωνική εξίσωση έχει μόνο 2 διαφορετικές πραγματικές ρίζες, συμβολίζονται με x₁ συνήθως και x₂, έτσι υπολογίστηκε:

  x₁=(-v+√D):(2a) και το δεύτερο: x _{2=(-σε-√D):(2a).}

• D=o - μία ρίζα, ή, λένε, δύο ίσες:

  x₁ ίσο με x_{2 και ισούται με -v:(2a).}

• Τέλος, D ‹ o σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Ας εξετάσουμε ποιες είναι οι ημιτελείς εξισώσεις του δεύτερου βαθμού

1. ax²+σε=ο. Ο ελεύθερος όρος, ο συντελεστής c στο x⁰, είναι μηδέν εδώ, στο ≠ o.

   Πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση αυτού του είδους; Ας βγάλουμε το x από αγκύλες. Θυμηθείτε όταν το γινόμενο δύο παραγόντων είναι μηδέν.

   x(ax+b)=o, αυτό μπορεί να είναι όταν x=o ή όταν ax+b=o.

   Επίλυση της 2ης γραμμικής εξίσωσης;

   x₂ =-b/a.

2. Τώρα ο συντελεστής του x είναι o και ο c δεν είναι ίσος (≠)o.

   x²+s=o. Ας μετακινηθούμε από τη δεξιά πλευρά της ισότητας, παίρνουμε x² =-с. Αυτή η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες μόνο όταν -c είναι θετικός αριθμός (c ‹ o), x₁ τότε ισούται με √(-c), αντίστοιχα x _{2 ― -√(-s). Διαφορετικά, η εξίσωση δεν έχει καθόλου ρίζες.}

3. Τελευταία επιλογή: b=c=o, δηλαδή ah2=o. Φυσικά, μια τόσο απλή εξίσωση έχει μία ρίζα, x=o.

Ειδικές περιπτώσεις

Εκτιμήθηκε πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση και τώρα θα πάρουμε οποιοδήποτε είδος.

Στην πλήρη τετραγωνική εξίσωση, ο δεύτερος συντελεστής του x είναι ένας ζυγός αριθμός.

Έστω k=o, 5b. Έχουμε τύπους για τον υπολογισμό του διαχωριστή και των ριζών.

D/4=k²-ac, οι ρίζες υπολογίζονται ως εξής x_{1, 2=(-k±√(D/4))/a για D › o.}x=-k/a για D=o.

Δεν υπάρχουν ρίζες για D ‹ o.

Υπάρχουν μειωμένες τετραγωνικές εξισώσεις, όταν ο συντελεστής του x στο τετράγωνο είναι 1, συνήθως γράφονται x² +px+ q=o. Όλοι οι παραπάνω τύποι ισχύουν για αυτούς, αλλά οι υπολογισμοί είναι κάπως απλούστεροι. +9, D=13.

x¹ =2+√13, x 2 ^=2-√13.

Εξάλλου, το θεώρημα του Βιέτα μπορεί εύκολα να εφαρμοστεί στα δεδομένα. Λέει ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι -p, ο δεύτερος συντελεστής με μείον (που σημαίνει το αντίθετο πρόσημο), και το γινόμενο αυτών των ίδιων ριζών θα είναι ίσο με q, τον ελεύθερο όρο. Δείτε πώςθα ήταν εύκολο να προσδιορίσουμε προφορικά τις ρίζες αυτής της εξίσωσης. Για μη μειωμένους (για όλους τους μη μηδενικούς συντελεστές), αυτό το θεώρημα ισχύει ως εξής: 1_x2 _ίσον/α.

Το άθροισμα του ελεύθερου όρου c και του πρώτου συντελεστή a είναι ίσο με τον συντελεστή b. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα (είναι εύκολο να αποδειχθεί), η πρώτη είναι απαραίτητα ίση με -1 και η δεύτερη - c / a, εάν υπάρχει. Πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση, μπορείτε να το ελέγξετε μόνοι σας. Πανεύκολος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι σε ορισμένες αναλογίες μεταξύ τους

• x²+x=o, 7x^2-7=ο.

• Το άθροισμα όλων των συντελεστών είναι o.

  Οι ρίζες μιας τέτοιας εξίσωσης είναι 1 και c/a. Παράδειγμα, 2x²-15x+13=o.

  x₁ =1, x_2=13/2.

Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι για την επίλυση διαφορετικών εξισώσεων δεύτερου βαθμού. Εδώ, για παράδειγμα, είναι μια μέθοδος για την εξαγωγή ενός πλήρους τετραγώνου από ένα δεδομένο πολυώνυμο. Υπάρχουν διάφοροι γραφικοί τρόποι. Όταν ασχολείσαι συχνά με τέτοια παραδείγματα, θα μάθεις να τα «κλικάρεις» σαν σπόροι, γιατί όλοι οι τρόποι σου έρχονται αυτόματα στο μυαλό.