Στο μάθημα της επιστήμης των υπολογιστών, ανεξαρτήτως σχολείου ή πανεπιστημίου, δίνεται ιδιαίτερη θέση σε μια τέτοια έννοια όπως τα συστήματα αριθμών. Κατά κανόνα, διατίθενται πολλά μαθήματα ή πρακτικές ασκήσεις για αυτό. Ο κύριος στόχος δεν είναι μόνο η εκμάθηση των βασικών εννοιών του θέματος, η μελέτη των τύπων συστημάτων αριθμών, αλλά και η εξοικείωση με τη δυαδική, οκταδική και δεκαεξαδική αριθμητική.
Τι σημαίνει αυτό;
Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό της βασικής έννοιας. Όπως σημειώνει το εγχειρίδιο Επιστήμης Υπολογιστών, ένα σύστημα αριθμών είναι ένα σύστημα γραφής αριθμών που χρησιμοποιεί ένα ειδικό αλφάβητο ή ένα συγκεκριμένο σύνολο αριθμών.
Ανάλογα με το αν η τιμή ενός ψηφίου αλλάζει από τη θέση του στον αριθμό, διακρίνονται δύο: τα συστήματα αριθμών θέσης και τα μη θέσεις.
Στα συστήματα θέσεων, η τιμή ενός ψηφίου αλλάζει ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό. Έτσι, αν πάρουμε τον αριθμό 234, τότε ο αριθμός 4 σε αυτόν σημαίνει μονάδες, αλλά αν λάβουμε υπόψη τον αριθμό 243, τότε εδώ θα σημαίνει ήδη δεκάδες, όχι μονάδες.
Σε συστήματα μη θέσηςη τιμή ενός ψηφίου είναι στατική, ανεξάρτητα από τη θέση του στον αριθμό. Το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα είναι το σύστημα stick, όπου κάθε μονάδα υποδεικνύεται με μια παύλα. Ανεξάρτητα από το πού εκχωρείτε το ραβδί, η τιμή του αριθμού θα αλλάξει μόνο κατά ένα.
Συστήματα μη θέσης
Συστήματα αριθμών μη θέσης περιλαμβάνουν:
- Ένα ενιαίο σύστημα, το οποίο θεωρείται ένα από τα πρώτα. Χρησιμοποιούσε μπαστούνια αντί για αριθμούς. Όσο περισσότεροι ήταν, τόσο μεγαλύτερη ήταν η αξία του αριθμού. Μπορείτε να συναντήσετε ένα παράδειγμα αριθμών γραμμένων με αυτόν τον τρόπο σε ταινίες όπου μιλάμε για ανθρώπους χαμένους στη θάλασσα, κρατούμενους που σημειώνουν κάθε μέρα με τη βοήθεια εγκοπών σε μια πέτρα ή δέντρο.
- Ρωμαϊκό, στο οποίο χρησιμοποιήθηκαν λατινικά γράμματα αντί για αριθμούς. Χρησιμοποιώντας τα, μπορείτε να γράψετε οποιοδήποτε αριθμό. Ταυτόχρονα, η τιμή του προσδιορίστηκε χρησιμοποιώντας το άθροισμα και τη διαφορά των ψηφίων που αποτελούσαν τον αριθμό. Αν υπήρχε μικρότερος αριθμός στα αριστερά του ψηφίου, τότε το αριστερό ψηφίο αφαιρέθηκε από το δεξί και αν το ψηφίο στα δεξιά ήταν μικρότερο ή ίσο με το ψηφίο στα αριστερά, τότε οι τιμές τους αθροίζονταν πάνω. Για παράδειγμα, ο αριθμός 11 γράφτηκε ως XI και ο αριθμός 9 ως IX.
- Αλφαβητικό, στο οποίο οι αριθμοί σημειώνονταν χρησιμοποιώντας το αλφάβητο μιας συγκεκριμένης γλώσσας. Ένα από αυτά είναι το σλαβικό σύστημα, στο οποίο ένας αριθμός γραμμάτων είχε όχι μόνο φωνητική, αλλά και αριθμητική αξία.
- Βαβυλωνιακό αριθμητικό σύστημα, το οποίο χρησιμοποιούσε μόνο δύο σύμβολα για τη γραφή - σφήνες και βέλη.
- Η Αίγυπτος χρησιμοποίησε επίσης ειδικούς χαρακτήρες για την αναπαράσταση αριθμών. Όταν γράφετε έναν αριθμό, κάθε χαρακτήρας μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι περισσότερες από εννέα φορές.
Συστήματα θέσης
Δίνεται μεγάλη προσοχή στην επιστήμη των υπολογιστών στα συστήματα αριθμών θέσης. Αυτά περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:
- δυαδικό;
- octal;
- δεκαδικό;
- δεκαεξαδικό;
- δεκαεξαδικό, χρησιμοποιείται κατά τη μέτρηση του χρόνου (για παράδειγμα, σε ένα λεπτό - 60 δευτερόλεπτα, σε μια ώρα - 60 λεπτά).
Καθένα από αυτά έχει το δικό του αλφάβητο για τη γραφή, τους κανόνες μετάφρασης και τις αριθμητικές πράξεις.
Δεκαδικό σύστημα
Αυτό το σύστημα είναι το πιο οικείο σε εμάς. Χρησιμοποιεί αριθμούς από το 0 έως το 9 για να γράψει αριθμούς. Λέγονται και αραβικά. Ανάλογα με τη θέση του ψηφίου στον αριθμό, μπορεί να υποδηλώνει διαφορετικά ψηφία - μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες ή εκατομμύρια. Το χρησιμοποιούμε παντού, γνωρίζουμε τους βασικούς κανόνες με τους οποίους εκτελούνται αριθμητικές πράξεις στους αριθμούς.
Δυαδικό σύστημα
Ένα από τα κύρια συστήματα αριθμών στην επιστήμη των υπολογιστών είναι το δυαδικό. Η απλότητά του επιτρέπει στον υπολογιστή να εκτελεί περίπλοκους υπολογισμούς πολλές φορές πιο γρήγορα από ό,τι στο δεκαδικό σύστημα.
Για την εγγραφή αριθμών, χρησιμοποιούνται μόνο δύο ψηφία - 0 και 1. Ταυτόχρονα, ανάλογα με τη θέση του 0 ή του 1 στον αριθμό, η τιμή του θα αλλάξει.
Αρχικά, με τη βοήθεια δυαδικού κώδικα οι υπολογιστές έλαβαν όλες τις απαραίτητες πληροφορίες. Ταυτόχρονα, το ένα σήμαινε την παρουσία ενός σήματος που εκπέμπεται με χρήση τάσης και το μηδέν σήμαινε την απουσία του.
Οκτώβριοσύστημα
Ένα άλλο γνωστό σύστημα αριθμών υπολογιστή στο οποίο χρησιμοποιούνται αριθμοί από το 0 έως το 7. Χρησιμοποιήθηκε κυρίως σε εκείνους τους τομείς γνώσης που σχετίζονται με ψηφιακές συσκευές. Αλλά πρόσφατα χρησιμοποιείται πολύ λιγότερο συχνά, καθώς έχει αντικατασταθεί από το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
BCD
Η αναπαράσταση μεγάλων αριθμών στο δυαδικό σύστημα για ένα άτομο είναι μια αρκετά περίπλοκη διαδικασία. Για να το απλοποιήσουμε, αναπτύχθηκε ένα δυαδικό-δεκαδικό σύστημα αριθμών. Συνήθως χρησιμοποιείται σε ηλεκτρονικά ρολόγια, αριθμομηχανές. Σε αυτό το σύστημα, δεν μετατρέπεται ολόκληρος ο αριθμός από το δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό, αλλά κάθε ψηφίο μεταφράζεται στο αντίστοιχο σύνολο μηδενικών και μονάδων στο δυαδικό σύστημα. Το ίδιο ισχύει και για τη μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό. Κάθε ψηφίο, που αντιπροσωπεύεται ως τετραψήφιο σύνολο μηδενικών και μονάδων, μεταφράζεται σε ένα ψηφίο στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Κατ 'αρχήν, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο.
Για να εργαστείτε με αριθμούς, σε αυτήν την περίπτωση, είναι χρήσιμος ένας πίνακας συστημάτων αριθμών, ο οποίος θα υποδεικνύει την αντιστοιχία μεταξύ των αριθμών και του δυαδικού τους κωδικού.
δεκαεξαδικό
Πρόσφατα, το σύστημα δεκαεξαδικών αριθμών γίνεται όλο και πιο δημοφιλές στον προγραμματισμό και την επιστήμη των υπολογιστών. Χρησιμοποιεί όχι μόνο αριθμούς από το 0 έως το 9, αλλά και έναν αριθμό λατινικών γραμμάτων - A, B, C, D, E, F.
Ταυτόχρονα, κάθε ένα από τα γράμματα έχει τη δική του σημασία, άρα A=10, B=11, C=12 και ούτω καθεξής. Κάθε αριθμός αντιπροσωπεύεται ως ένα σύνολο τεσσάρων χαρακτήρων:001F.
Μετατροπή αριθμού: από δεκαδικό σε δυαδικό
Η μετάφραση στα συστήματα αριθμών γίνεται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Η πιο συνηθισμένη μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό και αντίστροφα.
Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαδικό σε δυαδικό, είναι απαραίτητο να τον διαιρέσετε με συνέπεια με τη βάση του συστήματος αριθμών, δηλαδή τον αριθμό δύο. Σε αυτή την περίπτωση, το υπόλοιπο κάθε διαίρεσης πρέπει να καθοριστεί. Αυτό θα συνεχιστεί έως ότου το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι μικρότερο ή ίσο με ένα. Είναι καλύτερο να κάνετε τους υπολογισμούς σε μια στήλη. Στη συνέχεια, τα ληφθέντα υπόλοιπα από τη διαίρεση γράφονται στη συμβολοσειρά με αντίστροφη σειρά.
Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε τον αριθμό 9 σε δυαδικό:
Διαιρούμε το 9, αφού ο αριθμός δεν διαιρείται ομοιόμορφα, τότε παίρνουμε τον αριθμό 8, το υπόλοιπο θα είναι 9 - 1=1.
Αφού διαιρέσουμε το 8 με το 2, παίρνουμε 4. Διαιρέστε το ξανά, αφού ο αριθμός είναι ομοιόμορφα διαιρετός - παίρνουμε το υπόλοιπο 4 - 4=0.
Εκτελέστε την ίδια λειτουργία με το 2. Το υπόλοιπο είναι 0.
Σαν αποτέλεσμα της διαίρεσης, παίρνουμε 1.
Στη συνέχεια, σημειώνουμε όλα τα υπόλοιπα που λάβαμε με αντίστροφη σειρά, ξεκινώντας από το σύνολο της διαίρεσης: 1001.
Ανεξάρτητα από το τελικό σύστημα αριθμών, η μετατροπή των αριθμών από δεκαδικό σε οποιοδήποτε άλλο θα γίνει σύμφωνα με την αρχή της διαίρεσης του αριθμού με τη βάση του συστήματος θέσεων.
Μετάφραση αριθμών: από δυαδικό σε δεκαδικό
Είναι πολύ εύκολο να μετατρέψετε αριθμούς σε δεκαδικό από δυαδικό. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζουμε τους κανόνες για την αύξηση των αριθμών σε μια δύναμη. Σε αυτόπερίπτωση, σε δύναμη δύο.
Ο αλγόριθμος μετάφρασης έχει ως εξής: κάθε ψηφίο από τον κωδικό δυαδικού αριθμού πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί δύο και τα δύο πρώτα θα έχουν την ισχύ του m-1, το δεύτερο - m-2 και ούτω καθεξής, όπου m είναι ο αριθμός των ψηφίων στον κωδικό. Στη συνέχεια, προσθέστε τα αποτελέσματα της πρόσθεσης, παίρνοντας έναν ακέραιο αριθμό.
Για τους μαθητές, αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να εξηγηθεί πιο απλά:
Για αρχή, παίρνουμε και σημειώνουμε κάθε ψηφίο πολλαπλασιασμένο επί δύο και, στη συνέχεια, ρίχνουμε τη δύναμη του δύο από το τέλος, ξεκινώντας από το μηδέν. Στη συνέχεια, προσθέστε τον αριθμό που προκύπτει.
Για παράδειγμα, ας ρίξουμε μια ματιά στον αριθμό 1001 που λάβαμε προηγουμένως, μετατρέποντάς τον στο δεκαδικό σύστημα και ταυτόχρονα ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών μας.
Θα μοιάζει με αυτό:
123 + 022+021+ 120=8+0+0+1=9.
Όταν μελετάτε αυτό το θέμα, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε έναν πίνακα με δυνάμεις δύο. Αυτό θα μειώσει σημαντικά τον χρόνο που απαιτείται για την ολοκλήρωση των υπολογισμών.
Άλλες μεταφράσεις
Σε ορισμένες περιπτώσεις, η μετάφραση μπορεί να πραγματοποιηθεί μεταξύ δυαδικού και οκταδικού, δυαδικού και δεκαεξαδικού. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ειδικούς πίνακες ή να εκτελέσετε την εφαρμογή αριθμομηχανής στον υπολογιστή σας επιλέγοντας την επιλογή "Προγραμματιστής" στην καρτέλα Προβολή.
Αριθμητικές πράξεις
Ανεξάρτητα από τη μορφή με την οποία παρουσιάζεται ένας αριθμός, είναι δυνατό να πραγματοποιηθούν οι συνήθεις υπολογισμοί με αυτόν. Αυτό μπορεί να είναι διαίρεση και πολλαπλασιασμός, αφαίρεση και πρόσθεση στο σύστημα αριθμών,που έχετε επιλέξει. Φυσικά, καθένα από αυτά έχει τους δικούς του κανόνες.
Έτσι για το δυαδικό σύστημα ανέπτυξε τους δικούς του πίνακες για κάθε μία από τις πράξεις. Οι ίδιοι πίνακες χρησιμοποιούνται σε άλλα συστήματα θέσης.
Δεν χρειάζεται να τα απομνημονεύσετε - απλώς εκτυπώστε τα και έχετε τα χέρια σας. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή στον υπολογιστή σας.
Ένα από τα πιο σημαντικά θέματα στην επιστήμη των υπολογιστών είναι το σύστημα αριθμών. Η γνώση αυτού του θέματος, η κατανόηση των αλγορίθμων για τη μεταφορά αριθμών από το ένα σύστημα στο άλλο αποτελεί εγγύηση ότι θα μπορείτε να κατανοήσετε πιο σύνθετα θέματα, όπως ο αλγόριθμος και ο προγραμματισμός, και θα μπορείτε να γράψετε μόνοι σας το πρώτο σας πρόγραμμα.
