Στα μαθηματικά, υπάρχει η έννοια του "συνόλου", καθώς και παραδείγματα σύγκρισης αυτών των ίδιων συνόλων μεταξύ τους. Τα ονόματα των τύπων σύγκρισης σετ είναι οι ακόλουθες λέξεις: bijection, injection, surjection. Καθένα από αυτά περιγράφεται με περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω.
Μια διχογνωμία είναι… τι είναι;
Μία ομάδα στοιχείων του πρώτου σετ αντιστοιχίζεται με τη δεύτερη ομάδα στοιχείων από το δεύτερο σετ με αυτή τη μορφή: κάθε ένα στοιχείο της πρώτης ομάδας αντιστοιχίζεται απευθείας με ένα άλλο στοιχείο της δεύτερης ομάδας, και εκεί δεν υπάρχει κατάσταση με έλλειψη ή απαρίθμηση στοιχείων οποιουδήποτε ή από δύο ομάδες συνόλων.
Διατύπωση των κύριων ιδιοτήτων:
- Ένα στοιχείο προς ένα.
- Δεν υπάρχουν επιπλέον στοιχεία κατά την αντιστοίχιση και η πρώτη ιδιότητα διατηρείται.
- Είναι δυνατή η αντιστροφή της αντιστοίχισης διατηρώντας τη γενική προβολή.
- Η διχοτόμηση είναι μια συνάρτηση που είναι ταυτόχρονα ενεστιακή και επιθετική.
Διεκτίμηση από την επιστημονική άποψη
Οι διπλές συναρτήσεις είναι ακριβώς ισομορφισμοί στην κατηγορία "σύνολο και σύνολο συναρτήσεων". Ωστόσο, οι bijections δεν είναι πάντα ισομορφισμοί για πιο σύνθετες κατηγορίες. Για παράδειγμα, σε μια συγκεκριμένη κατηγορία ομάδων, οι μορφισμοί πρέπει να είναι ομομορφισμοί, αφού πρέπει να διατηρούν τη δομή της ομάδας. Επομένως, οι ισομορφισμοί είναι ομαδικοί ισομορφισμοί, οι οποίοι είναι διπλοί ομομορφισμοί.
Η έννοια της «αντιστοιχίας ένα προς ένα» γενικεύεται σε μερικές συναρτήσεις, όπου ονομάζονται μερικές διοχετεύσεις, αν και μια μερική διχοτόμηση είναι αυτό που θα έπρεπε να είναι μια ένεση. Ο λόγος για αυτή τη χαλάρωση είναι ότι η μερική (κατάλληλη) συνάρτηση δεν ορίζεται πλέον για μέρος του τομέα της. Επομένως, δεν υπάρχει κανένας καλός λόγος να περιοριστεί η αντίστροφη συνάρτησή του σε μια πλήρη, δηλ. να ορίζεται παντού στον τομέα του. Το σύνολο όλων των μερικών διοχετεύσεων σε ένα δεδομένο σύνολο βάσης ονομάζεται συμμετρική αντίστροφη ημιομάδα.
Ένας άλλος τρόπος ορισμού της ίδιας έννοιας: αξίζει να πούμε ότι μια μερική διχοτόμηση συνόλων από το Α στο Β είναι οποιαδήποτε σχέση R (μερική συνάρτηση) με την ιδιότητα ότι το R είναι ένα γράφημα διοχέτευσης f:A'→B 'όπου Α' είναι υποσύνολο του Α και Β' είναι υποσύνολο του Β.
Όταν μια μερική διχοτόμηση βρίσκεται στο ίδιο σύνολο, μερικές φορές ονομάζεται μερικός μετασχηματισμός ένα προς ένα. Ένα παράδειγμα είναι ο μετασχηματισμός Möbius που μόλις ορίστηκε στο μιγαδικό επίπεδο, όχι η ολοκλήρωσή του στο εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο.
Ένεση
Μία ομάδα στοιχείων του πρώτου σετ αντιστοιχίζεται με τη δεύτερη ομάδα στοιχείων από το δεύτερο σετ με αυτή τη μορφή: κάθε στοιχείο της πρώτης ομάδας αντιστοιχίζεται με ένα άλλο στοιχείο του δεύτερου, αλλά όχι όλα μετατρέπονται σε ζεύγη. Ο αριθμός των μη ζευγοποιημένων στοιχείων εξαρτάται από τη διαφορά στον αριθμό αυτών των ίδιων στοιχείων σε καθένα από τα σύνολα: εάν το ένα σύνολο αποτελείται από τριάντα ένα στοιχεία και το άλλο έχει άλλα επτά, τότε ο αριθμός των μη συζευγμένων στοιχείων είναι επτά. Κατευθυνόμενη ένεση στο σετ. Η έγχυση και η ένεση είναι παρόμοια, αλλά τίποτα περισσότερο από παρόμοια.
Surjection
Μία ομάδα στοιχείων του πρώτου σετ αντιστοιχίζεται με τη δεύτερη ομάδα στοιχείων από το δεύτερο σετ με αυτόν τον τρόπο: κάθε στοιχείο οποιασδήποτε ομάδας σχηματίζει ένα ζεύγος, ακόμα κι αν υπάρχει διαφορά μεταξύ του αριθμού των στοιχείων. Επομένως, ένα στοιχείο από μια ομάδα μπορεί να ζευγαρώσει με πολλά στοιχεία από μια άλλη ομάδα.
Ούτε διχοτομική, ούτε ενεστιακή, ούτε επιφανειακή συνάρτηση
Αυτή είναι μια συνάρτηση διχοτομικής και επιφανειακής μορφής, αλλά με υπόλοιπο (μη ζευγαρωμένη)=> ένεση. Σε μια τέτοια συνάρτηση, υπάρχει ξεκάθαρα μια σύνδεση μεταξύ bijection και surjection, αφού περιλαμβάνει άμεσα αυτούς τους δύο τύπους συγκρίσεων συνόλων. Έτσι, το σύνολο όλων των ειδών αυτών των συναρτήσεων δεν είναι ένα από αυτά μεμονωμένα.
Επεξήγηση όλων των ειδών συναρτήσεων
Για παράδειγμα, ο παρατηρητής γοητεύεται από τα ακόλουθα. Γίνονται αγώνες τοξοβολίας. Καθένα απόΟι συμμετέχοντες θέλουν να χτυπήσουν τον στόχο (για να διευκολυνθεί η εργασία: δεν λαμβάνεται υπόψη ακριβώς το σημείο που χτυπά το βέλος). Μόνο τρεις συμμετέχοντες και τρεις στόχοι - αυτός είναι ο πρώτος ιστότοπος (site) για το τουρνουά. Στις επόμενες ενότητες, ο αριθμός των τοξότων διατηρείται, αλλά ο αριθμός των στόχων αλλάζει: στον δεύτερο - τέσσερις στόχους, στον επόμενο - επίσης τέσσερις και στον τέταρτο - πέντε. Κάθε συμμετέχων πυροβολεί σε κάθε στόχο.
- Ο πρώτος χώρος για το τουρνουά. Ο πρώτος τοξότης χτυπά μόνο έναν στόχο. Ο δεύτερος χτυπά μόνο έναν στόχο. Ο τρίτος επαναλαμβάνεται μετά τους άλλους και όλοι οι τοξότες χτυπούν διαφορετικούς στόχους: αυτούς που βρίσκονται απέναντί τους. Ως αποτέλεσμα, 1 (ο πρώτος τοξότης) χτύπησε τον στόχο (α), 2 - σε (β), 3 - σε (γ). Παρατηρείται η εξής εξάρτηση: 1 – (α), 2 – (β), 3 – (γ). Το συμπέρασμα θα είναι η κρίση ότι μια τέτοια σύγκριση συνόλων είναι διχογνωμία.
- Η δεύτερη πλατφόρμα για το τουρνουά. Ο πρώτος τοξότης χτυπά μόνο έναν στόχο. Ο δεύτερος χτυπά επίσης μόνο έναν στόχο. Ο τρίτος δεν προσπαθεί πραγματικά και επαναλαμβάνει τα πάντα μετά τους άλλους, αλλά η κατάσταση είναι η ίδια - όλοι οι τοξότες χτυπούν διαφορετικούς στόχους. Όμως, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, υπάρχουν ήδη τέσσερις στόχοι στη δεύτερη πλατφόρμα. Εξάρτηση: 1 - (α), 2 - (β), 3 - (γ), (δ) - μη ζευγαρωμένο στοιχείο του συνόλου. Σε αυτήν την περίπτωση, το συμπέρασμα θα είναι η κρίση ότι μια τέτοια σύγκριση συνόλου είναι μια ένεση.
- Ο τρίτος χώρος για το τουρνουά. Ο πρώτος τοξότης χτυπά μόνο έναν στόχο. Ο δεύτερος χτυπά μόνο έναν στόχο ξανά. Ο τρίτος αποφασίζει να μαζευτεί και χτυπά τον τρίτο και τον τέταρτο στόχο. Ως αποτέλεσμα, η εξάρτηση: 1 -(α), 2 - (β), 3 - (γ), 3 - (δ). Εδώ, το συμπέρασμα θα είναι η κρίση ότι μια τέτοια σύγκριση συνόλων είναι μια υπόθεση.
- Η τέταρτη πλατφόρμα για το τουρνουά. Με το πρώτο, όλα είναι ήδη ξεκάθαρα, χτυπά μόνο έναν στόχο, στον οποίο σύντομα δεν θα υπάρχει χώρος για ήδη βαρετά χτυπήματα. Τώρα ο δεύτερος αναλαμβάνει τον ρόλο του ακόμα πρόσφατου τρίτου και ξαναχτυπά μόνο έναν στόχο, επαναλαμβάνοντας μετά τον πρώτο. Ο τρίτος συνεχίζει να ελέγχει τον εαυτό του και δεν σταματάει να εισάγει το βέλος του στον τρίτο και τον τέταρτο στόχο. Το πέμπτο, ωστόσο, ήταν ακόμα πέρα από τον έλεγχό του. Άρα, εξάρτηση: 1 - (α), 2 - (β), 3 - (γ), 3 - (δ), (ε) - μη ζευγαρωμένο στοιχείο του συνόλου στόχων. Συμπέρασμα: μια τέτοια σύγκριση σετ δεν είναι εγκεφαλική επέμβαση, δεν είναι έγχυση και δεν είναι διχασμός.
Τώρα η κατασκευή διχοτόμησης, ένεσης ή εγχείρισης δεν θα είναι πρόβλημα, καθώς και η εύρεση διαφορών μεταξύ τους.
