Τι είναι ο λογάριθμος (lg)

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Στα μαθηματικά, ο λογάριθμος είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης. Αυτό σημαίνει ότι ο λογάριθμος του lg είναι η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός b για να ληφθεί x ως αποτέλεσμα. Στην απλούστερη περίπτωση, λαμβάνει υπόψη τον επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό της ίδιας τιμής.

Σκεφτείτε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

1000=10 × 10 × 10=103

Σε αυτήν την περίπτωση, είναι ο λογάριθμος βάσης δέκα του lg. Είναι ίσο με τρία.

lg_101000=3

Γενικά, η έκφραση θα μοιάζει με αυτό:

lg_bx=a

Η εκθετικότητα επιτρέπει σε οποιονδήποτε θετικό πραγματικό αριθμό να αυξηθεί σε οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Το αποτέλεσμα θα είναι πάντα μεγαλύτερο από το μηδέν. Επομένως, ο λογάριθμος για οποιουσδήποτε δύο θετικούς πραγματικούς αριθμούς b και x, όπου το b δεν είναι ίσο με 1, είναι πάντα ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός a. Επιπλέον, ορίζει τη σχέση μεταξύ εκθέσεως και λογάριθμου:

lg_bx=a if b^a=x.

Ιστορία

Η ιστορία του λογαρίθμου (lg) ξεκινά στην Ευρώπη τον δέκατο έβδομο αιώνα. Αυτό είναι το άνοιγμα μιας νέας δυνατότηταςεπέκτεινε το πεδίο της ανάλυσης πέρα από τις αλγεβρικές μεθόδους. Η μέθοδος των λογαρίθμων προτάθηκε δημόσια από τον John Napier το 1614 σε ένα βιβλίο που ονομάζεται Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ("Περιγραφή των αξιοσημείωτων κανόνων των λογαρίθμων"). Πριν από την εφεύρεση του επιστήμονα, υπήρχαν άλλες μέθοδοι σε παρόμοιες περιοχές, όπως η χρήση πινάκων προόδου που αναπτύχθηκαν από τον Jost Bürggi γύρω στο 1600.

Ο δεκαδικός λογάριθμος lg είναι ο λογάριθμος με βάση το δέκα. Για πρώτη φορά, χρησιμοποιήθηκαν πραγματικοί λογάριθμοι με ευρετικές μεθόδους για τη μετατροπή του πολλαπλασιασμού σε πρόσθεση, διευκολύνοντας τον γρήγορο υπολογισμό. Ορισμένες από αυτές τις μεθόδους χρησιμοποιούσαν πίνακες που προέρχονται από τριγωνομετρικές ταυτότητες.

Η ανακάλυψη της συνάρτησης που τώρα είναι γνωστή ως λογάριθμος (lg) αποδίδεται στον Γρηγόρη ντε Σεντ Βικέντιο, έναν Βέλγο που ζει στην Πράγα, ο οποίος προσπαθούσε να στοιχειοθετήσει μια ορθογώνια υπερβολή.

Χρήση

Οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται συχνά εκτός των μαθηματικών. Μερικές από αυτές τις περιπτώσεις σχετίζονται με την έννοια της αμετάβλητης κλίμακας. Για παράδειγμα, κάθε θάλαμος του κελύφους του ναυτίλου είναι ένα κατά προσέγγιση αντίγραφο του επόμενου, σμικρύνεται ή μεγεθύνεται κατά έναν ορισμένο αριθμό φορές. Αυτό ονομάζεται λογαριθμική σπείρα.

Οι διαστάσεις των αυτοκατασκευασμένων γεωμετριών, τμήματα των οποίων μοιάζουν με το τελικό προϊόν, βασίζονται επίσης σε λογάριθμους. Οι λογαριθμικές κλίμακες είναι χρήσιμες για τον ποσοτικό προσδιορισμό της σχετικής μεταβολήςαξίες. Επιπλέον, καθώς η συνάρτηση log_{bx αναπτύσσεται πολύ αργά στο μεγάλο x, χρησιμοποιούνται λογαριθμικές κλίμακες για τη συμπίεση επιστημονικών δεδομένων μεγάλης κλίμακας. Οι λογάριθμοι εμφανίζονται επίσης σε πολλούς επιστημονικούς τύπους όπως η εξίσωση Fenske ή η εξίσωση Nernst.}

Υπολογισμός

Μερικοί λογάριθμοι μπορούν να υπολογιστούν εύκολα, για παράδειγμα log_{101000=3. Γενικά, μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας σειρές ισχύος ή τον αριθμητικό-γεωμετρικό μέσο όρο ή να εξαχθούν από ένας προ-υπολογισμένος πίνακας λογαρίθμων, ο οποίος έχει υψηλή ακρίβεια.}

Η επαναληπτική μέθοδος του Newton για την επίλυση εξισώσεων μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της τιμής του λογάριθμου. Δεδομένου ότι η αντίστροφη συνάρτηση για το λογαριθμικό είναι εκθετική, η διαδικασία υπολογισμού είναι πολύ απλοποιημένη.