Συναντάμε κλάσματα στη ζωή πολύ νωρίτερα από ό,τι αρχίζουν να σπουδάζουν στο σχολείο. Εάν κόψετε ένα ολόκληρο μήλο στη μέση, τότε παίρνουμε ένα μέρος του φρούτου - ½. Κόψτε το ξανά - θα είναι ¼. Αυτά είναι τα κλάσματα. Και όλα, όπως φαίνεται, είναι απλά. Για ενήλικα. Για ένα παιδί (και αρχίζει να μελετά αυτό το θέμα στο τέλος του δημοτικού σχολείου), οι αφηρημένες μαθηματικές έννοιες εξακολουθούν να είναι τρομακτικά ακατανόητες και ο δάσκαλος πρέπει να εξηγήσει με προσιτό τρόπο τι είναι σωστό κλάσμα και ακατάλληλο, συνηθισμένο και δεκαδικό, ποιες πράξεις μπορεί να εκτελεστεί με αυτά και, το πιο σημαντικό, γιατί χρειάζονται όλα αυτά.
Τι είναι τα κλάσματα
Εισαγωγή σε ένα νέο θέμα στο σχολείο ξεκινά με συνηθισμένα κλάσματα. Είναι εύκολο να αναγνωριστούν από την οριζόντια γραμμή που χωρίζει τους δύο αριθμούς - πάνω και κάτω. Το πάνω λέγεται αριθμητής, το κάτω λέγεται παρονομαστής. Υπάρχει επίσης μια πεζή έκδοση της γραφής ακατάλληλων και κανονικών συνηθισμένων κλασμάτων - μέσω κάθετου, για παράδειγμα: ½, 4/9, 384/183. Αυτή η επιλογή χρησιμοποιείται όταν το ύψος της γραμμής είναι περιορισμένο και δεν είναι δυνατή η εφαρμογή της φόρμας "διώροφης" της καταχώρισης. Γιατί; Ναι, γιατί είναι πιο βολικό. Λίγο αργότερα εμείςθα βεβαιωθούμε για αυτό.
Εκτός από τα συνηθισμένα κλάσματα, υπάρχουν και δεκαδικά κλάσματα. Είναι πολύ εύκολο να γίνει διάκριση μεταξύ τους: εάν σε μια περίπτωση χρησιμοποιείται οριζόντια ή κάθετο, τότε στην άλλη - ένα κόμμα που χωρίζει αλληλουχίες αριθμών. Ας δούμε ένα παράδειγμα: 2, 9; 163, 34; 1, 953. Χρησιμοποιήσαμε σκόπιμα ένα ερωτηματικό ως διαχωριστικό για να οριοθετήσουμε τους αριθμούς. Το πρώτο από αυτά θα έχει ως εξής: "δύο ολόκληρα, εννέα δέκατα."
Νέες ιδέες
Ας επιστρέψουμε στα συνηθισμένα κλάσματα. Κυκλοφορούν σε δύο ποικιλίες.
Ο ορισμός ενός σωστού κλάσματος είναι ο εξής: είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Γιατί είναι σημαντικό? Θα δούμε τώρα!
Έχετε μερικά μήλα κομμένα στη μέση. Συνολικά - 5 μέρη. Πώς λέτε: έχετε «δυόμισι» ή «πεντά δευτερόλεπτα» μήλα; Φυσικά, η πρώτη επιλογή ακούγεται πιο φυσική και όταν μιλάμε με φίλους, θα τη χρησιμοποιήσουμε. Αλλά αν χρειαστεί να υπολογίσετε πόσα φρούτα θα πάρει ο καθένας, εάν υπάρχουν πέντε άτομα στην εταιρεία, θα γράψουμε τον αριθμό 5/2 και θα τον διαιρέσουμε με το 5 - από την άποψη των μαθηματικών, αυτό θα είναι πιο σαφές.
Λοιπόν, για την ονομασία των κατάλληλων και ακατάλληλων κλασμάτων, ο κανόνας είναι ο εξής: αν ένα κλάσμα μπορεί να έχει ακέραιο μέρος (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), τότε είναι λάθος. Εάν αυτό δεν μπορεί να γίνει, όπως στην περίπτωση των ½, 13/16, 9/10, θα είναι σωστό.
Βασική ιδιότητα ενός κλάσματος
Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ταυτόχρονα ήδιαιρούμενο με τον ίδιο αριθμό, η τιμή του δεν αλλάζει. Φανταστείτε: το κέικ κόπηκε σε 4 ίσα μέρη και σας έδωσαν ένα. Το ίδιο κέικ κόπηκε σε οκτώ κομμάτια και σας έδωσαν δύο. Δεν είναι όλα ίδια; Τελικά, το ¼ και το 2/8 είναι το ίδιο πράγμα!
Συντομογραφία
Οι συγγραφείς προβλημάτων και παραδειγμάτων σε σχολικά βιβλία μαθηματικών προσπαθούν συχνά να μπερδέψουν τους μαθητές προσφέροντας δυσκίνητα κλάσματα που μπορούν πραγματικά να μειωθούν. Εδώ είναι ένα παράδειγμα ενός σωστού κλάσματος: 167/334, το οποίο, όπως φαίνεται, φαίνεται πολύ "τρομακτικό". Αλλά στην πραγματικότητα, μπορούμε να το γράψουμε ως ½. Ο αριθμός 334 διαιρείται με το 167 χωρίς υπόλοιπο - έχοντας κάνει αυτήν την πράξη, παίρνουμε 2.
Μικτές αριθμοί
Ένα ακατάλληλο κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μικτός αριθμός. Αυτό συμβαίνει όταν ολόκληρο το τμήμα φέρεται προς τα εμπρός και γράφεται στο επίπεδο της οριζόντιας γραμμής. Στην πραγματικότητα, η έκφραση έχει τη μορφή αθροίσματος: 11/2=5 + ½; 13/6=2 + 1/6 και ούτω καθεξής.
Για να αφαιρέσετε ολόκληρο το μέρος, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Γράψτε το υπόλοιπο της διαίρεσης πάνω, πάνω από τη γραμμή, και ολόκληρο το μέρος πριν από την έκφραση. Έτσι, παίρνουμε δύο δομικά μέρη: ολόκληρες μονάδες + σωστό κλάσμα.
Μπορείτε επίσης να εκτελέσετε την αντίστροφη λειτουργία - για αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσετε το ακέραιο μέρος με τον παρονομαστή και να προσθέσετε την τιμή που προκύπτει στον αριθμητή. Τίποτα περίπλοκο.
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση
Περίεργα, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων είναι ευκολότερος από την πρόσθεσή τους. Το μόνο που απαιτείται είναι να επεκταθεί η οριζόντια γραμμή: (2/3)(3/5)=23 / 35=2/5.
Η διαίρεση είναι επίσης το παναπλό: πρέπει να πολλαπλασιάσετε σταυρωτά τα κλάσματα: (7/8) / (14/15)=715 / 814=15/16.
Προσθήκη κλασμάτων
Τι να κάνετε εάν χρειάζεται να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα και έχουν διαφορετικούς αριθμούς στον παρονομαστή; Δεν θα λειτουργήσει με τον ίδιο τρόπο όπως με τον πολλαπλασιασμό - εδώ πρέπει να κατανοήσουμε τον ορισμό ενός σωστού κλάσματος και την ουσία του. Είναι απαραίτητο να μειωθούν οι όροι σε έναν κοινό παρονομαστή, δηλαδή, το κάτω μέρος και των δύο κλασμάτων πρέπει να έχει τους ίδιους αριθμούς.
Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος: πολλαπλασιάστε και τα δύο μέρη με τον ίδιο αριθμό. Για παράδειγμα, 2/5 + 1/10=(22)/(52) + 1/10=5/10=½.
Πώς να επιλέξετε σε ποιον παρονομαστή να φέρετε τους όρους; Αυτό πρέπει να είναι το μικρότερο πολλαπλάσιο και των δύο παρονομαστών: για το 1/3 και το 1/9 θα είναι 9. για ½ και 1/7 - 14, επειδή δεν υπάρχει μικρότερη τιμή που να μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με το 2 και το 7.
Χρήση
Τι χρησιμεύουν τα ακατάλληλα κλάσματα; Μετά από όλα, είναι πολύ πιο βολικό να επιλέξετε αμέσως ολόκληρο το μέρος, να πάρετε έναν μικτό αριθμό - και αυτό είναι! Αποδεικνύεται ότι εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε ή να διαιρέσετε δύο κλάσματα, είναι πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε τα λάθος.
Πάρτε το ακόλουθο παράδειγμα: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Φαίνεται ότι δεν υπάρχει τίποτα να κόψετε καθόλου. Τι γίνεται όμως αν γράψουμε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης στις πρώτες αγκύλες ως ακατάλληλο κλάσμα; Δείτε: (37/17) / (37/68)
Τώρα όλα μπαίνουν στη θέση τους!Ας γράψουμε το παράδειγμα με τέτοιο τρόπο ώστε όλα να γίνονται προφανή: (3768) / (1737).
Ας μειώσουμε το 37 στον αριθμητή και στον παρονομαστή και τελικά να διαιρέσουμε το πάνω και το κάτω μέρος με το 17. Θυμάστε τον βασικό κανόνα για σωστά και ακατάλληλα κλάσματα; Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε με οποιονδήποτε αριθμό αρκεί να το κάνουμε για τον αριθμητή και τον παρονομαστή ταυτόχρονα.
Λοιπόν, παίρνουμε την απάντηση: 4. Το παράδειγμα φαινόταν περίπλοκο και η απάντηση περιέχει μόνο ένα ψηφίο. Αυτό συμβαίνει συχνά στα μαθηματικά. Το κύριο πράγμα είναι να μην φοβάστε και να ακολουθήσετε απλούς κανόνες.
Συνήθη λάθη
Όταν εκτελεί ενέργειες με κλάσματα, ένας μαθητής μπορεί εύκολα να κάνει ένα από τα πιο δημοφιλή λάθη. Συνήθως συμβαίνουν λόγω απροσεξίας και μερικές φορές λόγω του γεγονότος ότι το υλικό που μελετήθηκε δεν έχει ακόμη εναποτεθεί σωστά στο κεφάλι.
Συχνά το άθροισμα των αριθμών στον αριθμητή προκαλεί την επιθυμία να μειωθούν τα επιμέρους συστατικά του. Ας υποθέσουμε, στο παράδειγμα: (13 + 2) / 13, γραμμένο χωρίς αγκύλες (με οριζόντια γραμμή), πολλοί μαθητές, λόγω απειρίας, διαγράφουν 13 από πάνω και κάτω. Αυτό όμως δεν πρέπει να γίνει σε καμία περίπτωση, γιατί πρόκειται για χονδροειδές λάθος! Αν αντί για πρόσθεση υπήρχε σύμβολο πολλαπλασιασμού, θα παίρναμε τον αριθμό 2 στην απάντηση. Αλλά όταν εκτελούμε πρόσθεση, δεν επιτρέπονται πράξεις με έναν από τους όρους, μόνο με ολόκληρο το άθροισμα.
Επίσης, οι άντρες κάνουν συχνά λάθη όταν διαιρούν κλάσματα. Ας πάρουμε δύο κανονικά μη αναγώγιμα κλάσματα και ας διαιρέσουμε το ένα με το άλλο: (5/6) / (25/33). Ο μαθητής μπορεί να μπερδέψει και να γράψει την έκφραση που προκύπτει ως (525) / (633). Αλλά θα ήταναποδείχθηκε κατά τον πολλαπλασιασμό, αλλά στην περίπτωσή μας όλα θα είναι λίγο διαφορετικά: (533) / (625). Μειώνουμε ό,τι είναι δυνατό, και στην απάντηση θα δούμε 11/10. Γράφουμε το ακατάλληλο κλάσμα που προκύπτει ως δεκαδικό - 1, 1.
Παρενθέσεις
Να θυμάστε ότι σε οποιαδήποτε μαθηματική έκφραση, η σειρά των πράξεων καθορίζεται από το προβάδισμα των συμβόλων λειτουργίας και την παρουσία παρενθέσεων. Αν τα άλλα πράγματα είναι ίσα, η ακολουθία των ενεργειών μετράται από αριστερά προς τα δεξιά. Αυτό ισχύει επίσης για τα κλάσματα - η έκφραση στον αριθμητή ή στον παρονομαστή υπολογίζεται αυστηρά σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα.
Τι είναι τελικά ένα σωστό κλάσμα; Είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός αριθμού με έναν άλλο. Αν δεν διαιρεθούν ομοιόμορφα, είναι κλάσμα, και αυτό είναι.
Πώς να γράψετε ένα κλάσμα σε έναν υπολογιστή
Δεδομένου ότι τα τυπικά εργαλεία δεν σας επιτρέπουν πάντα να δημιουργήσετε ένα κλάσμα που αποτελείται από δύο "βαθμίδες", οι μαθητές μερικές φορές κάνουν διάφορα κόλπα. Για παράδειγμα, αντιγράφουν τους αριθμητές και τους παρονομαστές στο πρόγραμμα επεξεργασίας Paint και τους κολλούν μεταξύ τους, τραβώντας μια οριζόντια γραμμή μεταξύ τους. Φυσικά, υπάρχει μια πιο εύκολη επιλογή, η οποία, παρεμπιπτόντως, παρέχει επίσης πολλές πρόσθετες λειτουργίες που θα σας φανούν χρήσιμες στο μέλλον.
Ανοίξτε το Microsoft Word. Ένα από τα πάνελ στο επάνω μέρος της οθόνης ονομάζεται "Εισαγωγή" - κάντε κλικ σε αυτό. Στα δεξιά, στην πλευρά όπου βρίσκονται τα εικονίδια για το κλείσιμο και την ελαχιστοποίηση του παραθύρου, υπάρχει ένα κουμπί Formula. Αυτό ακριβώς χρειαζόμαστε!
Εάν χρησιμοποιήσετε αυτήν τη συνάρτηση, θα εμφανιστεί μια ορθογώνια περιοχή στην οθόνη στην οποία μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε μαθηματικήχαρακτήρες που δεν υπάρχουν στο πληκτρολόγιο, καθώς και να γράψετε κλάσματα στην κλασική μορφή. Διαχωρίζοντας δηλαδή τον αριθμητή και τον παρονομαστή με μια οριζόντια γραμμή. Μπορεί ακόμη και να εκπλαγείτε που ένα τέτοιο σωστό κλάσμα είναι τόσο εύκολο να γραφτεί.
Μελέτη μαθηματικών
Αν είστε στις τάξεις 5-6, τότε σύντομα η γνώση των μαθηματικών (συμπεριλαμβανομένης της ικανότητας εργασίας με κλάσματα!) θα απαιτηθεί σε πολλά σχολικά μαθήματα. Σχεδόν σε οποιοδήποτε πρόβλημα της φυσικής, κατά τη μέτρηση της μάζας των ουσιών στη χημεία, στη γεωμετρία και στην τριγωνομετρία, τα κλάσματα δεν μπορούν να παραβλεφθούν. Σύντομα θα μάθετε να υπολογίζετε τα πάντα στο μυαλό σας, χωρίς καν να γράφετε εκφράσεις στο χαρτί, αλλά θα εμφανίζονται όλο και πιο περίπλοκα παραδείγματα. Επομένως, μάθετε τι είναι το σωστό κλάσμα και πώς να το δουλέψετε, συμβαδίστε με το πρόγραμμα σπουδών, κάντε την εργασία σας εγκαίρως και τότε θα πετύχετε.
