Το παράδοξο του Bertrand είναι ένα πρόβλημα στην κλασική ερμηνεία της θεωρίας πιθανοτήτων. Ο Joseph το εισήγαγε στο έργο του Calcul des probabilités (1889) ως παράδειγμα ότι οι πιθανότητες δεν μπορούν να καθοριστούν καλά εάν ένας μηχανισμός ή μια μέθοδος παράγει μια τυχαία μεταβλητή.
Δήλωση Προβλήματος
Το παράδοξο του Bertrand είναι το εξής.
Πρώτον, θεωρήστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση, η διάμετρος επιλέγεται τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου;
Bertrand προέβαλε τρία επιχειρήματα, τα οποία όλα φαίνονται σωστά, αλλά δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα.
Μέθοδος Τυχαίου Τελικού Σημείου
Πρέπει να επιλέξετε δύο θέσεις στον κύκλο και να σχεδιάσετε ένα τόξο που να τις συνδέει. Για τον υπολογισμό, λαμβάνεται υπόψη το παράδοξο πιθανότητας του Bertrand. Είναι απαραίτητο να φανταστεί κανείς ότι το τρίγωνο περιστρέφεται έτσι ώστε η κορυφή του να συμπίπτει με ένα από τα τελικά σημεία της χορδής. Αξίζει να πληρώσετεΣημειώστε ότι εάν το άλλο μέρος βρίσκεται σε τόξο μεταξύ δύο θέσεων, ο κύκλος είναι μεγαλύτερος από την πλευρά του τριγώνου. Το μήκος του τόξου είναι το ένα τρίτο του κύκλου, επομένως η πιθανότητα μια τυχαία χορδή να είναι μεγαλύτερη είναι 1/3.
Μέθοδος επιλογής
Είναι απαραίτητο να επιλέξετε την ακτίνα του κύκλου και ένα σημείο σε αυτόν. Μετά από αυτό, πρέπει να χτίσετε μια χορδή μέσα από αυτό το μέρος, κάθετα στη διάμετρο. Για να υπολογιστεί το εξεταζόμενο παράδοξο του Bertrand της θεωρίας πιθανοτήτων, πρέπει να φανταστεί κανείς ότι το τρίγωνο περιστρέφεται έτσι ώστε η πλευρά να είναι κάθετη στην ακτίνα. Η χορδή είναι μεγαλύτερη από το πόδι εάν το επιλεγμένο σημείο είναι πιο κοντά στο κέντρο του κύκλου. Και σε αυτή την περίπτωση, η πλευρά του τριγώνου διχοτομεί την ακτίνα. Επομένως, η πιθανότητα η χορδή να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του εγγεγραμμένου σχήματος είναι 1/2.
Τυχαίες συγχορδίες
Μέθοδος μέσου σημείου. Είναι απαραίτητο να επιλέξετε μια θέση στον κύκλο και να δημιουργήσετε μια χορδή με μια δεδομένη μέση. Ο άξονας είναι μεγαλύτερος από το άκρο του εγγεγραμμένου τριγώνου, εάν η επιλεγμένη θέση βρίσκεται εντός ενός ομόκεντρου κύκλου ακτίνας 1/2. Το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου είναι το ένα τέταρτο του μεγαλύτερου σχήματος. Επομένως, η πιθανότητα μιας τυχαίας χορδής είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του εγγεγραμμένου τριγώνου και ισούται με 1/4.
Όπως παρουσιάστηκε παραπάνω, οι μέθοδοι επιλογής διαφέρουν ως προς το βάρος που δίνουν σε ορισμένες συγχορδίες, οι οποίες είναι διαμέτρους. Στη μέθοδο 1, κάθε συγχορδία μπορεί να επιλεγεί με έναν ακριβώς τρόπο, είτε είναι διάμετρος είτε όχι.
Στη μέθοδο 2, κάθε ευθεία μπορεί να επιλεγεί με δύο τρόπους. Ενώ θα επιλεγεί οποιαδήποτε άλλη συγχορδίαμόνο μία από τις δυνατότητες.
Στη μέθοδο 3, κάθε επιλογή μέσου σημείου έχει μία μόνο παράμετρο. Εκτός από το κέντρο του κύκλου, που είναι το μέσο όλων των διαμέτρων. Αυτά τα προβλήματα μπορούν να αποφευχθούν με την "παραγγελία" όλων των ερωτήσεων ώστε να εξαιρεθούν οι παράμετροι χωρίς να επηρεάζονται οι πιθανότητες που προκύπτουν.
Οι επιλεγμένες μέθοδοι μπορούν επίσης να απεικονιστούν ως εξής. Μια χορδή που δεν έχει διάμετρο προσδιορίζεται μοναδικά από το μέσο της. Κάθε μία από τις τρεις μεθόδους επιλογής που παρουσιάζονται παραπάνω παράγει μια διαφορετική κατανομή της μέσης. Και οι επιλογές 1 και 2 παρέχουν δύο διαφορετικά μη ομοιόμορφα διαμερίσματα, ενώ η μέθοδος 3 δίνει μια ομοιόμορφη κατανομή.
Το κλασικό παράδοξο της επίλυσης του προβλήματος του Bertrand εξαρτάται από τη μέθοδο με την οποία η συγχορδία επιλέγεται «τυχαία». Αποδεικνύεται ότι εάν μια μέθοδος τυχαίας επιλογής έχει καθοριστεί εκ των προτέρων, το πρόβλημα έχει μια καλά καθορισμένη λύση. Αυτό συμβαίνει επειδή κάθε μεμονωμένη μέθοδος έχει τη δική της κατανομή συγχορδιών. Οι τρεις αποφάσεις που έδειξε ο Bertrand αντιστοιχούν σε διαφορετικούς τρόπους επιλογής και, ελλείψει περαιτέρω πληροφοριών, δεν υπάρχει λόγος να ευνοηθεί η μία έναντι της άλλης. Κατά συνέπεια, το αναφερόμενο πρόβλημα δεν έχει μία μόνο λύση.
Ένα παράδειγμα για το πώς να κάνετε μια γενική απάντηση μοναδική είναι να καθορίσετε ότι τα τελικά σημεία της χορδής είναι ομοιόμορφα τοποθετημένα μεταξύ 0 και c, όπου c είναι η περιφέρεια του κύκλου. Αυτή η κατανομή είναι ίδια με το πρώτο όρισμα του Bertrand και η μοναδική πιθανότητα που προκύπτει θα είναι 1/3.
Αυτό το παράδοξο του Bertrand Russell και άλλες μοναδικότητες της κλασικήςΟι ερμηνείες της δυνατότητας δικαιολογούν πιο αυστηρές διατυπώσεις. Συμπεριλαμβανομένης της συχνότητας πιθανοτήτων και της υποκειμενικής μπεϋζιανής θεωρίας.
Τι κρύβεται πίσω από το παράδοξο του Bertrand
Στο άρθρο του το 1973 "The Well-posed Problem", ο Edwin Jaynes πρόσφερε τη μοναδική του λύση. Σημείωσε ότι το παράδοξο του Μπερτράν βασίζεται σε μια υπόθεση που βασίζεται στην αρχή της «μέγιστης άγνοιας». Αυτό σημαίνει ότι δεν πρέπει να χρησιμοποιείτε πληροφορίες που δεν παρέχονται στη δήλωση προβλήματος. Ο Jaynes επεσήμανε ότι το πρόβλημα του Bertrand δεν καθορίζει τη θέση ή το μέγεθος του κύκλου. Και υποστήριξε ότι, επομένως, οποιαδήποτε οριστική και αντικειμενική απόφαση πρέπει να είναι «αδιάφορη» για το μέγεθος και τη θέση.
Για λόγους απεικόνισης
Υποθέτοντας ότι όλες οι συγχορδίες τοποθετούνται τυχαία σε έναν κύκλο 2 cm, τώρα πρέπει να του πετάξετε καλαμάκια από μακριά.
Στη συνέχεια, πρέπει να πάρετε έναν άλλο κύκλο με μικρότερη διάμετρο (για παράδειγμα, 1 εκατοστό), ο οποίος ταιριάζει σε μια μεγαλύτερη φιγούρα. Στη συνέχεια, η κατανομή των συγχορδιών σε αυτόν τον μικρότερο κύκλο θα πρέπει να είναι η ίδια όπως στον μέγιστο. Εάν το δεύτερο σχήμα κινείται επίσης μέσα στο πρώτο, η πιθανότητα, καταρχήν, δεν πρέπει να αλλάξει. Είναι πολύ εύκολο να δούμε ότι για τη μέθοδο 3 θα συμβεί η ακόλουθη αλλαγή: η κατανομή των συγχορδιών στον μικρό κόκκινο κύκλο θα είναι ποιοτικά διαφορετική από την κατανομή στον μεγάλο κύκλο.
Το ίδιο συμβαίνει και με τη μέθοδο 1. Αν και είναι πιο δύσκολο να το δει κανείς στη γραφική προβολή.
Η μέθοδος 2 είναι η μόνηπου αποδεικνύεται ότι είναι αμετάβλητη και κλίμακα και μετάφραση.
Η μέθοδος αριθμός 3 φαίνεται να είναι απλώς επεκτάσιμη.
Η μέθοδος 1 δεν είναι καμία.
Ωστόσο, η Janes δεν χρησιμοποίησε αμετάβλητες εύκολα για να αποδεχτεί ή να απορρίψει αυτές τις μεθόδους. Αυτό θα άφηνε την πιθανότητα να υπάρχει μια άλλη μη περιγραφόμενη μέθοδος που θα ταίριαζε στις πτυχές της λογικής σημασίας της. Ο Jaynes εφάρμοσε ολοκληρωτικές εξισώσεις που περιγράφουν αναλλοίωτες. Για τον άμεσο προσδιορισμό της κατανομής πιθανοτήτων. Στο πρόβλημά του, οι ολοκληρωτικές εξισώσεις έχουν πράγματι μια μοναδική λύση, και αυτό ακριβώς ονομάστηκε η δεύτερη μέθοδος τυχαίας ακτίνας παραπάνω.
Σε ένα έγγραφο του 2015, ο Alon Drory υποστηρίζει ότι η αρχή του Jaynes μπορεί επίσης να δώσει δύο άλλες λύσεις Bertrand. Ο συγγραφέας διαβεβαιώνει ότι η μαθηματική υλοποίηση των παραπάνω ιδιοτήτων της αναλλοίωτης δεν είναι μοναδική, αλλά εξαρτάται από τη βασική διαδικασία τυχαίας επιλογής που αποφασίζει να χρησιμοποιήσει ένα άτομο. Δείχνει ότι καθεμία από τις τρεις λύσεις Bertrand μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας περιστροφική, κλιμακούμενη και μεταφραστική αμετάβλητη. Ταυτόχρονα, καταλήγοντας στο συμπέρασμα ότι η αρχή του Jaynes υπόκειται σε ερμηνεία εξίσου με τον ίδιο τον τρόπο αδιαφορίας.
Φυσικά πειράματα
Η μέθοδος 2 είναι η μόνη λύση που ικανοποιεί τις αμετάβλητες μετασχηματισμούς που υπάρχουν σε συγκεκριμένες φυσιολογικές έννοιες όπως η στατιστική μηχανική και η δομή των αερίων. Επίσης στο προτεινόμενοΤο πείραμα της Janes να πετάει καλαμάκια από έναν μικρό κύκλο.
Ωστόσο, μπορούν να σχεδιαστούν άλλα πρακτικά πειράματα που παρέχουν απαντήσεις σύμφωνα με άλλες μεθόδους. Για παράδειγμα, για να καταλήξετε σε μια λύση στη μέθοδο του πρώτου τυχαίου τελικού σημείου, μπορείτε να προσαρτήσετε έναν μετρητή στο κέντρο της περιοχής. Και αφήστε τα αποτελέσματα δύο ανεξάρτητων περιστροφών να αναδείξουν τις τελικές θέσεις της συγχορδίας. Για να καταλήξουμε σε λύση στην τρίτη μέθοδο, μπορεί κανείς να καλύψει τον κύκλο με μελάσα, για παράδειγμα, και να σημειώσει το πρώτο σημείο στο οποίο προσγειώνεται η μύγα ως μεσαία χορδή. Αρκετοί στοχαστές έχουν δημιουργήσει μελέτες για να βγάλουν διαφορετικά συμπεράσματα και έχουν επιβεβαιώσει τα αποτελέσματα εμπειρικά.
Τελευταία συμβάντα
Στο άρθρο του το 2007 «Το παράδοξο του Μπέρτραντ και η αρχή της αδιαφορίας», ο Nicholas Shackel υποστηρίζει ότι περισσότερο από έναν αιώνα αργότερα, το πρόβλημα παραμένει ακόμη άλυτο. Συνεχίζει διαψεύδοντας την αρχή της αδιαφορίας. Επιπλέον, στην εργασία του το 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical", ο Darrell R. Robottom δείχνει ότι όλες οι προτεινόμενες αποφάσεις δεν έχουν καμία σχέση με τη δική του ερώτηση. Αποδείχθηκε λοιπόν ότι το παράδοξο θα ήταν πολύ πιο δύσκολο να λυθεί από ό,τι πιστεύαμε.
Ο Shackel τονίζει ότι μέχρι στιγμής πολλοί επιστήμονες και άνθρωποι μακριά από την επιστήμη έχουν προσπαθήσει να επιλύσουν το παράδοξο του Bertrand. Εξακολουθεί να ξεπερνιέται με τη βοήθεια δύο διαφορετικών προσεγγίσεων.
Αυτά στα οποία λήφθηκε υπόψη η διαφορά μεταξύ μη ισοδύναμων προβλημάτων και εκείνων στα οποία το πρόβλημα θεωρήθηκε πάντα σωστό. Ο Shackel αναφέρει τα λόγια του Louis στα βιβλία τουMarinoff (ως τυπικός εκφραστής της στρατηγικής της διαφοροποίησης) και Edwin Jaynes (ως συγγραφέας μιας καλά μελετημένης θεωρίας).
Ωστόσο, στην πρόσφατη εργασία τους Επίλυση ενός σύνθετου προβλήματος, οι Diederik Aerts και Massimiliano Sassoli de Bianchi πιστεύουν ότι για να λυθεί το παράδοξο Bertrand, οι προϋποθέσεις πρέπει να αναζητηθούν σε μια μικτή στρατηγική. Σύμφωνα με αυτούς τους συγγραφείς, το πρώτο βήμα είναι να διορθωθεί το πρόβλημα δηλώνοντας ξεκάθαρα τη φύση της οντότητας που τυχαιοποιείται. Και μόνο αφού γίνει αυτό, οποιοδήποτε πρόβλημα μπορεί να θεωρηθεί σωστό. Αυτό πιστεύει η Janes.
Έτσι η αρχή της μέγιστης άγνοιας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυσή του. Για το σκοπό αυτό, και δεδομένου ότι το πρόβλημα δεν προσδιορίζει πώς πρέπει να επιλεγεί μια συγχορδία, η αρχή εφαρμόζεται όχι στο επίπεδο των διαφόρων δυνατοτήτων, αλλά σε ένα πολύ βαθύτερο επίπεδο.
Επιλογή εξαρτημάτων
Αυτό το μέρος του προβλήματος απαιτεί τον υπολογισμό ενός μετα-μέσου όρου για όλους τους πιθανούς τρόπους, τον οποίο οι συγγραφείς αποκαλούν καθολική μέση τιμή. Για να το αντιμετωπίσουν αυτό χρησιμοποιούν τη μέθοδο της διακριτοποίησης. Εμπνευσμένο από αυτό που γίνεται για τον ορισμό του νόμου των πιθανοτήτων στις διαδικασίες Wiener. Το αποτέλεσμά τους είναι συνεπές με το αριθμητικό συμπέρασμα του Jaynes, αν και το καλά τοποθετημένο πρόβλημά τους διαφέρει από αυτό του αρχικού συγγραφέα.
Στην οικονομία και το εμπόριο, το παράδοξο Bertrand, που πήρε το όνομά του από τον δημιουργό του Joseph Bertrand, περιγράφει μια κατάσταση στην οποία δύο παίκτες (εταιρίες) φτάνουν σε μια ισορροπία Nash. Όταν και οι δύο εταιρείες ορίζουν μια τιμή ίση με το οριακό κόστος(MS).
Το παράδοξο του Bertrand βασίζεται σε μια υπόθεση. Βρίσκεται στο γεγονός ότι σε μοντέλα όπως ο ανταγωνισμός Cournot, η αύξηση του αριθμού των επιχειρήσεων συνδέεται με τη σύγκλιση των τιμών με το οριακό κόστος. Σε αυτά τα εναλλακτικά μοντέλα, το παράδοξο του Bertrand βρίσκεται σε ένα ολιγοπώλιο ενός μικρού αριθμού επιχειρήσεων που κερδίζουν θετικά κέρδη χρεώνοντας τιμές πάνω από το κόστος.
Καταρχάς, αξίζει να υποθέσουμε ότι δύο εταιρείες Α και Β πωλούν ένα ομοιογενές προϊόν, καθεμία από τις οποίες έχει το ίδιο κόστος παραγωγής και διανομής. Ως εκ τούτου, οι αγοραστές επιλέγουν ένα προϊόν αποκλειστικά με βάση την τιμή. Αυτό σημαίνει ότι η ζήτηση είναι απείρως ελαστική ως προς την τιμή. Ούτε ο Α ούτε ο Β θα ορίσουν υψηλότερη τιμή από τους άλλους, γιατί αυτό θα προκαλούσε την κατάρρευση ολόκληρου του παράδοξου Μπερτράν. Ένας από τους συμμετέχοντες στην αγορά θα υποχωρήσει στον ανταγωνιστή του. Εάν ορίσουν την ίδια τιμή, οι εταιρείες θα μοιραστούν τα κέρδη.
Από την άλλη πλευρά, εάν κάποια εταιρεία χαμηλώσει έστω και ελαφρώς την τιμή της, θα έχει ολόκληρη την αγορά και θα έχει σημαντικά υψηλότερη απόδοση. Εφόσον ο Α και ο Β το γνωρίζουν αυτό, θα προσπαθήσουν ο καθένας να υποτιμήσει τον ανταγωνιστή έως ότου το προϊόν πωληθεί με μηδενικό οικονομικό κέρδος.
Πρόσφατη εργασία έχει δείξει ότι μπορεί να υπάρχει μια πρόσθετη ισορροπία στο παράδοξο μεικτής στρατηγικής του Bertrand, με θετικά οικονομικά κέρδη, υπό την προϋπόθεση ότι το άθροισμα του μονοπωλίου είναι άπειρο. Για την περίπτωση του τελικού κέρδους, αποδείχθηκε ότι μια θετική αύξηση υπό τον ανταγωνισμό τιμών είναι αδύνατη σε μικτές ισορροπίες και ακόμη και στη γενικότερη περίπτωσησυσχετισμένα συστήματα.
Στην πραγματικότητα, το παράδοξο του Bertrand στα οικονομικά σπάνια παρατηρείται στην πράξη, επειδή τα πραγματικά προϊόντα σχεδόν πάντα διαφοροποιούνται με άλλο τρόπο εκτός από την τιμή (για παράδειγμα, υπερπληρωμή για μια ετικέτα). Οι επιχειρήσεις έχουν όρια στην ικανότητά τους να παράγουν και να διανέμουν. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο δύο επιχειρήσεις σπάνια έχουν το ίδιο κόστος.
Το αποτέλεσμα του Bertrand είναι παράδοξο γιατί αν ο αριθμός των επιχειρήσεων αυξηθεί από μία σε δύο, η τιμή πέφτει από μονοπωλιακή σε ανταγωνιστική και παραμένει στο ίδιο επίπεδο με τον αριθμό των εταιρειών που αυξάνονται στη συνέχεια. Αυτό δεν είναι πολύ ρεαλιστικό, διότι στην πραγματικότητα, αγορές με λίγες εταιρείες με ισχύ στην αγορά τείνουν να χρεώνουν τιμές πάνω από το οριακό κόστος. Η εμπειρική ανάλυση δείχνει ότι οι περισσότερες βιομηχανίες με δύο ανταγωνιστές παράγουν θετικά κέρδη.
Στον σύγχρονο κόσμο, οι επιστήμονες προσπαθούν να βρουν λύσεις στο παράδοξο που να είναι πιο συνεπείς με το μοντέλο του ανταγωνισμού Cournot. Όταν δύο εταιρείες σε μια αγορά πραγματοποιούν θετικά κέρδη που βρίσκονται κάπου μεταξύ απόλυτα ανταγωνιστικών και μονοπωλιακών επιπέδων.
Μερικοί λόγοι για τους οποίους το παράδοξο του Bertrand δεν σχετίζεται άμεσα με την οικονομία:
- Όρια χωρητικότητας. Μερικές φορές οι επιχειρήσεις δεν έχουν επαρκή ικανότητα για να καλύψουν όλη τη ζήτηση. Αυτό το σημείο αναφέρθηκε για πρώτη φορά από τον Francis Edgeworth και δημιούργησε το μοντέλο Bertrand-Edgeworth.
- Ακέραιες τιμές. Οι τιμές πάνω από το MC εξαιρούνται επειδή μια εταιρεία μπορεί να είναι χαμηλότερη από μια άλλη τυχαία.μια μικρή ποσότητα. Εάν οι τιμές είναι διακριτές (για παράδειγμα, πρέπει να λαμβάνουν ακέραιες τιμές), τότε η μία επιχείρηση πρέπει να είναι χαμηλότερη από την άλλη κατά τουλάχιστον ένα ρούβλι. Αυτό σημαίνει ότι η αξία του μικρονομίσματος είναι πάνω από το MC. Εάν μια άλλη εταιρεία ορίσει την τιμή για αυτήν υψηλότερη, μια άλλη εταιρεία μπορεί να τη μειώσει και να καταλάβει ολόκληρη την αγορά, το παράδοξο του Bertrand συνίσταται ακριβώς σε αυτό. Δεν θα της φέρει κανένα κέρδος. Αυτή η επιχείρηση θα προτιμήσει να μοιράζεται τις πωλήσεις 50/50 με άλλη εταιρεία και να λάβει καθαρά θετικά έσοδα.
- Διαφοροποίηση προϊόντων. Εάν τα προϊόντα διαφορετικών εταιρειών διαφέρουν μεταξύ τους, τότε οι καταναλωτές ενδέχεται να μην στραφούν εντελώς σε προϊόντα με χαμηλότερη τιμή.
- Δυναμικός διαγωνισμός. Η επαναλαμβανόμενη αλληλεπίδραση ή ο επαναλαμβανόμενος ανταγωνισμός τιμών μπορεί να οδηγήσει σε μια ισορροπία αξίας.
- Περισσότερα είδη για υψηλότερο ποσό. Αυτό προκύπτει από την επαναλαμβανόμενη αλληλεπίδραση. Εάν μια εταιρεία ορίσει την τιμή της λίγο υψηλότερη, θα εξακολουθεί να έχει περίπου τον ίδιο αριθμό αγορών, αλλά περισσότερο κέρδος ανά είδος. Επομένως, η άλλη εταιρεία θα αυξήσει τη σήμανση κτλ. (Μόνο σε επαναλήψεις, διαφορετικά η δυναμική πάει προς την άλλη κατεύθυνση).
Ολιγοπώλιο
Εάν δύο εταιρείες μπορούν να συμφωνήσουν σε μια τιμή, είναι προς το μακροπρόθεσμο συμφέρον τους να διατηρήσουν τη συμφωνία: τα έσοδα από τη μείωση της αξίας είναι μικρότερα από το διπλάσιο των εσόδων από τη συμμόρφωση με τη συμφωνία και διαρκούν μόνο έως ότου η άλλη εταιρεία το κόψει δικές τιμές.
Θεωρίαοι πιθανότητες (όπως και τα υπόλοιπα μαθηματικά) είναι στην πραγματικότητα μια πρόσφατη εφεύρεση. Και η ανάπτυξη δεν ήταν ομαλή. Οι πρώτες προσπάθειες να επισημοποιηθεί ο λογισμός των πιθανοτήτων έγιναν από τον μαρκήσιο ντε Λαπλάς, ο οποίος πρότεινε να οριστεί η έννοια ως ο λόγος του αριθμού των γεγονότων που οδηγούν σε ένα αποτέλεσμα.
Αυτό, φυσικά, έχει νόημα μόνο εάν ο αριθμός όλων των πιθανών γεγονότων είναι πεπερασμένος. Επιπλέον, όλα τα γεγονότα είναι εξίσου πιθανά.
Έτσι, εκείνη την εποχή, αυτές οι έννοιες φαινόταν να μην έχουν γερές βάσεις. Οι προσπάθειες επέκτασης του ορισμού στην περίπτωση ενός άπειρου αριθμού γεγονότων έχουν οδηγήσει σε ακόμη μεγαλύτερες δυσκολίες. Το παράδοξο του Μπέρτραντ είναι μια τέτοια ανακάλυψη που έκανε τους μαθηματικούς επιφυλακτικούς με την όλη έννοια της πιθανότητας.
