Οι άνθρωποι έχουν συνηθίσει να θεωρούν το αυτονόητο ως δεδομένο. Εξαιτίας αυτού, συχνά μπαίνουν σε μπελάδες, εκτιμούν λανθασμένα την κατάσταση, εμπιστεύονται τη διαίσθησή τους και δεν αφιερώνουν χρόνο για να σκεφτούν κριτικά την επιλογή τους και τις συνέπειές της.
Τι είναι το παράδοξο του Monty Hall; Αυτό είναι μια ξεκάθαρη απεικόνιση της αδυναμίας ενός ατόμου να σταθμίσει τις πιθανότητες επιτυχίας του όταν επιλέγει ένα ευνοϊκό αποτέλεσμα παρουσία περισσότερων από ενός δυσμενών.
Διατύπωση του παραδόξου του Monty Hall
Λοιπόν, τι είδους ζώο είναι αυτό; Για τι ακριβώς μιλάμε; Το πιο διάσημο παράδειγμα του παραδόξου του Monty Hall είναι το δημοφιλές τηλεοπτικό σόου στην Αμερική στα μέσα του περασμένου αιώνα που ονομάζεται Let's Make a Bet! Παρεμπιπτόντως, χάρη στον παρουσιαστή αυτού του κουίζ πήρε αργότερα το όνομά του το παράδοξο του Monty Hall.
Το παιχνίδι αποτελούνταν από τα εξής: στον συμμετέχοντα έδειξαν τρεις πόρτες που έμοιαζαν ακριβώς ίδιες. Ωστόσο, πίσω από το ένα από αυτά περίμενε τον παίκτη ένα πανάκριβο καινούργιο αυτοκίνητο, αλλά πίσω από τα άλλα δύο μαραζώνει ανυπόμονα μια κατσίκα. Όπως συμβαίνει συνήθως στις εκπομπές κουίζ, αυτό που υπήρχε πίσω από την πόρτα που επέλεξε ο διαγωνιζόμενος έγινε δικό τουκερδίζοντας.
Ποιο είναι το κόλπο;
Αλλά δεν είναι όλα τόσο απλά. Αφού έγινε η επιλογή, ο οικοδεσπότης, γνωρίζοντας πού ήταν κρυμμένο το κύριο έπαθλο, άνοιξε μια από τις υπόλοιπες δύο πόρτες (φυσικά, αυτή πίσω από την οποία κρυβόταν ο αρτιοδάκτυλος) και στη συνέχεια ρώτησε τον παίκτη αν ήθελε να αλλάξει γνώμη.
Το παράδοξο του Monty Hall, που διατυπώθηκε από επιστήμονες το 1990, είναι ότι, σε αντίθεση με τη διαίσθηση ότι δεν υπάρχει διαφορά στη λήψη μιας ηγετικής απόφασης με βάση μια ερώτηση, πρέπει να συμφωνήσει κανείς να αλλάξει την επιλογή του. Αν θέλετε να αποκτήσετε ένα υπέροχο αυτοκίνητο, φυσικά.
Πώς λειτουργεί;
Υπάρχουν διάφοροι λόγοι για τους οποίους οι άνθρωποι δεν θέλουν να εγκαταλείψουν την επιλογή τους. Η διαίσθηση και η απλή (αλλά λανθασμένη) λογική λένε ότι τίποτα δεν εξαρτάται από αυτή την απόφαση. Επιπλέον, δεν θέλουν όλοι να ακολουθήσουν το παράδειγμα κάποιου άλλου - αυτό είναι πραγματική χειραγώγηση, έτσι δεν είναι; Όχι όχι έτσι. Αλλά αν όλα ήταν αμέσως διαισθητικά ξεκάθαρα, τότε δεν θα το αποκαλούσαν καν παράδοξο. Δεν υπάρχει τίποτα περίεργο στο να έχεις αμφιβολίες. Όταν αυτό το παζλ δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά σε ένα από τα σημαντικότερα περιοδικά, χιλιάδες αναγνώστες, συμπεριλαμβανομένων αναγνωρισμένων μαθηματικών, έστειλαν επιστολές στον εκδότη ισχυριζόμενοι ότι η απάντηση που τυπώθηκε στο τεύχος δεν ήταν αληθινή. Εάν η ύπαρξη της θεωρίας των πιθανοτήτων δεν ήταν είδηση για ένα άτομο που ανέβηκε στην εκπομπή, τότε ίσως θα μπορούσε να λύσει αυτό το πρόβλημα. Και έτσι αυξάνουν τις πιθανότητεςνα κερδίσει. Στην πραγματικότητα, η εξήγηση του παραδόξου του Monty Hall καταλήγει στα απλά μαθηματικά.
Εξήγηση μία, πιο περίπλοκη
Η πιθανότητα το βραβείο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα που επιλέχθηκε αρχικά είναι μία στις τρεις. Η πιθανότητα να το βρείτε πίσω από ένα από τα δύο εναπομείναντα είναι δύο στις τρεις. Λογικό, σωστά; Τώρα, αφού μια από αυτές τις πόρτες είναι ανοιχτή και βρεθεί μια κατσίκα πίσω της, μένει μόνο μία επιλογή στο δεύτερο σετ (αυτή που αντιστοιχεί σε 2/3 πιθανότητες επιτυχίας). Η τιμή αυτής της επιλογής παραμένει η ίδια και είναι ίση με δύο στα τρία. Έτσι, γίνεται προφανές ότι αλλάζοντας την απόφασή του, ο παίκτης θα διπλασιάσει την πιθανότητα να κερδίσει.
Επεξήγηση νούμερο δύο, απλούστερη
Μετά από μια τέτοια ερμηνεία της απόφασης, πολλοί εξακολουθούν να επιμένουν ότι δεν έχει νόημα αυτή η επιλογή, γιατί υπάρχουν μόνο δύο επιλογές και η μία είναι σίγουρα κερδισμένη και η άλλη οδηγεί σίγουρα στην ήττα.
Αλλά η θεωρία των πιθανοτήτων έχει τη δική της άποψη για αυτό το πρόβλημα. Και αυτό γίνεται ακόμη πιο ξεκάθαρο αν φανταστούμε ότι αρχικά δεν υπήρχαν τρεις πόρτες, αλλά, ας πούμε, εκατό. Σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα να μαντέψετε πού βρίσκεται το έπαθλο από την πρώτη φορά είναι μόνο μία στις ενενήντα εννέα. Τώρα ο διαγωνιζόμενος κάνει την επιλογή του και ο Μόντι καταργεί ενενήντα οκτώ πόρτες κατσίκας, αφήνοντας μόνο δύο, εκ των οποίων τη μία έχει επιλέξει ο παίκτης. Έτσι, η επιλογή που επιλέχθηκε αρχικά διατηρεί τις πιθανότητες νίκης ίσες με 1/100 και η δεύτερη επιλογή που προσφέρεται είναι 99/100. Η επιλογή πρέπει να είναι προφανής.
Υπάρχουν αντικρούσεις;
Η απάντηση είναι απλή: όχι. ΚανέναςΔεν υπάρχει καμία βάσιμη διάψευση του παραδόξου του Monty Hall. Όλες οι "αποκαλύψεις" που μπορούν να βρεθούν στον Ιστό καταλήγουν σε μια παρανόηση των αρχών των μαθηματικών και της λογικής.
Για όποιον γνωρίζει τις μαθηματικές αρχές, η μη τυχαιότητα των πιθανοτήτων είναι απολύτως προφανής. Μόνο όσοι δεν καταλαβαίνουν πώς λειτουργεί η λογική μπορούν να διαφωνήσουν μαζί τους. Αν όλα τα παραπάνω εξακολουθούν να ακούγονται μη πειστικά - το σκεπτικό για το παράδοξο δοκιμάστηκε και επιβεβαιώθηκε στο διάσημο πρόγραμμα MythBusters, και ποιον άλλο να πιστέψει αν όχι;
Η ικανότητα να βλέπεις καθαρά
Εντάξει, ας φανούμε όλοι πειστικοί. Αλλά αυτό είναι μόνο μια θεωρία, είναι δυνατόν να δούμε με κάποιο τρόπο το έργο αυτής της αρχής στην πράξη και όχι μόνο στα λόγια; Πρώτον, κανείς δεν ακύρωσε ζωντανούς ανθρώπους. Βρείτε έναν συνεργάτη που θα αναλάβει το ρόλο του ηγέτη και θα σας βοηθήσει να παίξετε τον παραπάνω αλγόριθμο στην πραγματικότητα. Για ευκολία, μπορείτε να πάρετε κουτιά, κουτιά ή ακόμα και να σχεδιάσετε σε χαρτί. Αφού επαναλάβετε τη διαδικασία αρκετές δεκάδες φορές, συγκρίνετε τον αριθμό των νικών στην περίπτωση αλλαγής της αρχικής επιλογής με πόσες νίκες έφεραν πείσμα και όλα θα γίνουν ξεκάθαρα. Και μπορείτε να κάνετε ακόμα πιο εύκολα και να χρησιμοποιήσετε το Διαδίκτυο. Υπάρχουν πολλοί προσομοιωτές του παραδόξου Monty Hall στον Ιστό, στους οποίους μπορείτε να ελέγξετε τα πάντα μόνοι σας και χωρίς περιττά στηρίγματα.
Ποια είναι η χρήση αυτής της γνώσης;
Μπορεί να φαίνεται σαν ένα ακόμα παιχνίδι παζλ που κάνει πειράγματα εγκεφάλου που εξυπηρετεί μόνο ψυχαγωγικούς σκοπούς. Ωστόσο, η πρακτική εφαρμογή τουΤο παράδοξο του Monty Hall εντοπίζεται κυρίως στον τζόγο και σε διάφορες κληρώσεις. Όσοι έχουν μεγάλη εμπειρία γνωρίζουν καλά τις κοινές στρατηγικές για την αύξηση των πιθανοτήτων εύρεσης αξίας στοίχημα (από την αγγλική λέξη value, που κυριολεκτικά σημαίνει "αξία" - μια τέτοια πρόβλεψη που θα πραγματοποιηθεί με μεγαλύτερη πιθανότητα από ό,τι εκτιμούν οι στοιχηματιστές). Και μια τέτοια στρατηγική εμπλέκει άμεσα το παράδοξο του Monty Hall.
Παράδειγμα εργασίας με αθροιστή
Ένα αθλητικό παράδειγμα θα διαφέρει ελάχιστα από το κλασικό. Ας πούμε ότι υπάρχουν τρεις ομάδες από την πρώτη κατηγορία. Τις επόμενες τρεις ημέρες, κάθε μία από αυτές τις ομάδες πρέπει να παίξει έναν καθοριστικό αγώνα. Αυτός που θα συγκεντρώσει περισσότερους πόντους στο τέλος του αγώνα από τους άλλους δύο θα παραμείνει στην πρώτη κατηγορία, ενώ οι υπόλοιποι θα αναγκαστούν να την εγκαταλείψουν. Η προσφορά του bookmaker είναι απλή: πρέπει να στοιχηματίσετε στη διατήρηση των θέσεων ενός από αυτούς τους ποδοσφαιρικούς συλλόγους, ενώ οι πιθανότητες των στοιχημάτων είναι ίσες.
Για λόγους ευκολίας, γίνονται αποδεκτοί όροι υπό τους οποίους οι αντίπαλοι των συλλόγων που συμμετέχουν στην επιλογή είναι περίπου ίσοι σε δύναμη. Έτσι, δεν θα είναι δυνατός ο κατηγορηματικός προσδιορισμός του φαβορί πριν την έναρξη των αγώνων.
Εδώ πρέπει να θυμάστε την ιστορία για τις κατσίκες και το αυτοκίνητο. Κάθε ομάδα έχει την ευκαιρία να μείνει στη θέση της σε μία περίπτωση στις τρεις. Επιλέγεται οποιοδήποτε από αυτά, τοποθετείται ένα στοίχημα σε αυτό. Ας είναι «B altika». Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της πρώτης ημέρας, ένας από τους συλλόγους χάνει και δύο δεν έχουν παίξει ακόμα. Αυτό είναι το ίδιο "B altika" και, ας πούμε, "Shinnik".
Η πλειοψηφία θα διατηρήσει το αρχικό της στοίχημα - Η B altika θα παραμείνει στην πρώτη κατηγορία. Αλλά πρέπει να θυμόμαστε ότι οι πιθανότητές της παρέμειναν ίδιες, αλλά οι πιθανότητες της "Σίννικ" έχουν διπλασιαστεί. Ως εκ τούτου, είναι λογικό να στοιχηματίσουμε άλλο ένα, μεγαλύτερο, στη νίκη του “Shinnik”.
Έρχεται η επόμενη μέρα και το ματς με την Μπαλτίκα είναι ισόπαλο. Ακολουθεί ο “Σίννικ” και το παιχνίδι του τελειώνει με νίκη 3-0. Αποδεικνύεται ότι θα παραμείνει στην πρώτη κατηγορία. Επομένως, αν και το πρώτο στοίχημα στο B altika χάθηκε, αυτή η απώλεια καλύπτεται από το κέρδος στο νέο στοίχημα στο Shinnik.
Μπορεί να υποτεθεί, και οι περισσότεροι θα το κάνουν, ότι η νίκη του "Shinnik" είναι απλώς ένα ατύχημα. Στην πραγματικότητα, η ανάληψη πιθανοτήτων για την τύχη είναι το μεγαλύτερο λάθος για ένα άτομο που συμμετέχει σε αθλητικούς κληρώσεις. Εξάλλου, ένας επαγγελματίας θα λέει πάντα ότι οποιαδήποτε πιθανότητα εκφράζεται κυρίως σε σαφή μαθηματικά μοτίβα. Εάν γνωρίζετε τα βασικά αυτής της προσέγγισης και όλες τις αποχρώσεις που σχετίζονται με αυτήν, τότε οι κίνδυνοι απώλειας χρημάτων θα ελαχιστοποιηθούν.
Χρήσιμο στην πρόβλεψη οικονομικών διαδικασιών
Έτσι, στα αθλητικά στοιχήματα, το παράδοξο του Monty Hall είναι απλά απαραίτητο να γνωρίζουμε. Όμως το πεδίο εφαρμογής του δεν περιορίζεται σε μία κλήρωση. Η θεωρία πιθανοτήτων συνδέεται πάντα στενά με τις στατιστικές, γι' αυτό και η κατανόηση των αρχών του παραδόξου δεν είναι λιγότερο σημαντική στην πολιτική και την οικονομία.
Μπροστά στην οικονομική αβεβαιότητα που αντιμετωπίζουν συχνά οι αναλυτές, θα πρέπει να θυμόμαστε τα ακόλουθα που πηγάζουν απόσυμπέρασμα επίλυσης προβλημάτων: δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ακριβώς τη μόνη σωστή λύση. Οι πιθανότητες για μια επιτυχημένη πρόβλεψη αυξάνονται πάντα αν ξέρετε τι ακριβώς δεν θα συμβεί. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το πιο χρήσιμο συμπέρασμα από το παράδοξο του Monty Hall.
Όταν ο κόσμος βρίσκεται στα πρόθυρα οικονομικών σοκ, οι πολιτικοί προσπαθούν πάντα να μαντέψουν τη σωστή πορεία δράσης, προκειμένου να ελαχιστοποιήσουν τις συνέπειες της κρίσης. Επιστρέφοντας στα προηγούμενα παραδείγματα, στον τομέα της οικονομίας, το έργο μπορεί να περιγραφεί ως εξής: υπάρχουν τρεις πόρτες μπροστά στους ηγέτες των χωρών. Το ένα οδηγεί σε υπερπληθωρισμό, το δεύτερο σε αποπληθωρισμό και το τρίτο στην πολυπόθητη μέτρια ανάπτυξη της οικονομίας. Πώς όμως βρίσκετε τη σωστή απάντηση;
Οι πολιτικοί ισχυρίζονται ότι με τον ένα ή τον άλλο τρόπο θα οδηγήσουν σε περισσότερες θέσεις εργασίας και ανάπτυξη της οικονομίας. Αλλά κορυφαίοι οικονομολόγοι, έμπειροι άνθρωποι, συμπεριλαμβανομένων ακόμη και νικητών του βραβείου Νόμπελ, τους δείχνουν ξεκάθαρα ότι μια από αυτές τις επιλογές σίγουρα δεν θα οδηγήσει στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Θα αλλάξουν οι πολιτικοί την επιλογή τους μετά από αυτό; Είναι πολύ απίθανο, αφού από αυτή την άποψη δεν διαφέρουν πολύ από τους ίδιους συμμετέχοντες στην τηλεοπτική εκπομπή. Επομένως, η πιθανότητα λάθους θα αυξηθεί μόνο με την αύξηση του αριθμού των συμβούλων.
Αυτό εξαντλεί πληροφορίες για το θέμα;
Μάλιστα, μέχρι στιγμής έχει ληφθεί υπόψη μόνο η «κλασική» εκδοχή του παραδόξου, δηλαδή η κατάσταση στην οποία ο παρουσιαστής ξέρει ακριβώς από ποια πόρτα βρίσκεται το έπαθλο πίσω και ανοίγει μόνο την πόρτα με την κατσίκα. Υπάρχουν όμως και άλλοι μηχανισμοί συμπεριφοράς του ηγέτη, ανάλογα με τους οποίους θα είναι η αρχή του αλγορίθμου και το αποτέλεσμα της εκτέλεσής τουνα είσαι διαφορετικός.
Η επιρροή της συμπεριφοράς του ηγέτη στο παράδοξο
Τι μπορεί λοιπόν να κάνει ο οικοδεσπότης για να αλλάξει την πορεία των γεγονότων; Ας επιτρέψουμε διαφορετικές επιλογές.
Το λεγόμενο "Devil Monty" είναι μια κατάσταση στην οποία ο οικοδεσπότης θα προσφέρει πάντα στον παίκτη να αλλάξει την επιλογή του, υπό την προϋπόθεση ότι αρχικά είχε δίκιο. Σε αυτήν την περίπτωση, η αλλαγή της απόφασης θα οδηγεί πάντα σε ήττα.
Αντίθετα, το "Angelic Monty" είναι μια παρόμοια αρχή συμπεριφοράς, αλλά σε περίπτωση που η επιλογή του παίκτη ήταν αρχικά λανθασμένη. Είναι λογικό ότι σε μια τέτοια κατάσταση, η αλλαγή της απόφασης θα οδηγήσει στη νίκη.
Αν ο οικοδεσπότης ανοίξει τις πόρτες τυχαία, χωρίς να έχει ιδέα τι κρύβεται πίσω από καθεμία από αυτές, τότε οι πιθανότητες να κερδίσετε θα είναι πάντα ίσες με πενήντα τοις εκατό. Σε αυτήν την περίπτωση, ένα αυτοκίνητο μπορεί επίσης να βρίσκεται πίσω από την ανοιχτή πόρτα.
Ο οικοδεσπότης μπορεί 100% να ανοίξει την πόρτα με μια κατσίκα αν ο παίκτης έχει επιλέξει αυτοκίνητο και με πιθανότητα 50% αν ο παίκτης έχει επιλέξει μια κατσίκα. Με αυτόν τον αλγόριθμο ενεργειών, εάν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή, θα κερδίζει πάντα σε μία περίπτωση από τις δύο.
Όταν το παιχνίδι επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά, και η πιθανότητα ότι μια συγκεκριμένη πόρτα θα είναι ο νικητής είναι πάντα αυθαίρετη (καθώς και ποια πόρτα ανοίγει ο οικοδεσπότης, ενώ ξέρει πού κρύβεται το αυτοκίνητο, και πάντα ανοίγει την πόρτα με μια κατσίκα και προσφέρει να αλλάξει την επιλογή) - η πιθανότητα να κερδίσετε θα είναι πάντα ίση με μία στις τρεις. Αυτό ονομάζεται ισορροπία Nash.
Όπως και στην ίδια περίπτωση, αλλά με την προϋπόθεση ότι ο παρουσιαστής δεν υποχρεούται να ανοίξειμία από τις πόρτες καθόλου - η πιθανότητα να κερδίσετε θα είναι ακόμα 1/3.
Ενώ το κλασικό σχήμα είναι αρκετά εύκολο να δοκιμαστεί, τα πειράματα με άλλους πιθανούς αλγόριθμους συμπεριφοράς ηγέτη είναι πολύ πιο δύσκολο να εκτελεστούν στην πράξη. Αλλά με τη δέουσα σχολαστικότητα του πειραματιστή, αυτό είναι επίσης δυνατό.
Κι όμως, ποιο είναι το νόημα όλων αυτών;
Η κατανόηση των μηχανισμών δράσης οποιωνδήποτε λογικών παραδόξων είναι πολύ χρήσιμη για ένα άτομο, τον εγκέφαλό του και την κατανόηση του πώς μπορεί πραγματικά να λειτουργήσει ο κόσμος, πόσο η δομή του μπορεί να διαφέρει από τη συνηθισμένη ιδέα ενός ατόμου για αυτόν.
Όσο περισσότερα γνωρίζει ένας άνθρωπος πώς λειτουργούν τα πράγματα γύρω του στην καθημερινή του ζωή και τι δεν έχει συνηθίσει να σκέφτεται καθόλου, τόσο καλύτερα λειτουργεί η συνείδησή του και τόσο πιο αποτελεσματικός μπορεί να είναι στις πράξεις και τις φιλοδοξίες του.
