Η βελτιστοποίηση σάς βοηθά να βρείτε το καλύτερο αποτέλεσμα που αποφέρει κέρδος, μειώνει το κόστος ή ορίζει μια παράμετρο που προκαλεί αποτυχίες επιχειρηματικής διαδικασίας.
Αυτή η διαδικασία ονομάζεται επίσης μαθηματικός προγραμματισμός. Επιλύει το πρόβλημα του προσδιορισμού της κατανομής των περιορισμένων πόρων που είναι απαραίτητοι για την επίτευξη του στόχου που έχει θέσει ο επικεφαλής του προβλήματος βελτιστοποίησης. Από όλες τις πιθανές επιλογές, είναι επιθυμητό να βρεθεί αυτή που μεγιστοποιεί (ή μειώνει) την παράμετρο ελέγχου, για παράδειγμα, το κέρδος ή το κόστος. Τα μοντέλα βελτιστοποίησης ονομάζονται επίσης κανονιστικά ή κανονιστικά επειδή επιδιώκουν να βρουν μια εφικτή στρατηγική για την επιχείρηση.
Ιστορικό ανάπτυξης
Ο γραμμικός προγραμματισμός (LP) λειτουργεί με μια κατηγορία προβλημάτων βελτιστοποίησης όπου όλοι οι περιορισμοί είναι γραμμικοί.
Παρουσιάζοντας ένα σύντομο ιστορικό της ανάπτυξης του LP:
- Το 1762, ο Lagrange έλυσε απλά προβλήματα βελτιστοποίησης με περιορισμούς ισότητας.
- Το 1820, ο Γκάους αποφάσισεγραμμικό σύστημα εξισώσεων με χρήση εξάλειψης.
- Το 1866, ο Wilhelm Jordan τελειοποίησε τη μέθοδο εύρεσης σφαλμάτων ελαχίστων τετραγώνων ως κριτήριο εφαρμογής. Αυτή τώρα ονομάζεται μέθοδος Gauss-Jordan.
- Ο ψηφιακός υπολογιστής εμφανίστηκε το 1945.
- Ο Danzig εφηύρε μεθόδους simplex το 1947.
- Το 1968, ο Fiacco και ο McCormick εισήγαγαν τη μέθοδο Inside Point.
- Το 1984, ο Karmarkar εφάρμοσε τη μέθοδο εσωτερικού για την επίλυση γραμμικών προγραμμάτων, προσθέτοντας την καινοτόμο ανάλυσή του.
Το LP έχει αποδειχθεί ότι είναι ένα εξαιρετικά ισχυρό εργαλείο τόσο για τη μοντελοποίηση προβλημάτων του πραγματικού κόσμου όσο και ως μια ευρέως εφαρμοσμένη μαθηματική θεωρία. Ωστόσο, πολλά ενδιαφέροντα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι μη γραμμικά.
Τι να κάνετε σε αυτήν την περίπτωση; Η μελέτη τέτοιων προβλημάτων περιλαμβάνει ένα ποικίλο μείγμα γραμμικής άλγεβρας, πολυμεταβλητού λογισμού, αριθμητικής ανάλυσης και υπολογιστικών μεθόδων. Οι επιστήμονες αναπτύσσουν υπολογιστικούς αλγόριθμους, συμπεριλαμβανομένων μεθόδων εσωτερικού σημείου για γραμμικό προγραμματισμό, γεωμετρία, ανάλυση κυρτών συνόλων και συναρτήσεων και μελέτη ειδικά δομημένων προβλημάτων όπως ο τετραγωνικός προγραμματισμός.
Η μη γραμμική βελτιστοποίηση παρέχει μια θεμελιώδη κατανόηση της μαθηματικής ανάλυσης και χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορους τομείς όπως η μηχανική, η ανάλυση παλινδρόμησης, η διαχείριση πόρων, η γεωφυσική εξερεύνηση και η οικονομία.
Ταξινόμηση προβλημάτων βελτιστοποίησης
Ένα σημαντικό βήμαΗ διαδικασία βελτιστοποίησης είναι η ταξινόμηση μοντέλων, αφού οι αλγόριθμοι επίλυσής τους είναι προσαρμοσμένοι σε συγκεκριμένο τύπο.
1. Προβλήματα με διακριτή και συνεχή βελτιστοποίηση. Ορισμένα μοντέλα έχουν νόημα μόνο εάν οι μεταβλητές λαμβάνουν τιμές από ένα διακριτό υποσύνολο ακεραίων αριθμών. Άλλα περιέχουν δεδομένα που μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε πραγματική αξία. Συνήθως είναι πιο εύκολο να λυθούν. Οι βελτιώσεις στους αλγόριθμους, σε συνδυασμό με τις προόδους στην τεχνολογία των υπολογιστών, έχουν αυξήσει δραματικά το μέγεθος και την πολυπλοκότητα ενός προβλήματος βελτιστοποίησης γραμμικού προγραμματισμού.
2. Απεριόριστη και περιορισμένη βελτιστοποίηση. Μια άλλη σημαντική διαφορά είναι οι εργασίες όπου δεν υπάρχει περιορισμός στις μεταβλητές. Μπορεί να κυμαίνεται ευρέως από απλούς εκτιμητές έως συστήματα ισοτήτων και ανισοτήτων που μοντελοποιούν πολύπλοκες σχέσεις μεταξύ δεδομένων. Τέτοια προβλήματα βελτιστοποίησης μπορούν να ταξινομηθούν περαιτέρω ανάλογα με τη φύση των συναρτήσεων (γραμμικά και μη γραμμικά, κυρτά και ομαλά, διαφοροποιήσιμα και μη διαφοροποιήσιμα).
3. Καθήκοντα σκοπιμότητας. Στόχος τους είναι να βρουν μεταβλητές τιμές που ικανοποιούν περιορισμούς μοντέλου χωρίς συγκεκριμένο στόχο βελτιστοποίησης.
4. Εργασίες συμπληρωματικότητας. Χρησιμοποιούνται ευρέως στην τεχνολογία και την οικονομία. Στόχος είναι να βρεθεί μια λύση που να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις συμπληρωματικότητας. Στην πράξη, οι εργασίες με πολλούς στόχους συχνά επαναδιατυπώνονται σε μεμονωμένους στόχους.
5. Ντετερμινιστική έναντι στοχαστικής βελτιστοποίησης. Η ντετερμινιστική βελτιστοποίηση προϋποθέτει ότι τα δεδομένα γιαοι εργασίες είναι απόλυτα ακριβείς. Ωστόσο, σε πολλά επίκαιρα ζητήματα δεν μπορούν να γίνουν γνωστά για πολλούς λόγους.
Το πρώτο έχει να κάνει με ένα απλό σφάλμα μέτρησης. Ο δεύτερος λόγος είναι πιο θεμελιώδης. Βρίσκεται στο γεγονός ότι ορισμένα δεδομένα αντιπροσωπεύουν πληροφορίες για το μέλλον, για παράδειγμα, τη ζήτηση για ένα προϊόν ή την τιμή για μια μελλοντική χρονική περίοδο. Κατά τη βελτιστοποίηση υπό συνθήκες στοχαστικής βελτιστοποίησης, η αβεβαιότητα περιλαμβάνεται στο μοντέλο.
Κύρια στοιχεία
Η αντικειμενική συνάρτηση είναι αυτή που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί ή να μεγιστοποιηθεί. Οι περισσότεροι τύποι προβλημάτων βελτιστοποίησης έχουν μία αντικειμενική συνάρτηση. Εάν όχι, συχνά μπορούν να επαναδιαμορφωθούν ώστε να λειτουργούν.
Δύο εξαιρέσεις σε αυτόν τον κανόνα:
1. Εργασία αναζήτησης στόχου. Στις περισσότερες επιχειρηματικές εφαρμογές, ο διαχειριστής θέλει να επιτύχει έναν συγκεκριμένο στόχο, ικανοποιώντας παράλληλα τους περιορισμούς του μοντέλου. Ο χρήστης δεν θέλει ιδιαίτερα να βελτιστοποιήσει κάτι, επομένως δεν έχει νόημα να ορίσει μια αντικειμενική συνάρτηση. Αυτός ο τύπος αναφέρεται συνήθως ως πρόβλημα ικανοποίησης.
2. Πολλά αντικειμενικά χαρακτηριστικά. Συχνά, ένας χρήστης θα ήθελε να βελτιστοποιήσει πολλούς διαφορετικούς στόχους ταυτόχρονα. Συνήθως είναι ασύμβατες. Οι μεταβλητές που βελτιστοποιούνται για έναν στόχο μπορεί να μην είναι οι καλύτερες για άλλους.
Τύποι στοιχείων:
- Μια ελεγχόμενη είσοδος είναι ένα σύνολο μεταβλητών απόφασης που επηρεάζουν την τιμή μιας αντικειμενικής συνάρτησης. Σε μια εργασία παραγωγής, οι μεταβλητές μπορεί να περιλαμβάνουν την κατανομή των διαφόρων διαθέσιμων πόρων ή την απαιτούμενη εργασίακάθε ενέργεια.
- Οι περιορισμοί είναι σχέσεις μεταξύ μεταβλητών απόφασης και παραμέτρων. Για ένα πρόβλημα παραγωγής, δεν έχει νόημα να αφιερώνετε πολύ χρόνο σε οποιαδήποτε δραστηριότητα, επομένως περιορίστε όλες τις "προσωρινές" μεταβλητές.
- Πιθανές και βέλτιστες λύσεις. Η τιμή της απόφασης για τις μεταβλητές, κάτω από τις οποίες πληρούνται όλοι οι περιορισμοί, ονομάζεται ικανοποιητική. Οι περισσότεροι αλγόριθμοι πρώτα το βρίσκουν και μετά προσπαθούν να το βελτιώσουν. Τέλος, αλλάζουν μεταβλητές για να μετακινηθούν από τη μια εφικτή λύση στην άλλη. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου η αντικειμενική συνάρτηση φτάσει στο μέγιστο ή στο ελάχιστο της. Αυτό το αποτέλεσμα ονομάζεται η βέλτιστη λύση.
Οι αλγόριθμοι προβλημάτων βελτιστοποίησης που έχουν αναπτυχθεί για τα ακόλουθα μαθηματικά προγράμματα χρησιμοποιούνται ευρέως:
- Κυρτό.
- Separable.
- Τετραγωνικό.
- Geometric.
Google Linear Solvers
Γραμμική βελτιστοποίηση ή προγραμματισμός είναι το όνομα που δίνεται στην υπολογιστική διαδικασία της βέλτιστης επίλυσης ενός προβλήματος. Μοντελοποιείται ως ένα σύνολο γραμμικών σχέσεων που προκύπτουν σε πολλούς επιστημονικούς και μηχανικούς κλάδους.
Η Google προσφέρει τρεις τρόπους επίλυσης προβλημάτων γραμμικής βελτιστοποίησης:
- Βιβλιοθήκη ανοιχτού κώδικα Glop.
- Πρόσθετο Γραμμικής Βελτιστοποίησης για Φύλλα Google.
- Υπηρεσία Γραμμικής Βελτιστοποίησης στο Σενάριο Εφαρμογών Google.
Το Glop είναι ενσωματωμένο στο Googleγραμμικός επιλύτης. Είναι διαθέσιμο σε ανοιχτό κώδικα. Μπορείτε να αποκτήσετε πρόσβαση στο Glop μέσω του περιτυλίγματος γραμμικού λύτη OR-Tools, το οποίο είναι ένα περιτύλιγμα για το Glop.
Η ενότητα Γραμμικής βελτιστοποίησης για τα Φύλλα Google σάς επιτρέπει να εκτελέσετε μια γραμμική δήλωση του προβλήματος βελτιστοποίησης εισάγοντας δεδομένα σε ένα υπολογιστικό φύλλο.
Τετραγωνικός προγραμματισμός
Η πλατφόρμα Premium Solver χρησιμοποιεί μια εκτεταμένη έκδοση LP/Quadratic της μεθόδου Simplex με όρια επεξεργασίας προβλημάτων LP και QP έως και 2000 μεταβλητές απόφασης.
SQP Επίλυση προβλημάτων μεγάλης κλίμακας χρησιμοποιεί μια σύγχρονη εφαρμογή της μεθόδου ενεργού συνόλου με αραιότητα για την επίλυση προβλημάτων τετραγωνικού προγραμματισμού (QP). Ο κινητήρας επίλυσης XPRESS χρησιμοποιεί μια φυσική επέκταση της μεθόδου "Interior Point" ή Newton Barrier για την επίλυση προβλημάτων QP.
Το MOSEK Solver εφαρμόζει ενσωματωμένες μεθόδους "Inside Point" και αυτόματες διπλές μεθόδους. Αυτό είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικό για χαλαρά συνδεδεμένα προβλήματα QP. Μπορεί επίσης να λύσει τα προβλήματα τετραγωνικού περιορισμού κλίμακας (QCP) και προγραμματισμού κώνου δεύτερης τάξης (SOCP).
Υπολογισμοί πολλαπλών λειτουργιών
Χρησιμοποιούνται με μεγάλη επιτυχία με τη χρήση των δυνατοτήτων του Microsoft Office, για παράδειγμα, επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης στο Excel.
Στον παραπάνω πίνακα, τα σύμβολα είναι:
- K1 - K6 - πελάτες που πρέπει να παρέχουν αγαθά.
- Το S1 - S6 είναι πιθανές εγκαταστάσεις παραγωγής που θα μπορούσαν να κατασκευαστούν για αυτό. Μπορεί να δημιουργηθεί1, 2, 3, 4, 5 ή και οι 6 τοποθεσίες.
Υπάρχουν σταθερά κόστη για κάθε εγκατάσταση που αναφέρονται στη στήλη I (Διόρθωση).
Αν η τοποθεσία δεν αλλάξει τίποτα, δεν θα μετρήσει. Τότε δεν θα υπάρχουν σταθερά έξοδα.
Εντοπίστε πιθανές τοποθεσίες για να έχετε το χαμηλότερο κόστος.
Σε αυτές τις συνθήκες, η τοποθεσία είτε έχει καθοριστεί είτε όχι. Αυτές οι δύο καταστάσεις είναι: "ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ" ή "1 - 0". Υπάρχουν έξι καταστάσεις για έξι τοποθεσίες, για παράδειγμα, το 000001 έχει οριστεί μόνο στην έκτη, το 111111 έχει οριστεί σε όλες.
Στο δυαδικό σύστημα αριθμών, υπάρχουν ακριβώς 63 διαφορετικές επιλογές από 000001 (1) έως 111111 (63).
Το L2-L64 θα πρέπει τώρα να διαβάζει {=ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ (K1)}, αυτά είναι τα αποτελέσματα όλων των εναλλακτικών λύσεων. Τότε η ελάχιστη τιμή είναι=Min (L) και η αντίστοιχη εναλλακτική είναι INDEX (K).
CPLEX Ακέραιος Προγραμματισμός
Μερικές φορές μια γραμμική σχέση δεν αρκεί για να φτάσετε στην καρδιά ενός επαγγελματικού προβλήματος. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα όταν οι αποφάσεις περιλαμβάνουν διακριτές επιλογές, όπως το αν θα ανοίξει ή όχι μια αποθήκη σε μια συγκεκριμένη τοποθεσία. Σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να χρησιμοποιείται ακέραιος προγραμματισμός.
Αν το πρόβλημα περιλαμβάνει διακριτές και συνεχείς επιλογές, είναι ένα πρόγραμμα μεικτού ακέραιου αριθμού. Μπορεί να έχει γραμμικά, κυρτά τετραγωνικά προβλήματα και τους ίδιους περιορισμούς δεύτερης τάξης.
Τα ακέραια προγράμματα είναι πολύ πιο περίπλοκα από τα γραμμικά προγράμματα, αλλά έχουν σημαντικές επιχειρηματικές εφαρμογές. ΛογισμικόΤο λογισμικό CPLEX χρησιμοποιεί πολύπλοκες μαθηματικές μεθόδους για την επίλυση ακέραιων προβλημάτων. Οι μέθοδοι του περιλαμβάνουν τη συστηματική αναζήτηση πιθανών συνδυασμών διακριτών μεταβλητών χρησιμοποιώντας γραμμικές ή τετραγωνικές χαλαρώσεις λογισμικού για τον υπολογισμό των ορίων στην τιμή της βέλτιστης λύσης.
Χρησιμοποιούν επίσης LP και άλλες μεθόδους επίλυσης προβλημάτων βελτιστοποίησης για τον υπολογισμό των περιορισμών.
Τυπική λύση Microsoft Excel
Αυτή η τεχνολογία χρησιμοποιεί τη βασική υλοποίηση της κύριας μεθόδου Simplex για την επίλυση προβλημάτων LP. Περιορίζεται σε 200 μεταβλητές. Το "Premium Solver" χρησιμοποιεί μια βελτιωμένη μέθοδο πρωτογενούς simplex με όρια διπλής όψης για μεταβλητές. Η πλατφόρμα Premium Solver χρησιμοποιεί μια εκτεταμένη έκδοση του LP/Quadratic Simplex Solver για την επίλυση ενός προβλήματος βελτιστοποίησης με έως και 2000 μεταβλητές απόφασης.
LP μεγάλης κλίμακας για την πλατφόρμα Premium Solver εφαρμόζει μια εφαρμογή αιχμής της μεθόδου απλής και διπλής απλής μεθόδου, η οποία χρησιμοποιεί αραιότητα στο μοντέλο LP για εξοικονόμηση χρόνου και μνήμης, προηγμένες στρατηγικές για ενημέρωση και ανακατασκευή πινάκων, πολλαπλών και μερικών τιμών και περιστροφών, και για την αντιμετώπιση του εκφυλισμού. Αυτός ο κινητήρας είναι διαθέσιμος σε τρεις εκδόσεις (με δυνατότητα χειρισμού έως 8.000, 32.000 ή απεριόριστες μεταβλητές και όρια).
Το MOSEK Solver περιλαμβάνει πρωτεύον και dual simplex, μια μέθοδο που εκμεταλλεύεται επίσης την αραιότητα και χρησιμοποιεί προηγμένες στρατηγικές για την ενημέρωση και την "επανακατασκευή πινάκων". Λύνει προβλήματα απεριόριστου μεγέθους, ήτανδοκιμάστηκε σε προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού με εκατομμύρια μεταβλητές απόφασης.
Παράδειγμα βήμα προς βήμα στο EXCEL
Για να ορίσετε το μοντέλο προβλήματος βελτιστοποίησης στο Excel, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:
- Οργάνωσε τα δεδομένα για το πρόβλημα σε ένα υπολογιστικό φύλλο σε λογική μορφή.
- Επιλέξτε ένα κελί για να αποθηκεύσετε κάθε μεταβλητή.
- Δημιουργήστε στο κελί έναν τύπο για τον υπολογισμό του μαθηματικού μοντέλου στόχου του προβλήματος βελτιστοποίησης.
- Δημιουργήστε τύπους για να υπολογίσετε την αριστερή πλευρά κάθε περιορισμού.
- Χρησιμοποιήστε παράθυρα διαλόγου στο Excel για να ενημερώσετε το Solver σχετικά με τις μεταβλητές απόφασης, τους στόχους, τους περιορισμούς και τα επιθυμητά όρια σε αυτές τις παραμέτρους.
- Εκτελέστε το "Solver" για να βρείτε τη βέλτιστη λύση.
- Δημιουργία φύλλου Excel.
- Οργάνωση των δεδομένων για το πρόβλημα στο Excel όπου υπολογίζεται ο τύπος για τη συνάρτηση στόχου και τον περιορισμό.
Στον παραπάνω πίνακα, τα κελιά B4, C4, D4 και E4 έχουν δεσμευτεί για να αντιπροσωπεύουν τις μεταβλητές απόφασης X 1, X 2, X 3 και X 4. Παραδείγματα απόφασης:
- Το μοντέλο συνδυασμού προϊόντων (450 $, 1150 $, 800 $ και 400 $ κέρδος ανά προϊόν) εισήχθη στα κελιά B5, C5, D5 και E5, αντίστοιχα. Αυτό επιτρέπει τον υπολογισμό του στόχου σε F5=B5B4 + C5C4 + D5D4 + E5E4 ή F5:=SUMPRODUCT (B5: E5, B4: E4).
- Στο B8 εισαγάγετε την ποσότητα των πόρων που απαιτούνται για την κατασκευή κάθε τύπου προϊόντος.
- Τύπος για F8:=SUMPRODUCT(B8:E8, $B$4:$E$4).
- Αντιγράψτε αυτότύπος στο F9. Τα σημάδια του δολαρίου στο $B$4:$E$4 υποδεικνύουν ότι αυτό το εύρος κελιών παραμένει σταθερό.
- Στο G8 εισαγάγετε τη διαθέσιμη ποσότητα πόρων κάθε τύπου, που αντιστοιχεί στις τιμές των περιορισμών στα δεξιά. Αυτό σας επιτρέπει να τα εκφράσετε ως εξής: F11<=G8: G11.
- Αυτό ισοδυναμεί με τέσσερα όρια F8<=G8, F9 <=G9, F10 <=G10 και F11=0
Πεδία πρακτικής εφαρμογής της μεθόδου
Η γραμμική βελτιστοποίηση έχει πολλές πρακτικές εφαρμογές ως παράδειγμα προβλήματος βελτιστοποίησης:
Μια εταιρεία μπορεί να παράγει πολλά προϊόντα με γνωστό περιθώριο συνεισφοράς. Η παραγωγή μιας μονάδας κάθε είδους απαιτεί μια γνωστή ποσότητα περιορισμένων πόρων. Ο στόχος είναι να δημιουργήσετε ένα πρόγραμμα παραγωγής για να καθορίσετε πόσο από κάθε προϊόν θα πρέπει να παραχθεί, έτσι ώστε το κέρδος της εταιρείας να μεγιστοποιείται χωρίς να παραβιάζονται περιορισμοί πόρων.
Τα προβλήματα ανάμειξης είναι η λύση σε προβλήματα βελτιστοποίησης που σχετίζονται με τον συνδυασμό συστατικών στο τελικό προϊόν. Ένα παράδειγμα αυτού είναι το πρόβλημα της διατροφής που μελέτησε ο George Danzig το 1947. Δίνεται πλήθος πρώτων υλών, όπως βρώμη, χοιρινό και ηλιέλαιο, μαζί με το θρεπτικό τους περιεχόμενο, όπως πρωτεΐνες, λιπαρά, βιταμίνη Α και την τιμή τους ανά κιλό. Η πρόκληση είναι να αναμειχθούν ένα ή περισσότερα τελικά προϊόντα από πρώτες ύλες με το χαμηλότερο δυνατό κόστος, με ταυτόχρονη τήρηση των ελάχιστων και ανώτατων ορίων για τη θρεπτική τους αξία.
Μια κλασική εφαρμογή ενός προβλήματος γραμμικής βελτιστοποίησης είναι ο προσδιορισμός της δρομολόγησης για τις ανάγκεςκυκλοφορίας σε δίκτυα τηλεπικοινωνιών ή μεταφορών. Ταυτόχρονα, οι ροές πρέπει να δρομολογούνται μέσω του δικτύου με τέτοιο τρόπο ώστε να πληρούνται όλες οι απαιτήσεις κυκλοφορίας χωρίς να παραβιάζονται οι συνθήκες εύρους ζώνης.
Στη μαθηματική θεωρία, η γραμμική βελτιστοποίηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό βέλτιστων στρατηγικών σε παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος για δύο άτομα. Σε αυτή την περίπτωση, υπολογίζεται η κατανομή πιθανότητας για κάθε συμμετέχοντα, που είναι ο συντελεστής τυχαίας ανάμειξης των στρατηγικών του.
Καμία επιτυχημένη επιχειρηματική διαδικασία στον κόσμο δεν είναι δυνατή χωρίς βελτιστοποίηση. Υπάρχουν πολλοί διαθέσιμοι αλγόριθμοι βελτιστοποίησης. Ορισμένες μέθοδοι είναι κατάλληλες μόνο για συγκεκριμένους τύπους προβλημάτων. Είναι σημαντικό να μπορείτε να αναγνωρίσετε τα χαρακτηριστικά τους και να επιλέξετε την κατάλληλη μέθοδο λύσης.
