Ακόμη και στο σχολείο, όλοι οι μαθητές εξοικειώνονται με την έννοια της «Ευκλείδειας γεωμετρίας», οι κύριες διατάξεις της οποίας επικεντρώνονται σε διάφορα αξιώματα που βασίζονται σε γεωμετρικά στοιχεία όπως σημείο, επίπεδο, ευθεία, κίνηση. Όλοι μαζί σχηματίζουν αυτό που ήταν από καιρό γνωστό με τον όρο «Ευκλείδειος χώρος».
Ο Ευκλείδειος χώρος, του οποίου ο ορισμός βασίζεται στην έννοια του βαθμωτού πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων, είναι μια ειδική περίπτωση γραμμικού (συγγενικού) χώρου που ικανοποιεί μια σειρά από απαιτήσεις. Πρώτον, το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι απολύτως συμμετρικό, δηλαδή το διάνυσμα με συντεταγμένες (x;y) είναι ποσοτικά πανομοιότυπο με το διάνυσμα με συντεταγμένες (y;x), αλλά αντίθετο στην κατεύθυνση.
Δεύτερον, εάν εκτελεστεί το βαθμωτό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του, τότε το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας θα είναι θετικό. Η μόνη εξαίρεση θα είναι η περίπτωση που οι αρχικές και τελικές συντεταγμένες αυτού του διανύσματος είναι ίσες με μηδέν: σε αυτήν την περίπτωση, το γινόμενο με τον εαυτό του θα είναι επίσης ίσο με μηδέν.
Τρίτον, το κλιμακωτό γινόμενο είναι διανεμητικό, δηλαδή, είναι δυνατό να αποσυντεθεί μία από τις συντεταγμένες του στο άθροισμα δύο τιμών, που δεν θα συνεπάγονται αλλαγές στο τελικό αποτέλεσμα του βαθμωτού πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων. Τέλος, τέταρτον, όταν τα διανύσματα πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο πραγματικό αριθμό, το βαθμωτό γινόμενο τους θα αυξηθεί επίσης κατά τον ίδιο παράγοντα.
Αν πληρούνται και οι τέσσερις αυτές προϋποθέσεις, μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι έχουμε έναν Ευκλείδειο χώρο.
Ο Ευκλείδειος χώρος από πρακτική άποψη μπορεί να χαρακτηριστεί από τα ακόλουθα συγκεκριμένα παραδείγματα:
- Η απλούστερη περίπτωση είναι η παρουσία ενός συνόλου διανυσμάτων με ένα βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται σύμφωνα με τους βασικούς νόμους της γεωμετρίας.
- Ο Ευκλείδειος χώρος θα ληφθεί επίσης εάν με τα διανύσματα εννοούμε ένα ορισμένο πεπερασμένο σύνολο πραγματικών αριθμών με έναν δεδομένο τύπο που περιγράφει το κλιμακωτό άθροισμα ή το γινόμενο τους.
- Μια ειδική περίπτωση του Ευκλείδειου χώρου είναι ο λεγόμενος μηδενικός χώρος, ο οποίος προκύπτει εάν το βαθμωτό μήκος και των δύο διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν.
Ο Ευκλείδειος χώρος έχει μια σειρά από συγκεκριμένες ιδιότητες. Πρώτον, ο βαθμωτός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες τόσο από τον πρώτο όσο και από τον δεύτερο παράγοντα του κλιμακωτού προϊόντος, το αποτέλεσμα από αυτό δεν θα αλλάξει με κανέναν τρόπο. Δεύτερον, μαζί με την κατανομή του πρώτου στοιχείου του βαθμωτήπροϊόν, δρα και η διανεμητικότητα του δεύτερου στοιχείου. Επιπλέον, εκτός από το κλιμακωτό άθροισμα των διανυσμάτων, η κατανομή λαμβάνει χώρα και στην περίπτωση της αφαίρεσης του διανύσματος. Τέλος, τρίτον, όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται κλιμακωτικά με το μηδέν, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης μηδέν.
Έτσι, ο Ευκλείδειος χώρος είναι η πιο σημαντική γεωμετρική έννοια που χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων με την αμοιβαία διάταξη των διανυσμάτων σε σχέση μεταξύ τους, η οποία χαρακτηρίζεται από μια έννοια όπως το βαθμωτό γινόμενο.
