Ο Πυθαγόρας υποστήριξε ότι ο αριθμός βρίσκεται κάτω από τον κόσμο μαζί με τα βασικά στοιχεία. Ο Πλάτωνας πίστευε ότι ο αριθμός συνδέει το φαινόμενο με το όνομα, βοηθώντας στη γνώση, τη μέτρηση και την εξαγωγή συμπερασμάτων. Η αριθμητική προέρχεται από τη λέξη "arithmos" - ένας αριθμός, η αρχή των αρχών στα μαθηματικά. Μπορεί να περιγράψει οποιοδήποτε αντικείμενο - από ένα στοιχειώδες μήλο έως αφηρημένα κενά.
Οι ανάγκες ως παράγοντας ανάπτυξης
Στα πρώτα στάδια του σχηματισμού της κοινωνίας, οι ανάγκες των ανθρώπων περιορίζονταν στην ανάγκη να μετράνε - ένα σακί σιτηρά, δύο σακιά σιτηρά κ.λπ. Για αυτό αρκούσαν οι φυσικοί αριθμοί, το σύνολο των οποίων είναι μια άπειρη θετική ακολουθία ακεραίων N.
Αργότερα, με την ανάπτυξη των μαθηματικών ως επιστήμης, υπήρξε ανάγκη για ένα ξεχωριστό πεδίο ακεραίων Z - περιλαμβάνει αρνητικές τιμές και μηδέν. Η εμφάνισή του σε επίπεδο νοικοκυριού προκλήθηκε από το γεγονός ότι στην πρωτογενή λογιστική ήταν απαραίτητο να διορθωθεί με κάποιο τρόποχρέη και ζημίες. Σε επιστημονικό επίπεδο, οι αρνητικοί αριθμοί έχουν καταστήσει δυνατή την επίλυση των απλούστερων γραμμικών εξισώσεων. Μεταξύ άλλων, η εικόνα ενός τετριμμένου συστήματος συντεταγμένων έχει πλέον καταστεί δυνατή, αφού έχει εμφανιστεί ένα σημείο αναφοράς.
Το επόμενο βήμα ήταν η ανάγκη εισαγωγής κλασματικών αριθμών, καθώς η επιστήμη δεν έμεινε ακίνητη, όλο και περισσότερες ανακαλύψεις απαιτούσαν μια θεωρητική βάση για μια νέα ώθηση ανάπτυξης. Έτσι εμφανίστηκε το πεδίο των ρητών αριθμών Q.
Τελικά, ο ορθολογισμός έπαψε να ικανοποιεί αιτήματα, γιατί όλα τα νέα συμπεράσματα απαιτούσαν αιτιολόγηση. Εκεί εμφανίστηκε το πεδίο των πραγματικών αριθμών R, τα έργα του Ευκλείδη για την ασυμμετρία ορισμένων ποσοτήτων λόγω του παραλογισμού τους. Δηλαδή, οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί τοποθέτησαν τον αριθμό όχι μόνο ως σταθερό, αλλά και ως αφηρημένο μέγεθος, το οποίο χαρακτηρίζεται από την αναλογία των ασύμμετρων μεγεθών. Λόγω του γεγονότος ότι εμφανίστηκαν πραγματικοί αριθμοί, ποσότητες όπως το "pi" και το "e" "είδαν το φως", χωρίς τα οποία δεν θα μπορούσαν να πραγματοποιηθούν τα σύγχρονα μαθηματικά.
Η τελική καινοτομία ήταν ο μιγαδικός αριθμός C. Απάντησε σε ορισμένες ερωτήσεις και διέψευσε τα αξιώματα που εισήχθησαν προηγουμένως. Λόγω της ταχείας ανάπτυξης της άλγεβρας, το αποτέλεσμα ήταν προβλέψιμο - έχοντας πραγματικούς αριθμούς, η επίλυση πολλών προβλημάτων ήταν αδύνατη. Για παράδειγμα, χάρη στους μιγαδικούς αριθμούς, η θεωρία των χορδών και του χάους ξεχώρισε και οι εξισώσεις της υδροδυναμικής επεκτάθηκαν.
Θεωρία συνόλων. Ψάλτης
Η έννοια του άπειρου ανά πάσα στιγμήπροκάλεσε διαμάχη, αφού δεν μπορούσε ούτε να αποδειχθεί ούτε να διαψευστεί. Στο πλαίσιο των μαθηματικών, τα οποία λειτουργούσαν με αυστηρά επαληθευμένα αξιώματα, αυτό εκδηλώθηκε με μεγαλύτερη σαφήνεια, ειδικά επειδή η θεολογική πτυχή εξακολουθούσε να έχει βάρος στην επιστήμη.
Ωστόσο, χάρη στο έργο του μαθηματικού Georg Kantor, όλα μπήκαν στη θέση τους με τον καιρό. Απέδειξε ότι υπάρχει άπειρος αριθμός άπειρων συνόλων και ότι το πεδίο R είναι μεγαλύτερο από το πεδίο N, ακόμα κι αν και τα δύο δεν έχουν τέλος. Στα μέσα του 19ου αιώνα, οι ιδέες του αποκαλούνταν δυνατά ανοησίες και έγκλημα κατά των κλασικών, ακλόνητων κανόνων, αλλά ο χρόνος έβαλε τα πάντα στη θέση τους.
Βασικές ιδιότητες του πεδίου R
Οι πραγματικοί αριθμοί δεν έχουν μόνο τις ίδιες ιδιότητες με τα υποσύνολα που περιλαμβάνονται σε αυτούς, αλλά συμπληρώνονται και από άλλα λόγω της κλίμακας των στοιχείων τους:
- Το Το μηδέν υπάρχει και ανήκει στο πεδίο R. c + 0=c για οποιοδήποτε c από το R.
- Το Το μηδέν υπάρχει και ανήκει στο πεδίο R. c x 0=0 για οποιοδήποτε c από το R.
- Η σχέση c: d για d ≠ 0 υπάρχει και ισχύει για οποιοδήποτε c, d από το R.
- Το πεδίο R είναι ταξινομημένο, δηλαδή, αν c ≦ d, d ≦ c, τότε c=d για οποιοδήποτε c, d από το R.
- Η προσθήκη στο πεδίο R είναι ανταλλάξιμη, δηλ. c + d=d + c για οποιοδήποτε c, d από το R.
- Ο πολλαπλασιασμός στο πεδίο R είναι ανταλλάξιμος, δηλ. c x d=d x c για οποιοδήποτε c, d από το R.
- Η προσθήκη στο πεδίο R είναι συσχετιστική, δηλ. (c + d) + f=c + (d + f) για οποιαδήποτε c, d, f από το R.
- Ο πολλαπλασιασμός στο πεδίο R είναι συσχετιστικός, δηλ. (c x d) x f=c x (d x f) για οποιαδήποτε c, d, f από το R.
- Για κάθε αριθμό στο πεδίο R, υπάρχει ένα αντίθετο, έτσι ώστε c + (-c)=0, όπου c, -c είναι από το R.
- Για κάθε αριθμό από το πεδίο R υπάρχει το αντίστροφό του, έτσι ώστε c x c-1 =1, όπου c, c-1 από R.
- Η μονάδα υπάρχει και ανήκει στο R, άρα c x 1=c, για οποιοδήποτε c από το R.
- Ο νόμος κατανομής είναι έγκυρος, επομένως c x (d + f)=c x d + c x f, για οποιαδήποτε c, d, f από το R.
- Στο πεδίο R, το μηδέν δεν είναι ίσο με ένα.
- Το πεδίο R είναι μεταβατικό: αν c ≦ d, d ≦ f, τότε c ≦ f για οποιοδήποτε c, d, f από το R.
- Στο πεδίο R, η σειρά και η πρόσθεση σχετίζονται: αν c ≦ d, τότε c + f ≦ d + f για οποιαδήποτε c, d, f από το R.
- Στο πεδίο R, η σειρά και ο πολλαπλασιασμός σχετίζονται: αν 0 ≦ c, 0 ≦ d, τότε 0 ≦ c x d για οποιοδήποτε c, d από το R.
- Και οι αρνητικοί και οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί είναι συνεχείς, δηλαδή, για κάθε c, d από το R, υπάρχει ένα f από το R έτσι ώστε c ≦ f ≦ d.
Ενότητα στο πεδίο R
Οι πραγματικοί αριθμοί περιλαμβάνουν συντελεστή.
Συμβολίζεται ως |f| για οποιοδήποτε f από το R. |f|=f εάν 0 ≦ f και |f|=-f εάν 0 > f. Αν θεωρήσουμε το συντελεστή ως γεωμετρικό μέγεθος, τότε είναι η απόσταση που διανύσατε - δεν έχει σημασία αν «περάσατε» το μηδέν στο μείον ή στο συν.
Μιγαδικοί και πραγματικοί αριθμοί. Ποιες είναι οι ομοιότητες και ποιες οι διαφορές;
Σε μεγάλο βαθμό, οι μιγαδικοί και οι πραγματικοί αριθμοί είναι ένα και το αυτό, εκτός από αυτόφανταστική μονάδα i, της οποίας το τετράγωνο είναι -1. Τα στοιχεία των πεδίων R και C μπορούν να αναπαρασταθούν ως ο ακόλουθος τύπος:
c=d + f x i, όπου τα d, f ανήκουν στο πεδίο R και i είναι η φανταστική μονάδα
Για να ληφθεί το c από το R σε αυτήν την περίπτωση, η f τίθεται απλώς ίση με το μηδέν, δηλαδή, παραμένει μόνο το πραγματικό μέρος του αριθμού. Λόγω του γεγονότος ότι το πεδίο των μιγαδικών αριθμών έχει το ίδιο σύνολο ιδιοτήτων με το πεδίο των πραγματικών αριθμών, f x i=0 εάν f=0.
Σχετικά με τις πρακτικές διαφορές, για παράδειγμα, στο πεδίο R, η δευτεροβάθμια εξίσωση δεν λύνεται εάν η διάκριση είναι αρνητική, ενώ το πεδίο C δεν επιβάλλει τέτοιο περιορισμό λόγω της εισαγωγής της φανταστικής μονάδας i.
Αποτελέσματα
Τα «τούβλα» των αξιωμάτων και των αξιωμάτων στα οποία βασίζονται τα μαθηματικά δεν αλλάζουν. Λόγω της αύξησης της πληροφόρησης και της εισαγωγής νέων θεωριών, σε ορισμένες από αυτές τοποθετούνται τα ακόλουθα «τούβλα», που στο μέλλον μπορούν να γίνουν η βάση για το επόμενο βήμα. Για παράδειγμα, οι φυσικοί αριθμοί, παρά το γεγονός ότι αποτελούν υποσύνολο του πραγματικού πεδίου R, δεν χάνουν τη συνάφειά τους. Σε αυτούς βασίζεται όλη η στοιχειώδης αριθμητική, με την οποία ξεκινά η ανθρώπινη γνώση του κόσμου.
Από πρακτική άποψη, οι πραγματικοί αριθμοί μοιάζουν με ευθεία γραμμή. Σε αυτό μπορείτε να επιλέξετε την κατεύθυνση, να ορίσετε την προέλευση και το βήμα. Μια ευθεία αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό σημείων, καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό, ανεξάρτητα από το αν είναι ρητό ή όχι. Είναι σαφές από την περιγραφή ότι μιλάμε για μια έννοια πάνω στην οποία δομούνται τόσο τα μαθηματικά γενικά όσο και η μαθηματική ανάλυση γενικότερα.συγκεκριμένα.
