Για αρχή, αξίζει να θυμάστε τι είναι η διαφορά και τι μαθηματική σημασία έχει.
Το διαφορικό μιας συνάρτησης είναι το γινόμενο της παραγώγου μιας συνάρτησης από ένα όρισμα και το διαφορικό του ίδιου του ορίσματος. Μαθηματικά, αυτή η έννοια μπορεί να γραφτεί ως έκφραση: dy=y'dx.
Με τη σειρά του, σύμφωνα με τον ορισμό της παραγώγου της συνάρτησης, η ισότητα y'=lim dx-0(dy/dx) είναι αληθής και σύμφωνα με τον ορισμό του ορίου, η έκφραση dy/dx=x'+α, όπου η παράμετρος α είναι μια απειροελάχιστη μαθηματική τιμή.
Επομένως, και τα δύο μέρη της παράστασης θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με dx, το οποίο τελικά δίνει dy=y'dx+αdx, όπου dx είναι μια απειροελάχιστη αλλαγή στο όρισμα, (αdx) είναι μια τιμή που μπορεί να παραμεληθεί, τότε το dy είναι η αύξηση της συνάρτησης και (ydx) είναι το κύριο μέρος της αύξησης ή του διαφορικού.
Το διαφορικό μιας συνάρτησης είναι το γινόμενο της παραγώγου μιας συνάρτησης και το διαφορικό του ορίσματος.
Τώρα αξίζει να εξετάσουμε τους βασικούς κανόνες διαφοροποίησης, οι οποίοι χρησιμοποιούνται αρκετά συχνά στη μαθηματική ανάλυση.
Θεώρημα. Η παράγωγος του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων που λαμβάνονται από τους όρους: (a+c)'=a'+c'.
Ομοίωςαυτός ο κανόνας θα ισχύει επίσης για την εύρεση της παραγώγου της διαφοράς.
Η συνέπεια αυτού του κανόνα διαφοροποίησης είναι η δήλωση ότι η παράγωγος ενός συγκεκριμένου αριθμού όρων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων που λαμβάνονται από αυτούς τους όρους.
Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε την παράγωγο της έκφρασης (a+c-k)', τότε το αποτέλεσμα θα είναι η έκφραση a'+c'-k'.
Θεώρημα. Η παράγωγος του γινομένου των μαθηματικών συναρτήσεων που είναι διαφοροποιήσιμες σε ένα σημείο είναι ίση με το άθροισμα που αποτελείται από το γινόμενο του πρώτου παράγοντα και την παράγωγο του δεύτερου και το γινόμενο του δεύτερου παράγοντα και την παράγωγο του πρώτου.
Μαθηματικά, το θεώρημα θα γραφτεί ως εξής: (ac)'=ac'+a'c. Συνέπεια του θεωρήματος είναι το συμπέρασμα ότι ο σταθερός παράγοντας στην παράγωγο του γινομένου μπορεί να αφαιρεθεί από την παράγωγο της συνάρτησης.
Σε μορφή αλγεβρικής παράστασης, αυτός ο κανόνας θα γραφτεί ως εξής: (ac)'=ac', όπου a=const.
Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε την παράγωγο της έκφρασης (2a3)', τότε το αποτέλεσμα θα είναι η απάντηση: 2(a3)'=23a2=6a2.
Θεώρημα. Η παράγωγος του λόγου των συναρτήσεων είναι ίση με την αναλογία μεταξύ της διαφοράς μεταξύ της παραγώγου του αριθμητή πολλαπλασιαζόμενη με τον παρονομαστή και του αριθμητή πολλαπλασιαζόμενη με την παράγωγο του παρονομαστή και του τετραγώνου του παρονομαστή.
Μαθηματικά, το θεώρημα θα γραφτεί ως εξής: (a/c)'=(a'c-ac')/c2.
Συμπερασματικά, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι κανόνες για τη διαφοροποίηση των μιγαδικών συναρτήσεων.
Θεώρημα. Έστω η συνάρτηση y \u003d f (x), όπου x \u003d c (t), μετά η συνάρτηση y, σε σχέση μεστη μεταβλητή m, ονομάζεται μιγαδικός.
Έτσι, στη μαθηματική ανάλυση, η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης ερμηνεύεται ως η παράγωγος της ίδιας της συνάρτησης, πολλαπλασιαζόμενη με την παράγωγο της υποσυνάρτησής της. Για ευκολία, οι κανόνες για τη διαφοροποίηση σύνθετων συναρτήσεων παρουσιάζονται με τη μορφή πίνακα.
f(x) |
f'(x) |
| (1/s)' | -(1/s2)s' |
| (ασ)' | ac(ln a)c' |
| (εσ)' | ecc' |
| (ln s)' | (1/s)s' |
| (καταγραφήc)' | 1/(σlg a)c' |
| (αμαρτία γ)' | cos ss' |
| (συν γ)' | -sin ss' |
Με την τακτική χρήση αυτού του πίνακα, τα παράγωγα είναι εύκολο να θυμάστε. Οι υπόλοιπες παράγωγοι μιγαδικών συναρτήσεων μπορούν να βρεθούν εφαρμόζοντας τους κανόνες για τη διαφοροποίηση των συναρτήσεων που δηλώθηκαν στα θεωρήματα και τα συμπεράσματά τους.
