Για να διευκολύνετε τον αναγνώστη να φανταστεί τι είναι ένα υπερβολοειδές - ένα τρισδιάστατο αντικείμενο - θα πρέπει πρώτα να εξετάσετε την κυρτή υπερβολή με το ίδιο όνομα, η οποία ταιριάζει σε ένα δισδιάστατο χώρο.
Μια υπερβολή έχει δύο άξονες: τον πραγματικό, που σε αυτό το σχήμα συμπίπτει με τον άξονα της τετμημένης, και τον φανταστικό, με τον άξονα y. Εάν αρχίσετε διανοητικά να στρέφετε την εξίσωση μιας υπερβολής γύρω από τον φανταστικό της άξονα, τότε η επιφάνεια που "βλέπεται" από την καμπύλη θα είναι ένα υπερβολοειδές μονού φύλλου.
Αν, ωστόσο, αρχίσουμε να περιστρέφουμε την υπερβολή γύρω από τον πραγματικό της άξονά με αυτόν τον τρόπο, τότε καθένα από τα δύο "μισά" της καμπύλης θα σχηματίσει τη δική του ξεχωριστή επιφάνεια και μαζί θα ονομαστεί δύο υπερβολοειδές φύλλου.
Λαμβάνονται περιστρέφοντας την αντίστοιχη επίπεδη καμπύλη, ονομάζονται αντίστοιχα υπερβολοειδή περιστροφής. Έχουν παραμέτρους προς όλες τις κατευθύνσεις κάθετες στον άξονα περιστροφής,που ανήκουν στην περιστρεφόμενη καμπύλη. Γενικά, αυτό δεν συμβαίνει.
Υπερβολοειδής εξίσωση
Γενικά, μια επιφάνεια μπορεί να οριστεί από τις ακόλουθες εξισώσεις σε καρτεσιανές συντεταγμένες(x, y, z):
Στην περίπτωση ενός υπερβολοειδούς περιστροφής, η συμμετρία του ως προς τον άξονα γύρω από τον οποίο περιστρεφόταν εκφράζεται στην ισότητα των συντελεστών a=b.
Υπερβολοειδή χαρακτηριστικά
Έχει ένα κόλπο. Γνωρίζουμε ότι οι καμπύλες σε ένα επίπεδο έχουν εστίες - στην περίπτωση μιας υπερβολής, για παράδειγμα, η μονάδα της διαφοράς αποστάσεων από ένα αυθαίρετο σημείο μιας υπερβολής σε μια εστία και η δεύτερη είναι σταθερή εξ ορισμού, στην πραγματικότητα, εστίασης πόντοι.
Όταν μετακινούμαστε σε τρισδιάστατο χώρο, ο ορισμός πρακτικά δεν αλλάζει: οι εστίες είναι και πάλι δύο σημεία και η διαφορά στις αποστάσεις από αυτά σε ένα αυθαίρετο σημείο που ανήκει στην υπερβολοειδή επιφάνεια είναι σταθερή. Όπως μπορείτε να δείτε, μόνο η τρίτη συντεταγμένη εμφανίστηκε από τις αλλαγές για όλα τα πιθανά σημεία, επειδή τώρα έχουν οριστεί στο διάστημα. Σε γενικές γραμμές, ο καθορισμός μιας εστίασης ισοδυναμεί με τον προσδιορισμό του τύπου της καμπύλης ή της επιφάνειας: μιλώντας για το πώς βρίσκονται τα σημεία της επιφάνειας σε σχέση με τις εστίες, απαντάμε στην πραγματικότητα στο ερώτημα τι είναι ένα υπερβολοειδές και πώς φαίνεται.
Αξίζει να θυμηθούμε ότι μια υπερβολή έχει ασύμπτωτες - ευθείες γραμμές, στις οποίες οι κλάδοι της τείνουν στο άπειρο. Εάν, όταν κατασκευάζουμε ένα υπερβολοειδές περιστροφής, περιστρέφουμε νοερά τις ασύμπτωτες μαζί με την υπερβολή, τότε εκτός από το υπερβολοειδές, θα έχουμε και έναν κώνο που ονομάζεται ασυμπτωτικός. Ο ασυμπτωτικός κώνος είναιγια υπερβολοειδή ενός φύλλου και δύο φύλλων.
Ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό που έχει μόνο ένα υπερβολοειδές ενός φύλλου είναι οι ευθύγραμμες γεννήτριες. Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτές είναι γραμμές και βρίσκονται εντελώς σε μια δεδομένη επιφάνεια. Δύο ευθύγραμμες γεννήτριες διέρχονται από κάθε σημείο ενός υπερβολοειδούς ενός φύλλου. Ανήκουν αντίστοιχα σε δύο οικογένειες γραμμών, οι οποίες περιγράφονται από τα ακόλουθα συστήματα εξισώσεων:
Έτσι, ένα υπερβολοειδές ενός φύλλου μπορεί να αποτελείται εξ ολοκλήρου από έναν άπειρο αριθμό ευθειών δύο οικογενειών, και κάθε γραμμή της μίας από αυτές θα τέμνεται με όλες τις γραμμές της άλλης. Οι επιφάνειες που αντιστοιχούν σε τέτοιες ιδιότητες ονομάζονται κατευθυνόμενες. μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας την περιστροφή μιας ευθείας γραμμής. Ο ορισμός μέσω της αμοιβαίας διάταξης των γραμμών (ευθύγραμμες γεννήτριες) στο χώρο μπορεί επίσης να χρησιμεύσει ως σαφής προσδιορισμός του τι είναι ένα υπερβολοειδές.
Ενδιαφέρουσες ιδιότητες ενός υπερβολοειδούς
Οι καμπύλες δεύτερης τάξης και οι αντίστοιχες επιφάνειες περιστροφής τους έχουν ενδιαφέρουσες οπτικές ιδιότητες που σχετίζονται με τις εστίες. Στην περίπτωση ενός υπερβολοειδούς, αυτό διατυπώνεται ως εξής: εάν μια ακτίνα εκτοξεύεται από μια εστία, τότε, αφού ανακλαστεί από τον πλησιέστερο "τοίχο", θα πάρει τέτοια κατεύθυνση σαν να προερχόταν από τη δεύτερη εστία.
Υπερβολοειδή στη ζωή
Πιθανότατα, οι περισσότεροι αναγνώστες ξεκίνησαν τη γνωριμία τους με την αναλυτική γεωμετρία και τις επιφάνειες δεύτερης τάξης από ένα μυθιστόρημα επιστημονικής φαντασίας του Αλεξέι Τολστόι«Υπερβολοειδής μηχανικός Garin». Ωστόσο, ο ίδιος ο συγγραφέας είτε δεν ήξερε καλά τι είναι ένα υπερβολοειδές είτε θυσίασε την ακρίβεια για χάρη της τέχνης: η εφεύρεση που περιγράφεται, όσον αφορά τα φυσικά χαρακτηριστικά, είναι μάλλον ένα παραβολοειδές που συγκεντρώνει όλες τις ακτίνες σε μια εστίαση (ενώ η οι οπτικές ιδιότητες του υπερβολοειδούς συνδέονται με τη σκέδαση των ακτίνων).
Οι λεγόμενες υπερβολοειδείς δομές είναι πολύ δημοφιλείς στην αρχιτεκτονική: πρόκειται για δομές που έχουν σχήμα υπερβολοειδούς μονού φύλλου ή υπερβολικού παραβολοειδούς. Το γεγονός είναι ότι μόνο αυτές οι επιφάνειες περιστροφής δεύτερης τάξης έχουν ευθύγραμμες γεννήτριες: έτσι, μια καμπύλη δομή μπορεί να κατασκευαστεί μόνο από ευθείες δοκούς. Τα πλεονεκτήματα τέτοιων κατασκευών είναι στην ικανότητα να αντέχουν βαριά φορτία, για παράδειγμα, από τον άνεμο: το υπερβολοειδές σχήμα χρησιμοποιείται στην κατασκευή ψηλών κατασκευών, για παράδειγμα, τηλεοπτικών πύργων.
