Η επίλυση εξισώσεων στα μαθηματικά έχει ιδιαίτερη θέση. Αυτή η διαδικασία προηγείται από πολλές ώρες μελέτης της θεωρίας, κατά τη διάρκεια των οποίων ο μαθητής μαθαίνει πώς να λύνει εξισώσεις, να καθορίζει τη μορφή τους και να φέρνει τη δεξιότητα σε πλήρη αυτοματισμό. Ωστόσο, η αναζήτηση ριζών δεν έχει πάντα νόημα, αφού μπορεί απλώς να μην υπάρχουν. Υπάρχουν ειδικές μέθοδοι για την εύρεση ριζών. Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε τις κύριες λειτουργίες, το πεδίο εφαρμογής τους, καθώς και τις περιπτώσεις που απουσιάζουν οι ρίζες τους.
Ποια εξίσωση δεν έχει ρίζες;
Μια εξίσωση δεν έχει ρίζες εάν δεν υπάρχουν τέτοια πραγματικά ορίσματα x για τα οποία η εξίσωση είναι πανομοιότυπη αληθής. Για έναν μη ειδικό, αυτή η διατύπωση, όπως τα περισσότερα μαθηματικά θεωρήματα και τύποι, φαίνεται πολύ ασαφής και αφηρημένη, αλλά αυτό είναι στη θεωρία. Στην πράξη, όλα γίνονται εξαιρετικά απλά. Για παράδειγμα: η εξίσωση 0x=-53 δεν έχει λύση, αφού δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός x, το γινόμενο του οποίου με το μηδέν θα έδινε κάτι άλλο από το μηδέν.
Τώρα θα δούμε τους πιο βασικούς τύπους εξισώσεων.
1. Γραμμική εξίσωση
Μια εξίσωση ονομάζεται γραμμική αν το δεξί και το αριστερό μέρος της παριστάνονται ως γραμμικές συναρτήσεις: ax + b=cx + d ή σε γενικευμένη μορφή kx + b=0. Όπου τα a, b, c, d είναι γνωστά αριθμοί, και το x είναι μια άγνωστη ποσότητα. Ποια εξίσωση δεν έχει ρίζες; Παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων φαίνονται στην παρακάτω εικόνα.
Βασικά, οι γραμμικές εξισώσεις λύνονται απλώς μετακινώντας το αριθμητικό μέρος στο ένα μέρος και τα περιεχόμενα του x στο άλλο. Αποδεικνύεται μια εξίσωση της μορφής mx \u003d n, όπου m και n είναι αριθμοί και x είναι ένας άγνωστος. Για να βρείτε το x, αρκεί να διαιρέσετε και τα δύο μέρη με m. Τότε x=n/m. Βασικά, οι γραμμικές εξισώσεις έχουν μόνο μία ρίζα, αλλά υπάρχουν περιπτώσεις που υπάρχουν είτε άπειρες ρίζες είτε καθόλου. Με m=0 και n=0, η εξίσωση παίρνει τη μορφή 0x=0. Απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός θα είναι η λύση σε μια τέτοια εξίσωση.
Αλλά ποια εξίσωση δεν έχει ρίζες;
Όταν m=0 και n=0, η εξίσωση δεν έχει ρίζες από το σύνολο των πραγματικών αριθμών. 0x=-1; 0x=200 - αυτές οι εξισώσεις δεν έχουν ρίζες.
2. Τετραγωνική εξίσωση
Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax2 + bx + c=0 για a=0. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος για να λύσετε μια εξίσωση τετραγωνικής είναι να την λύσετε μέσω της διάκρισης. Ο τύπος για την εύρεση της διάκρισης μιας τετραγωνικής εξίσωσης: D=b2 - 4ac. Τότε υπάρχουν δύο ρίζες x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Όταν D > 0 η εξίσωση έχει δύο ρίζες, όταν D=0 - μία ρίζα. Αλλά ποια τετραγωνική εξίσωση δεν έχει ρίζες;Ο ευκολότερος τρόπος για να παρατηρήσουμε τον αριθμό των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι στο γράφημα μιας συνάρτησης, η οποία είναι παραβολή. Στο > 0 τα κλαδιά κατευθύνονται προς τα πάνω, στο < 0 τα κλαδιά κατεβαίνουν προς τα κάτω. Εάν η διάκριση είναι αρνητική, μια τέτοια τετραγωνική εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε οπτικά τον αριθμό των ριζών χωρίς να υπολογίσετε το διαχωριστικό. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε την κορυφή της παραβολής και να προσδιορίσετε προς ποια κατεύθυνση κατευθύνονται τα κλαδιά. Μπορείτε να προσδιορίσετε τη συντεταγμένη x μιας κορυφής χρησιμοποιώντας τον τύπο: x0 =-b / 2a. Σε αυτήν την περίπτωση, η συντεταγμένη y της κορυφής βρίσκεται αντικαθιστώντας απλώς την τιμή x0 στην αρχική εξίσωση.
Η τετραγωνική εξίσωση x2 – 8x + 72=0 δεν έχει ρίζες επειδή έχει αρνητική διάκριση D=(–8)2 - 4172=-224. Αυτό σημαίνει ότι η παραβολή δεν αγγίζει τον άξονα x και η συνάρτηση δεν παίρνει ποτέ την τιμή 0, επομένως η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
3. Τριγωνομετρικές εξισώσεις
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις θεωρούνται σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο, αλλά μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε δύο βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις εξισώσεις τους: sinx και cosx. Επειδή αυτές οι συναρτήσεις σχηματίζουν έναν τριγωνομετρικό κύκλο με ακτίνα 1, |sinx| και |cosx| δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 1. Άρα ποια εξίσωση sinx δεν έχει ρίζες; Εξετάστε το γράφημα της συνάρτησης sinx που παρουσιάζεται στην εικόναπαρακάτω.
Βλέπουμε ότι η συνάρτηση είναι συμμετρική και έχει περίοδο επανάληψης 2pi. Με βάση αυτό, μπορούμε να πούμε ότι η μέγιστη τιμή αυτής της συνάρτησης μπορεί να είναι 1 και η ελάχιστη -1. Για παράδειγμα, η έκφραση cosx=5 δεν θα έχει ρίζες, καθώς το modulo της είναι μεγαλύτερο από ένα.
Αυτό είναι το απλούστερο παράδειγμα τριγωνομετρικών εξισώσεων. Μάλιστα, η λύση τους μπορεί να πάρει πολλές σελίδες, στο τέλος των οποίων συνειδητοποιείς ότι χρησιμοποιήσατε λάθος τύπο και πρέπει να ξεκινήσετε από την αρχή. Μερικές φορές, ακόμη και με τη σωστή εύρεση των ριζών, μπορείτε να ξεχάσετε να λάβετε υπόψη τους περιορισμούς στο ODZ, γι 'αυτό εμφανίζεται μια επιπλέον ρίζα ή ένα διάστημα στην απάντηση και ολόκληρη η απάντηση μετατρέπεται σε λανθασμένη. Επομένως, ακολουθήστε αυστηρά όλους τους περιορισμούς, γιατί δεν ταιριάζουν όλες οι ρίζες στο πεδίο εφαρμογής της εργασίας.
4. Συστήματα Εξισώσεων
Ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα σύνολο εξισώσεων σε συνδυασμό με σγουρές ή τετράγωνες αγκύλες. Τα σγουρά τιράντες υποδηλώνουν την από κοινού εκτέλεση όλων των εξισώσεων. Δηλαδή, αν τουλάχιστον μία από τις εξισώσεις δεν έχει ρίζες ή έρχεται σε αντίθεση με την άλλη, ολόκληρο το σύστημα δεν έχει λύση. Οι αγκύλες δηλώνουν τη λέξη "ή". Αυτό σημαίνει ότι αν τουλάχιστον μία από τις εξισώσεις του συστήματος έχει λύση, τότε ολόκληρο το σύστημα έχει λύση.
Η απάντηση του συστήματος με αγκύλες είναι το σύνολο όλων των ριζών των επιμέρους εξισώσεων. Και τα συστήματα με σγουρά τιράντες έχουν μόνο κοινές ρίζες. Τα συστήματα εξισώσεων μπορούν να περιλαμβάνουν απολύτως διαφορετικές συναρτήσεις, επομένως αυτή η πολυπλοκότητα δεν είναισας επιτρέπει να πείτε αμέσως ποια εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Γενίκευση και συμβουλές για την εύρεση των ριζών της εξίσωσης
Στα προβληματικά βιβλία και τα σχολικά βιβλία υπάρχουν διαφορετικοί τύποι εξισώσεων: αυτές που έχουν ρίζες και αυτές που δεν έχουν. Καταρχήν, αν δεν μπορείτε να βρείτε ρίζες, μην νομίζετε ότι δεν υπάρχουν καθόλου. Μπορεί να έχετε κάνει κάπου λάθος, τότε απλώς ελέγξτε ξανά τη λύση σας.
Καλύψαμε τις πιο βασικές εξισώσεις και τους τύπους τους. Τώρα μπορείτε να πείτε ποια εξίσωση δεν έχει ρίζες. Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτό δεν είναι καθόλου δύσκολο να γίνει. Για να επιτευχθεί επιτυχία στην επίλυση εξισώσεων, απαιτείται μόνο προσοχή και συγκέντρωση. Εξασκηθείτε περισσότερο, θα σας βοηθήσει να πλοηγηθείτε στο υλικό πολύ καλύτερα και πιο γρήγορα.
Έτσι, η εξίσωση δεν έχει ρίζες αν:
- στη γραμμική εξίσωση mx=n η τιμή m=0 και n=0;
- σε μια τετραγωνική εξίσωση εάν η διάκριση είναι μικρότερη από το μηδέν;
- σε μια τριγωνομετρική εξίσωση της μορφής cosx=m / sinx=n, εάν |m| > 0, |n| > 0;
- σε ένα σύστημα εξισώσεων με σγουρές αγκύλες εάν τουλάχιστον μία εξίσωση δεν έχει ρίζες και με αγκύλες εάν όλες οι εξισώσεις δεν έχουν ρίζες.
