Για να το θέσω απλά και συνοπτικά, το πεδίο εφαρμογής είναι οι τιμές που μπορεί να λάβει οποιαδήποτε συνάρτηση. Για να εξερευνήσετε πλήρως αυτό το θέμα, πρέπει να αποσυναρμολογήσετε σταδιακά τα ακόλουθα σημεία και έννοιες. Αρχικά, ας κατανοήσουμε τον ορισμό της συνάρτησης και το ιστορικό της εμφάνισής της.
Τι είναι συνάρτηση
Όλες οι ακριβείς επιστήμες μας παρέχουν πολλά παραδείγματα όπου οι εν λόγω μεταβλητές εξαρτώνται κατά κάποιο τρόπο η μία από την άλλη. Για παράδειγμα, η πυκνότητα μιας ουσίας καθορίζεται πλήρως από τη μάζα και τον όγκο της. Η πίεση ενός ιδανικού αερίου σε σταθερό όγκο ποικίλλει ανάλογα με τη θερμοκρασία. Αυτά τα παραδείγματα ενώνονται από το γεγονός ότι όλοι οι τύποι έχουν εξαρτήσεις μεταξύ μεταβλητών, οι οποίες ονομάζονται λειτουργικές.
Μια συνάρτηση είναι μια έννοια που εκφράζει την εξάρτηση μιας ποσότητας από μια άλλη. Έχει τη μορφή y=f(x), όπου y είναι η τιμή της συνάρτησης, η οποία εξαρτάται από το x - το όρισμα. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι το y είναι μια μεταβλητή που εξαρτάται από την τιμή του x. Οι τιμές που μπορεί να πάρει το x μαζί είναιτον τομέα της δεδομένης συνάρτησης (D(y) ή D(f)), και κατά συνέπεια, οι τιμές του y αποτελούν το σύνολο των τιμών της συνάρτησης (E(f) ή E(y)). Υπάρχουν περιπτώσεις που μια συνάρτηση δίνεται από κάποιον τύπο. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τομέας ορισμού αποτελείται από την τιμή τέτοιων μεταβλητών, στις οποίες έχει νόημα η σημείωση με τον τύπο.
Υπάρχουν αντίστοιχες ή ίσες δυνατότητες. Αυτές είναι δύο συναρτήσεις που έχουν ίσες περιοχές έγκυρων τιμών, καθώς και οι τιμές της ίδιας της συνάρτησης είναι ίσες για όλα τα ίδια ορίσματα.
Πολλοί νόμοι των ακριβών επιστημών ονομάζονται παρόμοια με τις καταστάσεις στην πραγματική ζωή. Υπάρχει ένα τόσο ενδιαφέρον γεγονός και για τη μαθηματική συνάρτηση. Υπάρχει ένα θεώρημα για το όριο μιας συνάρτησης που «στριμώχνεται» ανάμεσα σε δύο άλλες που έχουν το ίδιο όριο - για δύο αστυνομικούς. Το εξηγούν ως εξής: αφού δύο αστυνομικοί οδηγούν έναν κρατούμενο σε ένα κελί μεταξύ τους, ο εγκληματίας αναγκάζεται να πάει εκεί και απλά δεν έχει άλλη επιλογή.
Αναφορά ιστορικού χαρακτηριστικού
Η έννοια της συνάρτησης δεν έγινε αμέσως οριστική και ακριβής, έχει περάσει πολύς δρόμος. Πρώτον, η Εισαγωγή και η μελέτη του Φερμά για επίπεδα και στερεά μέρη, που δημοσιεύθηκε στα τέλη του 17ου αιώνα, ανέφερε τα εξής:
Όποτε υπάρχουν δύο άγνωστοι στην τελική εξίσωση, υπάρχει χώρος.
Γενικά, αυτό το έργο μιλά για τη λειτουργική εξάρτηση και την υλική του εικόνα (τόπος=γραμμή).
Επίσης, περίπου την ίδια εποχή, ο Ρενέ Ντεκάρτ μελέτησε τις γραμμές με τις εξισώσεις τους στο έργο του «Γεωμετρία» (1637), όπου και πάλι το γεγονόςεξάρτηση δύο ποσοτήτων μεταξύ τους.
Η ίδια η αναφορά του όρου «λειτουργία» εμφανίστηκε μόλις στα τέλη του 17ου αιώνα με τον Leibniz, αλλά όχι στη σύγχρονη ερμηνεία του. Στην επιστημονική του εργασία, θεώρησε ότι μια συνάρτηση είναι διάφορα τμήματα που σχετίζονται με μια καμπύλη γραμμή.
Αλλά ήδη από τον 18ο αιώνα, η συνάρτηση άρχισε να ορίζεται πιο σωστά. Ο Μπερνούλι έγραψε τα εξής:
Μια συνάρτηση είναι μια τιμή που αποτελείται από μια μεταβλητή και μια σταθερά.
Οι σκέψεις του Euler ήταν επίσης κοντά σε αυτό:
Μια συνάρτηση μεταβλητής ποσότητας είναι μια αναλυτική έκφραση που αποτελείται κατά κάποιο τρόπο από αυτήν τη μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες.
Όταν ορισμένες ποσότητες εξαρτώνται από άλλες με τέτοιο τρόπο ώστε όταν οι δεύτερες αλλάζουν, αλλάζουν και οι ίδιες, τότε οι πρώτες ονομάζονται συναρτήσεις της δεύτερης.
Γράφημα συναρτήσεων
Το γράφημα της συνάρτησης αποτελείται από όλα τα σημεία που ανήκουν στους άξονες του επιπέδου συντεταγμένων, τα τετμημένα των οποίων λαμβάνουν τις τιμές του ορίσματος και οι τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία είναι τεταγμένες.
Το εύρος μιας συνάρτησης σχετίζεται άμεσα με το γράφημά της, γιατί εάν τυχόν τετμημένες εξαιρούνται από το εύρος των έγκυρων τιμών, τότε πρέπει να σχεδιάσετε κενά σημεία στο γράφημα ή να σχεδιάσετε το γράφημα εντός ορισμένων ορίων. Για παράδειγμα, εάν ληφθεί ένα γράφημα της μορφής y=tgx, τότε η τιμή x=pi / 2 + pin, n∉R εξαιρείται από την περιοχή ορισμού, στην περίπτωση ενός εφαπτομενικού γραφήματος, πρέπει να σχεδιάσετεκάθετες γραμμές παράλληλες στον άξονα y (ονομάζονται ασύμπτωτες) που διέρχονται από τα σημεία ±pi/2.
Οποιαδήποτε ενδελεχής και προσεκτική μελέτη συναρτήσεων αποτελεί έναν μεγάλο κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται λογισμός. Στα στοιχειώδη μαθηματικά, αγγίζονται επίσης στοιχειώδεις ερωτήσεις σχετικά με συναρτήσεις, για παράδειγμα, η κατασκευή ενός απλού γραφήματος και ο καθορισμός ορισμένων βασικών ιδιοτήτων μιας συνάρτησης.
Ποια συνάρτηση μπορεί να οριστεί σε
Η συνάρτηση μπορεί:
- να είναι ένας τύπος, για παράδειγμα: y=cos x;
- ορίζεται από οποιονδήποτε πίνακα ζευγών της μορφής (x; y);
- έχετε αμέσως μια γραφική προβολή, για αυτό τα ζεύγη από το προηγούμενο στοιχείο της φόρμας (x; y) πρέπει να εμφανίζονται στους άξονες συντεταγμένων.
Να είστε προσεκτικοί κατά την επίλυση ορισμένων προβλημάτων υψηλού επιπέδου, σχεδόν οποιαδήποτε έκφραση μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση σε σχέση με κάποιο όρισμα για την τιμή της συνάρτησης y (x). Η εύρεση του τομέα ορισμού σε τέτοιες εργασίες μπορεί να είναι το κλειδί για τη λύση.
Ποιο είναι το πεδίο εφαρμογής;
Το πρώτο πράγμα που πρέπει να γνωρίζετε για μια συνάρτηση για να τη μελετήσετε ή να τη δημιουργήσετε είναι το εύρος της. Το γράφημα πρέπει να περιέχει μόνο εκείνα τα σημεία όπου μπορεί να υπάρχει η συνάρτηση. Ο τομέας ορισμού (x) μπορεί επίσης να αναφέρεται ως το πεδίο των αποδεκτών τιμών (συντομογραφία ως ODZ).
Για να δημιουργήσετε σωστά και γρήγορα ένα γράφημα συναρτήσεων, πρέπει να γνωρίζετε τον τομέα αυτής της συνάρτησης, επειδή η εμφάνιση του γραφήματος και η πιστότητα εξαρτώνται από αυτόκατασκευή. Για παράδειγμα, για να κατασκευάσετε μια συνάρτηση y=√x, πρέπει να γνωρίζετε ότι το x μπορεί να λάβει μόνο θετικές τιμές. Επομένως, είναι χτισμένο μόνο στο πρώτο τεταρτημόριο συντεταγμένων.
Εύρος ορισμού στο παράδειγμα των στοιχειωδών συναρτήσεων
Στο οπλοστάσιό τους, τα μαθηματικά έχουν έναν μικρό αριθμό απλών, καθορισμένων συναρτήσεων. Έχουν περιορισμένο πεδίο εφαρμογής. Η λύση σε αυτό το ζήτημα δεν θα προκαλέσει δυσκολίες ακόμα κι αν έχετε μπροστά σας μια λεγόμενη πολύπλοκη λειτουργία. Είναι απλώς ένας συνδυασμός πολλών απλών.
- Έτσι, η συνάρτηση μπορεί να είναι κλασματική, για παράδειγμα: f(x)=1/x. Έτσι, η μεταβλητή (το όρισμα μας) βρίσκεται στον παρονομαστή και όλοι γνωρίζουν ότι ο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν μπορεί να είναι ίσος με 0, επομένως, το όρισμα μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή εκτός από το 0. Ο συμβολισμός θα μοιάζει με αυτό: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Εάν υπάρχει κάποια έκφραση με μια μεταβλητή στον παρονομαστή, τότε πρέπει να λύσετε την εξίσωση για το x και να εξαιρέσετε τις τιμές που μετατρέπουν τον παρονομαστή σε 0. Για μια σχηματική αναπαράσταση, αρκούν 5 καλά επιλεγμένα σημεία. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης θα είναι μια υπερβολή με μια κατακόρυφη ασύμπτωτη που διέρχεται από το σημείο (0; 0) και, σε συνδυασμό, τους άξονες Ox και Oy. Εάν η γραφική εικόνα τέμνεται με τις ασύμπτωτες, τότε ένα τέτοιο σφάλμα θα θεωρείται το μεγαλύτερο.
- Αλλά ποιος είναι ο τομέας της ρίζας; Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με ριζική έκφραση (f(x)=√(2x + 5)), που περιέχει μια μεταβλητή, έχει επίσης τις δικές της αποχρώσεις (ισχύει μόνο για τη ρίζα ενός ζυγού βαθμού). Οπως καιη αριθμητική ρίζα είναι θετική έκφραση ή ίση με 0, τότε η έκφραση ρίζας πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με 0, λύνουμε την ακόλουθη ανισότητα: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, επομένως, το πεδίο ορισμού αυτού συνάρτηση: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Το γράφημα είναι ένας από τους κλάδους μιας παραβολής, που περιστρέφεται κατά 90 μοίρες, που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο συντεταγμένων.
- Αν έχουμε να κάνουμε με μια λογαριθμική συνάρτηση, τότε θα πρέπει να θυμάστε ότι υπάρχει περιορισμός σχετικά με τη βάση του λογαρίθμου και την έκφραση κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, σε αυτήν την περίπτωση μπορείτε να βρείτε το πεδίο ορισμού ως ακολουθεί. Έχουμε μια συνάρτηση: y=loga(x + 7), λύνουμε την ανισότητα: x + 7 > 0, x > -7. Τότε το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Δώστε επίσης προσοχή στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις της μορφής y=tgx και y=ctgx, αφού y=tgx=sinx/cos/x και y=ctgx=cosx/sinx, επομένως, πρέπει να εξαιρέσετε τιμές στην οποία ο παρονομαστής μπορεί να είναι ίσος με μηδέν. Εάν είστε εξοικειωμένοι με τα γραφήματα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, η κατανόηση του τομέα τους είναι μια απλή εργασία.
Πώς είναι διαφορετική η εργασία με σύνθετες συναρτήσεις
Θυμηθείτε μερικούς βασικούς κανόνες. Εάν εργαζόμαστε με μια σύνθετη συνάρτηση, τότε δεν χρειάζεται να λύσουμε κάτι, να απλοποιήσουμε, να προσθέσουμε κλάσματα, να μειώσουμε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή και να εξαγάγουμε ρίζες. Πρέπει να διερευνήσουμε αυτήν τη συνάρτηση επειδή διαφορετικές (ακόμη και πανομοιότυπες) λειτουργίες μπορούν να αλλάξουν το εύρος της συνάρτησης, με αποτέλεσμα μια λανθασμένη απάντηση.
Για παράδειγμα, έχουμε μια σύνθετη συνάρτηση: y=(x2 - 4)/(x - 2). Δεν μπορούμε να μειώσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος, αφού αυτό είναι δυνατό μόνο αν x ≠ 2, και αυτό είναι το καθήκον να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, επομένως δεν συνυπολογίζουμε τον αριθμητή και δεν λύνουμε ανισώσεις, επειδή τιμή στην οποία δεν υπάρχει η συνάρτηση, ορατή με γυμνό μάτι. Σε αυτήν την περίπτωση, το x δεν μπορεί να πάρει την τιμή 2, καθώς ο παρονομαστής δεν μπορεί να πάει στο 0, ο συμβολισμός θα μοιάζει με αυτό: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Αμοιβαίες συναρτήσεις
Για αρχή, αξίζει να πούμε ότι μια συνάρτηση μπορεί να γίνει αναστρέψιμη μόνο σε ένα διάστημα αύξησης ή μείωσης. Για να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση, πρέπει να ανταλλάξετε τα x και y στον συμβολισμό και να λύσετε την εξίσωση για το x. Οι τομείς ορισμού και οι τομείς αξίας απλώς αντιστρέφονται.
Η κύρια προϋπόθεση για την αντιστρεψιμότητα είναι ένα μονότονο διάστημα μιας συνάρτησης, εάν μια συνάρτηση έχει διαστήματα αύξησης και μείωσης, τότε είναι δυνατό να συντεθεί η αντίστροφη συνάρτηση οποιουδήποτε διαστήματος (αύξηση ή φθίνουσα).
Για παράδειγμα, για την εκθετική συνάρτηση y=exη αντίστροφη είναι η φυσική λογαριθμική συνάρτηση y=logea=lna. Για την τριγωνομετρία, αυτές θα είναι συναρτήσεις με το πρόθεμα arc-: y=sinx και y=arcsinx και ούτω καθεξής. Τα γραφήματα θα τοποθετηθούν συμμετρικά σε σχέση με ορισμένους άξονες ή ασύμπτωτες.
Συμπεράσματα
Η αναζήτηση για το εύρος των αποδεκτών τιμών καταλήγει στην εξέταση του γραφήματος των συναρτήσεων (αν υπάρχει),καταγραφή και επίλυση του απαραίτητου συγκεκριμένου συστήματος ανισώσεων.
Λοιπόν, αυτό το άρθρο σάς βοήθησε να κατανοήσετε ποιος είναι ο σκοπός μιας συνάρτησης και πώς να τη βρείτε. Ελπίζουμε ότι θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλά το βασικό σχολικό μάθημα.
