Ορισμός και μέγεθος του αριθμού Graham

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-15 17:23

Στη λέξη «άπειρο» κάθε άτομο έχει τους δικούς του συνειρμούς. Πολλοί ζωγραφίζουν στη φαντασία τους τη θάλασσα που ξεπερνά τον ορίζοντα, ενώ άλλοι έχουν μπροστά στα μάτια τους μια εικόνα ενός απέραντου έναστρου ουρανού. Οι μαθηματικοί, συνηθισμένοι να λειτουργούν με αριθμούς, φαντάζονται το άπειρο με εντελώς διαφορετικό τρόπο. Για πολλούς αιώνες προσπαθούσαν να βρουν το μεγαλύτερο από τα φυσικά μεγέθη που απαιτούνται για τη μέτρηση. Ένα από αυτά είναι ο αριθμός Graham. Πόσα μηδενικά περιέχει και σε τι χρησιμοποιείται, αυτό το άρθρο θα δείξει.

Απειράτως μεγάλος αριθμός

Στα μαθηματικά, αυτό είναι το όνομα μιας τέτοιας μεταβλητής x , εάν για οποιονδήποτε θετικό αριθμό M μπορεί κανείς να καθορίσει έναν φυσικό αριθμό N έτσι ώστε για όλους τους αριθμούς n μεγαλύτερο από N η ανισότητα |x _{| > M. Ωστόσο, όχι, για παράδειγμα, ο ακέραιος Z μπορεί να θεωρηθεί απείρως μεγάλος, αφού θα είναι πάντα μικρότερος από (Z + 1).}

Λίγα λόγια για τους "γίγαντες"

Οι μεγαλύτεροι αριθμοί που έχουν φυσική σημασία θεωρούνται ότι είναι:

• 1080. Αυτός ο αριθμός, που συνήθως ονομάζεται quinquavigintillion, χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει τον κατά προσέγγιση αριθμό των κουάρκ και των λεπτονίων (τα μικρότερα σωματίδια) στο Σύμπαν.
• 1 Google. Ένας τέτοιος αριθμός στο δεκαδικό σύστημα γράφεται ως μονάδα με 100 μηδενικά. Σύμφωνα με ορισμένα μαθηματικά μοντέλα, από την εποχή της μεγάλης έκρηξης έως την έκρηξη της πιο τεράστιας μαύρης τρύπας, θα πρέπει να περάσουν από 1 έως 1,5 χρόνια googol, μετά τα οποία το σύμπαν μας θα περάσει στο τελευταίο στάδιο της ύπαρξής του, δηλαδή, μπορούμε υποθέστε ότι αυτός ο αριθμός έχει μια συγκεκριμένη φυσική σημασία.
• 8, 5 x 10¹⁸⁵. Η σταθερά του Planck είναι 1,616199 x 10 ~-35 m, δηλαδή σε δεκαδική σημείωση μοιάζει με 0,000000000000000000000000000616199 m. Υπάρχει περίπου 1 googol Planck σε μια ίντσα. Υπολογίζεται ότι περίπου 8,5 x 10¹⁸⁵ μήκη Planck μπορούν να χωρέσουν σε ολόκληρο το σύμπαν μας.
• 2^{77 232 917} – 1. Αυτός είναι ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός. Εάν ο δυαδικός συμβολισμός του έχει μια αρκετά συμπαγή μορφή, τότε για να το απεικονίσετε σε δεκαδική μορφή, θα χρειαστούν τουλάχιστον 13 εκατομμύρια χαρακτήρες. Βρέθηκε το 2017 ως μέρος ενός έργου αναζήτησης αριθμών Mersenne. Εάν οι λάτρεις συνεχίσουν να εργάζονται προς αυτή την κατεύθυνση, τότε στο τρέχον επίπεδο ανάπτυξης της τεχνολογίας υπολογιστών, στο εγγύς μέλλον είναι απίθανο να μπορέσουν να βρουν έναν αριθμό Mersenne τάξης μεγέθους μεγαλύτερη από 2^{77 232 917- 1, αν και τέτοιοο τυχερός νικητής θα λάβει 150.000$.}
• Hugoplex. Εδώ παίρνουμε απλώς το 1 και προσθέτουμε μηδενικά μετά από αυτό σε ποσότητα 1 googol. Μπορείτε να γράψετε αυτόν τον αριθμό ως 10^10^100. Είναι αδύνατο να το αναπαραστήσουμε σε δεκαδική μορφή, γιατί αν ολόκληρος ο χώρος του Σύμπαντος είναι γεμάτος με κομμάτια χαρτιού, σε καθένα από τα οποία θα έγραφε το 0 με μέγεθος γραμματοσειράς «Word» 10, τότε σε αυτήν την περίπτωση μόνο το μισό όλα τα 0 μετά το 1 θα ληφθούν για τον αριθμό googolplex.
• 10^10^10^10^10^1.1. Αυτός είναι ένας αριθμός που δείχνει τον αριθμό των ετών μετά από τα οποία, σύμφωνα με το θεώρημα Poincaré, το Σύμπαν μας, ως αποτέλεσμα τυχαίων κβαντικών διακυμάνσεων, θα επιστρέψει σε μια κατάσταση κοντά στο σήμερα.

Πώς προέκυψαν οι αριθμοί του Graham

Το 1977, ο γνωστός εκλαϊκευτής της επιστήμης Μάρτιν Γκάρντνερ δημοσίευσε ένα άρθρο στο Scientific American σχετικά με την απόδειξη του Graham για ένα από τα προβλήματα της θεωρίας του Ramse. Σε αυτό, ονόμασε το όριο που έθεσε ο επιστήμονας τον μεγαλύτερο αριθμό που χρησιμοποιήθηκε ποτέ σε σοβαρούς μαθηματικούς συλλογισμούς.

Ποιος είναι ο Ronald Lewis Graham

Ο επιστήμονας, τώρα στα 80 του, γεννήθηκε στην Καλιφόρνια. Το 1962 έλαβε διδακτορικό στα μαθηματικά από το Πανεπιστήμιο του Μπέρκλεϋ. Εργάστηκε στα εργαστήρια Bell για 37 χρόνια και αργότερα μετακόμισε στην AT&T Labs. Ο επιστήμονας συνεργάστηκε ενεργά με έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του 20ου αιώνα, τον Pal Erdős, και είναι νικητής πολλών διάσημων βραβείων. Η επιστημονική βιβλιογραφία του Graham περιέχει περισσότερες από 320 επιστημονικές εργασίες.

Στα μέσα της δεκαετίας του '70, ο επιστήμονας ενδιαφέρθηκε για το πρόβλημα που σχετίζεται με τη θεωρίαΡάμσεϊ. Στην απόδειξή του, προσδιορίστηκε το άνω όριο του διαλύματος, που είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός, που στη συνέχεια πήρε το όνομά του από τον Ronald Graham.

πρόβλημα υπερκύβου

Για να κατανοήσετε την ουσία του αριθμού Graham, πρέπει πρώτα να καταλάβετε πώς προέκυψε.

Ο επιστήμονας και ο συνάδελφός του Bruce Rothschild έλυναν το ακόλουθο πρόβλημα:

Υπάρχει ένας υπερκύβος ν-διάστάσεων. Όλα τα ζεύγη των κορυφών του συνδέονται με τέτοιο τρόπο ώστε να προκύπτει ένα πλήρες γράφημα με 2κορυφές. Κάθε μία από τις άκρες του είναι χρωματισμένη είτε μπλε είτε κόκκινο. Χρειάστηκε να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός κορυφών που θα έπρεπε να έχει ένας υπερκύβος, έτσι ώστε κάθε τέτοιος χρωματισμός να περιέχει ένα πλήρες μονοχρωματικό υπογράφημα με 4 κορυφές που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Απόφαση

Οι Graham και Rothschild απέδειξαν ότι το πρόβλημα έχει μια λύση N' που ικανοποιεί τη συνθήκη 6 ⩽ N' ⩽N όπου το N είναι ένας καλά καθορισμένος, πολύ μεγάλος αριθμός.

Το κάτω όριο για το N βελτιώθηκε στη συνέχεια από άλλους επιστήμονες, οι οποίοι απέδειξαν ότι το N πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 13. Έτσι, η έκφραση για τον μικρότερο αριθμό κορυφών ενός υπερκύβου που ικανοποιεί τις συνθήκες που παρουσιάστηκαν παραπάνω έγινε 13 ⩽ N'⩽ N.

Σημείωση βέλους του Knuth

Πριν ορίσετε τον αριθμό Graham, θα πρέπει να εξοικειωθείτε με τη μέθοδο της συμβολικής αναπαράστασής του, καθώς ούτε δεκαδικός ούτε δυαδικός συμβολισμός είναι απολύτως κατάλληλος για αυτό.

Προς το παρόν, ο συμβολισμός βέλους του Knuth χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει αυτήν την ποσότητα. Σύμφωνα με αυτήν:

ab=ένα "επάνω βέλος" β.

Για τη λειτουργία πολλαπλής εκθέσεως, εισήχθη η καταχώρηση:

a "επάνω βέλος" "επάνω βέλος" b=ab="ένας πύργος που αποτελείται από ένα σε ποσότητα β τεμαχίων."

Και για pentation, δηλαδή συμβολικό προσδιορισμό επαναλαμβανόμενης εκθέσεως του προηγούμενου τελεστή, ο Knuth χρησιμοποίησε ήδη 3 βέλη.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον συμβολισμό για τον αριθμό Graham, έχουμε αλληλουχίες "βέλη" φωλιασμένες μεταξύ τους, σε ποσότητα 64 τμχ.

Κλίμακα

Ο διάσημος αριθμός τους, που διεγείρει τη φαντασία και διευρύνει τα όρια της ανθρώπινης συνείδησης, βγάζοντάς τον πέρα από τα όρια του Σύμπαντος, ο Graham και οι συνεργάτες του τον απέκτησαν ως άνω φράγμα για τον αριθμό N στην απόδειξη του υπερκύβου πρόβλημα που παρουσιάστηκε παραπάνω. Είναι εξαιρετικά δύσκολο για έναν απλό άνθρωπο να φανταστεί πόσο μεγάλη είναι η κλίμακα του.

Η ερώτηση του αριθμού των χαρακτήρων, ή όπως λανθασμένα λέγεται μερικές φορές, τα μηδενικά στον αριθμό του Γκράχαμ, ενδιαφέρει σχεδόν όλους όσους ακούνε για αυτήν την τιμή για πρώτη φορά.

Αρκεί να πούμε ότι έχουμε να κάνουμε με μια ραγδαία αναπτυσσόμενη ακολουθία που αποτελείται από 64 μέλη. Ακόμη και ο πρώτος όρος του είναι αδύνατο να φανταστεί κανείς, αφού αποτελείται από n «πύργους», που αποτελούνται από 3-to. Ήδη ο «κάτω όροφος» των 3 τριπλών ισούται με 7.625.597.484.987, δηλαδή ξεπερνά τα 7 δισεκατομμύρια, δηλαδή για τον 64ο όροφο (όχι μέλος!). Έτσι, προς το παρόν είναι αδύνατο να πούμε ακριβώς ποιος είναι ο αριθμός Graham, αφού δεν αρκεί για να τον υπολογίσουμε.η συνδυασμένη ισχύς όλων των υπολογιστών που υπάρχουν στη Γη σήμερα.

Έσπασε ρεκόρ;

Στη διαδικασία απόδειξης του θεωρήματος του Kruskal, ο αριθμός του Graham «πετάχτηκε από το βάθρο του». Ο επιστήμονας πρότεινε το εξής πρόβλημα:

Υπάρχει μια άπειρη ακολουθία πεπερασμένων δέντρων. Ο Kruskal απέδειξε ότι υπάρχει πάντα ένα τμήμα κάποιου γραφήματος, το οποίο είναι και μέρος ενός μεγαλύτερου γραφήματος και το ακριβές αντίγραφό του. Αυτή η δήλωση δεν εγείρει αμφιβολίες, αφού είναι προφανές ότι θα υπάρχει πάντα ένας ακριβώς επαναλαμβανόμενος συνδυασμός στο άπειρο

Αργότερα, ο Harvey Friedman περιόρισε κάπως αυτό το πρόβλημα λαμβάνοντας υπόψη μόνο τέτοια άκυκλα γραφήματα (δέντρα) που για ένα συγκεκριμένο με συντελεστή i υπάρχουν το πολύ (i + k) κορυφές. Αποφάσισε να ανακαλύψει ποιος πρέπει να είναι ο αριθμός των άκυκλων γραφημάτων, έτσι ώστε με αυτήν τη μέθοδο εργασίας τους να είναι πάντα δυνατό να βρεθεί ένα υποδέντρο που θα ενσωματώνεται σε ένα άλλο δέντρο.

Ως αποτέλεσμα της έρευνας για αυτό το θέμα, διαπιστώθηκε ότι το Ν, ανάλογα με το k, αυξάνεται με τρομερή ταχύτητα. Συγκεκριμένα, εάν k=1, τότε N=3. Ωστόσο, στο k=2, το N φτάνει ήδη το 11. Το πιο ενδιαφέρον πράγμα αρχίζει όταν k=3. Σε αυτήν την περίπτωση, το N "απογειώνεται" γρήγορα και φτάνει σε μια τιμή που είναι πολλές φορές μεγαλύτερος από τον αριθμό Graham. Για να φανταστούμε πόσο μεγάλο είναι, αρκεί να γράψουμε τον αριθμό που υπολόγισε ο Ronald Graham με τη μορφή G64 (3). Τότε η τιμή Friedman-Kruskal (αναθ. FinKraskal(3)), θα είναι της τάξης του G(G(187196)). Με άλλα λόγια, προκύπτει μια μεγα-τιμή, η οποία είναι απείρως μεγαλύτερηένας αφάνταστα μεγάλος αριθμός Graham. Ταυτόχρονα, ακόμη και αυτό θα είναι μικρότερο από το άπειρο κατά τεράστιο αριθμό φορών. Είναι λογικό να μιλήσουμε για αυτήν την έννοια με περισσότερες λεπτομέρειες.

Άπειρο

Τώρα που εξηγήσαμε τι είναι ο αριθμός Graham στα δάχτυλα, θα πρέπει να καταλάβουμε το νόημα που έχει και επενδυθεί σε αυτή τη φιλοσοφική έννοια. Εξάλλου, το "άπειρο" και ο "ένας απείρως μεγάλος αριθμός" μπορούν να θεωρηθούν πανομοιότυπα σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο.

Τη μεγαλύτερη συμβολή στη μελέτη αυτού του ζητήματος είχε ο Αριστοτέλης. Ο μεγάλος στοχαστής της αρχαιότητας χώρισε το άπειρο σε δυνητικό και πραγματικό. Με το τελευταίο, εννοούσε την πραγματικότητα της ύπαρξης άπειρων πραγμάτων.

Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, οι πηγές ιδεών για αυτή τη θεμελιώδη έννοια είναι:

• time;
• διαχωρισμός τιμών;
• η έννοια των συνόρων και η ύπαρξη κάτι πέρα από αυτό;
• το ανεξάντλητο της δημιουργικής φύσης;
• σκέψη που δεν έχει όρια.

Στη σύγχρονη ερμηνεία του άπειρου, δεν μπορείτε να καθορίσετε ένα ποσοτικό μέτρο, επομένως η αναζήτηση για τον μεγαλύτερο αριθμό μπορεί να συνεχιστεί για πάντα.

Συμπέρασμα

Μπορεί η μεταφορά "Gaze into infinity" και ο αριθμός του Graham να θεωρηθούν συνώνυμα κατά κάποια έννοια; Μάλλον ναι και όχι. Και τα δύο είναι αδύνατο να τα φανταστεί κανείς, ακόμα και με την πιο δυνατή φαντασία. Ωστόσο, όπως ήδη αναφέρθηκε, δεν μπορεί να θεωρηθεί «το πιο, το πιο». Ένα άλλο πράγμα είναι ότι αυτή τη στιγμή, τιμές μεγαλύτερες από τον αριθμό Graham δεν έχουν καθιερωμένοφυσική αίσθηση.

Επίσης, δεν έχει τις ιδιότητες ενός άπειρου αριθμού, όπως:

• ∞ + 1=∞;
• υπάρχει ένας άπειρος αριθμός περιττών και ζυγών αριθμών;
• ∞ - 1=∞;
• ο αριθμός των περιττών αριθμών είναι ακριβώς ο μισός όλων των αριθμών;
• ∞ + ∞=∞;
• ∞/2=∞.

Για να συνοψίσουμε: ο αριθμός του Γκράχαμ είναι ο μεγαλύτερος αριθμός στην πρακτική της μαθηματικής απόδειξης, σύμφωνα με το Βιβλίο Ρεκόρ Γκίνες. Ωστόσο, υπάρχουν αριθμοί που είναι πολλές φορές μεγαλύτεροι από αυτήν την τιμή.

Πιθανότατα, στο μέλλον θα υπάρξει ανάγκη για ακόμη μεγαλύτερους «γίγαντες», ειδικά αν κάποιος υπερβαίνει το ηλιακό μας σύστημα ή εφεύρει κάτι αδιανόητο στο σημερινό επίπεδο της συνείδησής μας.