Πιθανώς, η έννοια του παραγώγου είναι γνωστή στον καθένα μας από το σχολείο. Συνήθως οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν αυτό το, αναμφίβολα, πολύ σημαντικό πράγμα. Χρησιμοποιείται ενεργά σε διάφορους τομείς της ζωής των ανθρώπων και πολλές μηχανολογικές εξελίξεις βασίστηκαν ακριβώς σε μαθηματικούς υπολογισμούς που ελήφθησαν χρησιμοποιώντας την παράγωγο. Αλλά προτού προχωρήσουμε στην ανάλυση του τι είναι οι παράγωγοι αριθμών, πώς να τις υπολογίσουμε και πού είναι χρήσιμες για εμάς, ας βουτήξουμε στην ιστορία.
Ιστορία
Η έννοια της παραγώγου, η οποία είναι η βάση της μαθηματικής ανάλυσης, ανακαλύφθηκε (καλύτερα να πούμε «εφευρέθηκε», γιατί δεν υπήρχε στη φύση αυτή καθαυτή) από τον Ισαάκ Νεύτωνα, τον οποίο όλοι γνωρίζουμε από την ανακάλυψη του νόμου της παγκόσμιας έλξης. Ήταν αυτός που εφάρμοσε για πρώτη φορά αυτή την έννοια στη φυσική για να συνδέσει τη φύση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης των σωμάτων. Και πολλοί επιστήμονες εξακολουθούν να επαινούν τον Νεύτωνα για αυτήν την υπέροχη εφεύρεση, επειδή στην πραγματικότητα εφηύρε τη βάση του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, στην πραγματικότητα, τη βάση μιας ολόκληρης περιοχής των μαθηματικών που ονομάζεται "λογισμός". Αν εκείνη την εποχή το βραβείο Νόμπελ, ο Νεύτωνας θα το είχε λάβει με μεγάλη πιθανότητα αρκετές φορές.
Όχι χωρίς άλλα μεγάλα μυαλά. Εκτός από τον ΝεύτωναΤέτοιες εξέχουσες μαθηματικές ιδιοφυΐες όπως ο Leonhard Euler, ο Louis Lagrange και ο Gottfried Leibniz εργάστηκαν για την ανάπτυξη του παραγώγου και του ολοκληρώματος. Χάρη σε αυτούς λάβαμε τη θεωρία του διαφορικού λογισμού με τη μορφή που υπάρχει μέχρι σήμερα. Παρεμπιπτόντως, ήταν ο Λάιμπνιτς που ανακάλυψε τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου, η οποία αποδείχθηκε ότι δεν ήταν παρά η εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης στο γράφημα της συνάρτησης.
Τι είναι οι παράγωγοι αριθμών; Ας επαναλάβουμε λίγο αυτό που περάσαμε στο σχολείο.
Τι είναι παράγωγο;
Αυτή η έννοια μπορεί να οριστεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Η απλούστερη εξήγηση είναι ότι η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης. Φανταστείτε μια γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης y του x. Αν δεν είναι ευθεία, τότε έχει κάποιες καμπύλες στο γράφημα, περιόδους αύξησης και μείωσης. Αν πάρουμε κάποιο απείρως μικρό διάστημα αυτού του γραφήματος, θα είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα. Έτσι, ο λόγος του μεγέθους αυτού του απείρως μικρού τμήματος κατά μήκος της συντεταγμένης y προς το μέγεθος κατά μήκος της συντεταγμένης x θα είναι η παράγωγος αυτής της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση ως σύνολο και όχι σε ένα συγκεκριμένο σημείο, τότε θα πάρουμε μια παράγωγη συνάρτηση, δηλαδή μια ορισμένη εξάρτηση του y από το x.
Εξάλλου, εκτός από τη φυσική σημασία της παραγώγου ως ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης, υπάρχει και μια γεωμετρική σημασία. Θα μιλήσουμε για αυτόν τώρα.
Γεωμετρική αίσθηση
Οι ίδιες οι παράγωγοι αριθμών αντιπροσωπεύουν έναν ορισμένο αριθμό, ο οποίος, χωρίς σωστή κατανόηση, δεν φέρειΔεν έχει νόημα. Αποδεικνύεται ότι η παράγωγος δεν δείχνει μόνο τον ρυθμό αύξησης ή μείωσης της συνάρτησης, αλλά και την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Όχι πολύ σαφής ορισμός. Ας το αναλύσουμε πιο αναλυτικά. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα γράφημα μιας συνάρτησης (για ενδιαφέρον, ας πάρουμε μια καμπύλη). Έχει άπειρο αριθμό σημείων, αλλά υπάρχουν περιοχές όπου μόνο ένα μόνο σημείο έχει μέγιστο ή ελάχιστο. Μέσα από οποιοδήποτε τέτοιο σημείο είναι δυνατό να σχεδιάσουμε μια ευθεία που θα ήταν κάθετη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Μια τέτοια γραμμή θα ονομάζεται εφαπτομένη. Ας πούμε ότι το περάσαμε στη διασταύρωση με τον άξονα OX. Έτσι, η γωνία που προκύπτει μεταξύ της εφαπτομένης και του άξονα OX θα καθοριστεί από την παράγωγο. Πιο συγκεκριμένα, η εφαπτομένη αυτής της γωνίας θα είναι ίση με αυτήν.
Ας μιλήσουμε λίγο για ειδικές περιπτώσεις και ας αναλύσουμε παραγώγους αριθμών.
Ειδικές περιπτώσεις
Όπως έχουμε ήδη πει, οι παράγωγοι αριθμών είναι οι τιμές της παραγώγου σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Για παράδειγμα, ας πάρουμε τη συνάρτηση y=x2. Η παράγωγος x είναι ένας αριθμός, και στη γενική περίπτωση, μια συνάρτηση ίση με 2x. Αν πρέπει να υπολογίσουμε την παράγωγο, ας πούμε, στο σημείο x0=1, τότε παίρνουμε y'(1)=21=2. Όλα είναι πολύ απλά. Μια ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι η παράγωγος ενός μιγαδικού αριθμού. Δεν θα προχωρήσουμε σε μια λεπτομερή εξήγηση του τι είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Ας πούμε απλώς ότι αυτός είναι ένας αριθμός που περιέχει τη λεγόμενη φανταστική μονάδα - έναν αριθμό του οποίου το τετράγωνο είναι -1. Ο υπολογισμός μιας τέτοιας παραγώγου είναι δυνατός μόνο εάν τα ακόλουθαπροϋποθέσεις:
1) Πρέπει να υπάρχουν μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης των πραγματικών και φανταστικών μερών σε σχέση με το Y και το X.
2) Οι συνθήκες Cauchy-Riemann που σχετίζονται με την ισότητα των μερικών παραγώγων που περιγράφονται στην πρώτη παράγραφο πληρούνται.
Μια άλλη ενδιαφέρουσα περίπτωση, αν και όχι τόσο περίπλοκη όσο η προηγούμενη, είναι η παράγωγος ενός αρνητικού αριθμού. Στην πραγματικότητα, οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως θετικός αριθμός πολλαπλασιασμένος με -1. Λοιπόν, η παράγωγος της σταθεράς και της συνάρτησης είναι ίση με τη σταθερά πολλαπλασιασμένη με την παράγωγο της συνάρτησης.
Θα είναι ενδιαφέρον να μάθουμε για το ρόλο του παραγώγου στην καθημερινή ζωή, και αυτό είναι που θα συζητήσουμε τώρα.
Αίτηση
Πιθανώς, ο καθένας από εμάς τουλάχιστον μία φορά στη ζωή του πιάνει τον εαυτό του να πιστεύει ότι τα μαθηματικά είναι απίθανο να του είναι χρήσιμα. Και ένα τόσο περίπλοκο πράγμα όπως το παράγωγο, μάλλον, δεν έχει καμία εφαρμογή. Στην πραγματικότητα, τα μαθηματικά είναι μια θεμελιώδης επιστήμη και όλοι οι καρποί τους αναπτύσσονται κυρίως από τη φυσική, τη χημεία, την αστρονομία, ακόμη και τα οικονομικά. Το παράγωγο ήταν η αρχή της μαθηματικής ανάλυσης, που μας έδωσε τη δυνατότητα να εξάγουμε συμπεράσματα από τα γραφήματα των συναρτήσεων και μάθαμε να ερμηνεύουμε τους νόμους της φύσης και να τους μετατρέπουμε προς όφελός μας χάρη σε αυτό.
Συμπέρασμα
Φυσικά, μπορεί να μην χρειάζονται όλοι ένα παράγωγο στην πραγματική ζωή. Όμως τα μαθηματικά αναπτύσσουν τη λογική, η οποία σίγουρα θα χρειαστεί. Δεν είναι τυχαίο που τα μαθηματικά αποκαλούνται η βασίλισσα των επιστημών: αποτελούν τη βάση για την κατανόηση άλλων τομέων γνώσης.
