Τι είναι οι παράλογοι αριθμοί; Γιατί λέγονται έτσι; Πού χρησιμοποιούνται και τι είναι; Λίγοι μπορούν να απαντήσουν σε αυτές τις ερωτήσεις χωρίς δισταγμό. Αλλά στην πραγματικότητα, οι απαντήσεις σε αυτά είναι αρκετά απλές, αν και δεν τις χρειάζονται όλοι και σε πολύ σπάνιες περιπτώσεις
Ουσία και προσδιορισμός
Οι παράλογοι αριθμοί είναι άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά κλάσματα. Η ανάγκη εισαγωγής αυτής της έννοιας οφείλεται στο γεγονός ότι οι προηγουμένως υπάρχουσες έννοιες πραγματικών ή πραγματικών, ακέραιων, φυσικών και ρητών αριθμών δεν ήταν πλέον αρκετές για την επίλυση νέων αναδυόμενων προβλημάτων. Για παράδειγμα, για να υπολογίσετε ποιο είναι το τετράγωνο του 2, πρέπει να χρησιμοποιήσετε μη επαναλαμβανόμενα άπειρα δεκαδικά. Επιπλέον, πολλές από τις απλούστερες εξισώσεις επίσης δεν έχουν λύση χωρίς να εισάγουν την έννοια του παράλογου αριθμού.
Αυτό το σύνολο συμβολίζεται ως I. Και, όπως είναι ήδη σαφές, αυτές οι τιμές δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένα απλό κλάσμα, στον αριθμητή του οποίου θα υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός και στον παρονομαστή - ένας φυσικός αριθμός.
Για πρώτη φοράΔιαφορετικά, οι Ινδοί μαθηματικοί αντιμετώπισαν αυτό το φαινόμενο τον 7ο αιώνα π. Χ., όταν ανακαλύφθηκε ότι οι τετραγωνικές ρίζες ορισμένων ποσοτήτων δεν μπορούσαν να δηλωθούν ρητά. Και η πρώτη απόδειξη της ύπαρξης τέτοιων αριθμών αποδίδεται στον Πυθαγόρειο Ίππασο, ο οποίος το έκανε στη διαδικασία μελέτης ενός ισοσκελές ορθογώνιου τριγώνου. Μια σοβαρή συμβολή στη μελέτη αυτού του συνόλου είχαν κάποιοι άλλοι επιστήμονες που έζησαν πριν από την εποχή μας. Η εισαγωγή της έννοιας των παράλογων αριθμών συνεπαγόταν μια αναθεώρηση του υπάρχοντος μαθηματικού συστήματος, γι' αυτό είναι τόσο σημαντικοί.
Προέλευση του ονόματος
Αν ratio στα λατινικά σημαίνει "κλάσμα", "αναλογία", τότε το πρόθεμα "ir"
δίνει σε αυτή τη λέξη την αντίθετη σημασία. Έτσι, το όνομα του συνόλου αυτών των αριθμών δείχνει ότι δεν μπορούν να συσχετιστούν με ακέραιο ή κλασματικό, έχουν ξεχωριστή θέση. Αυτό προκύπτει από την ουσία τους.
Θέση στη γενική κατάταξη
Οι παράλογοι αριθμοί, μαζί με τους ρητούς αριθμούς, ανήκουν στην ομάδα των πραγματικών ή πραγματικών αριθμών, οι οποίοι με τη σειρά τους ανήκουν σε μιγαδικούς αριθμούς. Δεν υπάρχουν υποσύνολα, ωστόσο, υπάρχουν αλγεβρικές και υπερβατικές ποικιλίες, οι οποίες θα συζητηθούν παρακάτω.
Ιδιότητες
Δεδομένου ότι οι παράλογοι αριθμοί αποτελούν μέρος του συνόλου των πραγματικών αριθμών, όλες οι ιδιότητές τους που μελετώνται αριθμητικά (ονομάζονται επίσης βασικοί αλγεβρικοί νόμοι) ισχύουν γι' αυτούς.
a + b=b + a (ανταλλαγή);
(a + b) + c=a + (b + c)(συνειρμότητα);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (η ύπαρξη του αντίθετου αριθμού);
ab=ba (νόμος μετατόπισης);
(ab)c=a(bc) (διανομή);
a(b+c)=ab + ac (διανεμητικός νόμος);
a x 1=a
a x 1/a=1 (η ύπαρξη αντιστρόφου αριθμού);
Η σύγκριση πραγματοποιείται επίσης σύμφωνα με γενικούς νόμους και αρχές:
Αν a > b και b > c, τότε a > c (μεταβατικότητα του λόγου) και. κ.λπ.
Φυσικά, όλοι οι παράλογοι αριθμοί μπορούν να μετατραπούν χρησιμοποιώντας βασική αριθμητική. Δεν υπάρχουν ειδικοί κανόνες για αυτό.
Επιπλέον, το αξίωμα του Αρχιμήδη ισχύει για τους παράλογους αριθμούς. Λέει ότι για οποιεσδήποτε δύο ποσότητες a και b, ισχύει η δήλωση ότι παίρνοντας το a ως όρο αρκετές φορές, μπορείτε να ξεπεράσετε το b.
Χρήση
Παρά το γεγονός ότι στη συνηθισμένη ζωή δεν χρειάζεται να τα αντιμετωπίζετε συχνά, οι παράλογοι αριθμοί δεν μπορούν να μετρηθούν. Υπάρχουν πολλά από αυτά, αλλά είναι σχεδόν αόρατα. Μας περιβάλλουν παντού παράλογοι αριθμοί. Παραδείγματα γνωστά σε όλους είναι ο αριθμός pi, ίσος με 3, 1415926 …, ή e, που είναι ουσιαστικά η βάση του φυσικού λογάριθμου, 2, 718281828 … Στην άλγεβρα, την τριγωνομετρία και τη γεωμετρία, πρέπει να χρησιμοποιούνται συνεχώς. Παρεμπιπτόντως, η περίφημη τιμή της "χρυσής τομής", δηλαδή η αναλογία τόσο του μεγαλύτερου μέρους προς το μικρότερο όσο και αντίστροφα, είναι επίσης
Το
ανήκει σε αυτό το σύνολο. Λιγότερο γνωστό "ασήμι" - επίσης.
Βρίσκονται πολύ πυκνά στην αριθμητική γραμμή, επομένως ανάμεσα σε δύο οποιεσδήποτε τιμές που σχετίζονται με το σύνολο των ορθολογικών, είναι βέβαιο ότι θα συμβεί μια παράλογη.
Υπάρχουν ακόμη πολλά άλυτα προβλήματα που σχετίζονται με αυτό το σετ. Υπάρχουν κριτήρια όπως το μέτρο του παραλογισμού και η κανονικότητα ενός αριθμού. Οι μαθηματικοί συνεχίζουν να εξετάζουν τα πιο σημαντικά παραδείγματα για το ότι ανήκουν σε μια ομάδα ή στην άλλη. Για παράδειγμα, πιστεύεται ότι το e είναι ένας κανονικός αριθμός, δηλαδή η πιθανότητα να εμφανίζονται διαφορετικά ψηφία στην εγγραφή του είναι η ίδια. Όσο για το pi, η έρευνα είναι ακόμη σε εξέλιξη σχετικά με αυτό. Ένα μέτρο του παραλογισμού ονομάζεται επίσης τιμή που δείχνει πόσο καλά μπορεί να προσεγγιστεί αυτός ή εκείνος ο αριθμός με ορθολογικούς αριθμούς.
Αλγεβρικό και υπερβατικό
Όπως ήδη αναφέρθηκε, οι παράλογοι αριθμοί χωρίζονται υπό όρους σε αλγεβρικούς και υπερβατικούς. Υπό όρους, εφόσον, αυστηρά μιλώντας, αυτή η ταξινόμηση χρησιμοποιείται για τη διαίρεση του συνόλου C.
Αυτή η ονομασία κρύβει μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι περιλαμβάνουν πραγματικούς ή πραγματικούς αριθμούς.
Έτσι, μια αλγεβρική τιμή είναι μια τιμή που είναι μια ρίζα ενός πολυωνύμου που δεν είναι πανομοιότυπα ίση με το μηδέν. Για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του 2 θα ήταν σε αυτήν την κατηγορία επειδή είναι η λύση της εξίσωσης x2 - 2=0.
Όλοι οι άλλοι πραγματικοί αριθμοί που δεν ικανοποιούν αυτήν την προϋπόθεση ονομάζονται υπερβατικοί. Σε αυτή την ποικιλίασυμπεριλάβετε τα πιο διάσημα και ήδη αναφερθέντα παραδείγματα - τον αριθμό pi και τη βάση του φυσικού λογάριθμου e.
Είναι ενδιαφέρον ότι ούτε το ένα ούτε το δεύτερο συνήχθη αρχικά από τους μαθηματικούς με αυτή την ιδιότητα, ο παραλογισμός και η υπερβατικότητά τους αποδείχθηκαν πολλά χρόνια μετά την ανακάλυψή τους. Για το pi, η απόδειξη δόθηκε το 1882 και απλοποιήθηκε το 1894, γεγονός που έβαλε τέλος στη διαμάχη 2.500 ετών σχετικά με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Δεν είναι ακόμα πλήρως κατανοητό, επομένως οι σύγχρονοι μαθηματικοί έχουν κάτι να δουλέψουν. Παρεμπιπτόντως, ο πρώτος επαρκώς ακριβής υπολογισμός αυτής της τιμής πραγματοποιήθηκε από τον Αρχιμήδη. Πριν από αυτόν, όλοι οι υπολογισμοί ήταν πολύ κατά προσέγγιση.
Για το e (τους αριθμούς Euler ή Napier), η απόδειξη της υπέρβασής του βρέθηκε το 1873. Χρησιμοποιείται για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων.
Άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν τιμές ημιτονοειδούς, συνημίτονο και εφαπτομένης για οποιεσδήποτε αλγεβρικές μη μηδενικές τιμές.
