Μιλώντας για μαθηματικά, είναι αδύνατο να μην θυμόμαστε κλάσματα. Στη μελέτη τους δίνεται πολλή προσοχή και χρόνος. Θυμηθείτε πόσα παραδείγματα έπρεπε να λύσετε για να μάθετε ορισμένους κανόνες για την εργασία με κλάσματα, πώς απομνημονεύσατε και εφαρμόσατε την κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος. Πόσα νεύρα ξοδεύτηκαν για να βρεθεί ένας κοινός παρονομαστής, ειδικά αν υπήρχαν περισσότεροι από δύο όροι στα παραδείγματα!
Ας θυμηθούμε τι είναι και ας φρεσκάρουμε λίγο τη μνήμη μας σχετικά με τις βασικές πληροφορίες και τους κανόνες για την εργασία με κλάσματα.
Ορισμός κλασμάτων
Ας ξεκινήσουμε με το πιο σημαντικό πράγμα - τους ορισμούς. Κλάσμα είναι ένας αριθμός που αποτελείται από ένα ή περισσότερα μοναδιαία μέρη. Ένας κλασματικός αριθμός γράφεται ως δύο αριθμοί που χωρίζονται με οριζόντια ή κάθετο. Σε αυτήν την περίπτωση, το πάνω (ή το πρώτο) ονομάζεται αριθμητής και το κάτω (δεύτερο) ονομάζεται παρονομαστής.
Αξίζει να σημειωθεί ότι ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα μέρη χωρίζεται η μονάδα και ο αριθμητής δείχνει τον αριθμό των μετοχών ή των μερών που λαμβάνονται. Συχνά τα κλάσματα, αν είναι σωστά, είναι λιγότερα από ένα.
Ας δούμε τώρα τις ιδιότητες αυτών των αριθμών και τους βασικούς κανόνες που χρησιμοποιούνται κατά την εργασία με αυτούς. Αλλά προτού αναλύσουμε μια έννοια όπως "η κύρια ιδιότητα ενός λογικού κλάσματος", ας μιλήσουμε για τους τύπους των κλασμάτων και τα χαρακτηριστικά τους.
Τι είναι τα κλάσματα
Υπάρχουν διάφοροι τύποι τέτοιων αριθμών. Πρώτα απ 'όλα, αυτά είναι συνηθισμένα και δεκαδικά. Τα πρώτα αντιπροσωπεύουν τον τύπο εγγραφής ενός ρητού αριθμού που έχει ήδη υποδειχθεί από εμάς χρησιμοποιώντας οριζόντια ή κάθετο. Ο δεύτερος τύπος κλασμάτων υποδεικνύεται χρησιμοποιώντας τον λεγόμενο συμβολισμό θέσης, όταν υποδεικνύεται πρώτα το ακέραιο μέρος του αριθμού και μετά, μετά την υποδιαστολή, εμφανίζεται το κλασματικό μέρος.
Εδώ αξίζει να σημειωθεί ότι στα μαθηματικά τόσο τα δεκαδικά όσο και τα συνηθισμένα κλάσματα χρησιμοποιούνται εξίσου. Η κύρια ιδιότητα του κλάσματος ισχύει μόνο για τη δεύτερη επιλογή. Επιπλέον, στα συνηθισμένα κλάσματα διακρίνονται οι σωστοί και οι λάθος αριθμοί. Για τον πρώτο, ο αριθμητής είναι πάντα μικρότερος από τον παρονομαστή. Σημειώστε επίσης ότι ένα τέτοιο κλάσμα είναι μικρότερο από τη μονάδα. Σε ένα ακατάλληλο κλάσμα, αντίθετα, ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή και ο ίδιος είναι μεγαλύτερος από ένα. Σε αυτήν την περίπτωση, ένας ακέραιος μπορεί να εξαχθεί από αυτό. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε μόνο τα συνηθισμένα κλάσματα.
Ιδιότητες των κλασμάτων
Κάθε φαινόμενο, χημικό, φυσικό ή μαθηματικό, έχει τα δικά του χαρακτηριστικά και ιδιότητες. Οι κλασματικοί αριθμοί δεν αποτελούν εξαίρεση. Έχουν ένα σημαντικό χαρακτηριστικό, με τη βοήθεια του οποίου είναι δυνατή η εκτέλεση ορισμένων λειτουργιών σε αυτά. Ποια είναι η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος;Ο κανόνας λέει ότι αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο ρητό αριθμό, θα πάρουμε ένα νέο κλάσμα, η τιμή του οποίου θα είναι ίση με την αρχική τιμή. Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας δύο μέρη του κλασματικού αριθμού 3/6 με το 2, παίρνουμε ένα νέο κλάσμα 6/12, ενώ θα είναι ίσα.
Με βάση αυτήν την ιδιότητα, μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα, καθώς και να επιλέξετε κοινούς παρονομαστές για ένα συγκεκριμένο ζεύγος αριθμών.
Λειτουργίες
Παρά το γεγονός ότι τα κλάσματα μας φαίνονται πιο σύνθετα από τους πρώτους αριθμούς, μπορούν επίσης να εκτελέσουν βασικές μαθηματικές πράξεις, όπως πρόσθεση και αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Επιπλέον, υπάρχει μια τέτοια συγκεκριμένη δράση όπως η μείωση των κλασμάτων. Φυσικά, κάθε μία από αυτές τις ενέργειες εκτελείται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Η γνώση αυτών των νόμων διευκολύνει την εργασία με κλάσματα, καθιστώντας την ευκολότερη και πιο ενδιαφέρουσα. Γι' αυτό θα εξετάσουμε περαιτέρω τους βασικούς κανόνες και τον αλγόριθμο ενεργειών όταν εργαζόμαστε με τέτοιους αριθμούς.
Αλλά πριν μιλήσουμε για μαθηματικές πράξεις όπως η πρόσθεση και η αφαίρεση, ας αναλύσουμε μια πράξη όπως η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή. Εδώ θα φανεί χρήσιμη η γνώση της βασικής ιδιότητας ενός κλάσματος.
Κοινός παρονομαστής
Για να αναγάγετε έναν αριθμό σε κοινό παρονομαστή, πρέπει πρώτα να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δύο παρονομαστών. Δηλαδή ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται ταυτόχρονα και με τους δύο παρονομαστές χωρίς υπόλοιπο. Ο ευκολότερος τρόπος για να παραλάβετε το NOC(ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) - γράψτε σε μια γραμμή τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι για έναν παρονομαστή και μετά για τον δεύτερο και βρείτε έναν αντίστοιχο αριθμό μεταξύ τους. Σε περίπτωση που δεν βρεθεί το LCM, δηλαδή αυτοί οι αριθμοί δεν έχουν κοινό πολλαπλάσιο, θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν και η τιμή που προκύπτει θα πρέπει να θεωρηθεί ως το LCM.
Λοιπόν, βρήκαμε το LCM, τώρα πρέπει να βρούμε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να διαιρέσετε εναλλάξ το LCM σε παρονομαστές των κλασμάτων και να σημειώσετε τον αριθμό που προκύπτει σε καθένα από αυτά. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον πρόσθετο παράγοντα που προκύπτει και γράψτε τα αποτελέσματα ως νέο κλάσμα. Εάν αμφιβάλλετε ότι ο αριθμός που λάβατε είναι ίσος με τον προηγούμενο, θυμηθείτε τη βασική ιδιότητα του κλάσματος.
Προσθήκη
Ας πάμε τώρα απευθείας στις μαθηματικές πράξεις σε κλασματικούς αριθμούς. Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό. Υπάρχουν πολλές επιλογές για την προσθήκη κλασμάτων. Στην πρώτη περίπτωση και οι δύο αριθμοί έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Σε αυτή την περίπτωση, μένει μόνο να προσθέσουμε τους αριθμητές μαζί. Όμως ο παρονομαστής δεν αλλάζει. Για παράδειγμα, 1/5 + 3/5=4/5.
Αν τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, θα πρέπει να τα φέρετε σε έναν κοινό και μόνο μετά να κάνετε πρόσθεση. Πώς να το κάνετε αυτό, έχουμε συζητήσει μαζί σας λίγο πιο πάνω. Σε αυτήν την περίπτωση, η κύρια ιδιότητα του κλάσματος θα είναι χρήσιμη. Ο κανόνας θα σας επιτρέψει να φέρετε τους αριθμούς σε έναν κοινό παρονομαστή. Αυτό δεν θα αλλάξει την τιμή με κανέναν τρόπο.
Εναλλακτικά, μπορεί να συμβεί το κλάσμα να αναμειχθεί. Στη συνέχεια, πρέπει πρώτα να προσθέσετε μαζί τα ολόκληρα μέρη και μετά τα κλασματικά.
Πολλαπλασιασμός
Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων δεν απαιτεί κανένα κόλπο και για να εκτελέσετε αυτήν την ενέργεια, δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζετε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Αρκεί πρώτα να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές μαζί. Σε αυτήν την περίπτωση, το γινόμενο των αριθμητών θα γίνει ο νέος αριθμητής και το γινόμενο των παρονομαστών θα γίνει ο νέος παρονομαστής. Όπως μπορείτε να δείτε, τίποτα περίπλοκο.
Το μόνο πράγμα που απαιτείται από εσάς είναι η γνώση του πίνακα πολλαπλασιασμού, καθώς και η προσοχή. Επιπλέον, αφού λάβετε το αποτέλεσμα, θα πρέπει οπωσδήποτε να ελέγξετε αν αυτός ο αριθμός μπορεί να μειωθεί ή όχι. Θα μιλήσουμε για το πώς να μειώσουμε τα κλάσματα λίγο αργότερα.
Αφαίρεση
Όταν αφαιρείτε κλάσματα, θα πρέπει να καθοδηγείτε από τους ίδιους κανόνες όπως και κατά την πρόσθεση. Άρα, σε αριθμούς με τον ίδιο παρονομαστή, αρκεί να αφαιρέσουμε τον αριθμητή του δευτερεύοντος από τον αριθμητή του δευτερεύοντος. Σε περίπτωση που τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, θα πρέπει να τα φέρετε σε έναν κοινό και στη συνέχεια να εκτελέσετε αυτήν τη λειτουργία. Όπως και με την πρόσθεση, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τη βασική ιδιότητα ενός αλγεβρικού κλάσματος, καθώς και δεξιότητες στην εύρεση του LCM και κοινών παραγόντων για τα κλάσματα.
Division
Και η τελευταία, πιο ενδιαφέρουσα λειτουργία όταν εργάζεστε με τέτοιους αριθμούς είναι η διαίρεση. Είναι αρκετά απλό και δεν προκαλεί ιδιαίτερες δυσκολίες ακόμη και σε όσους δεν καταλαβαίνουν πώς να εργάζονται με κλάσματα, ειδικά να εκτελούν πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης. Κατά τη διαίρεση, ένας τέτοιος κανόνας ισχύει ως πολλαπλασιασμός με ένα αμοιβαίο κλάσμα. Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος, όπως στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού,δεν θα χρησιμοποιηθεί για αυτή τη λειτουργία. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.
Κατά τη διαίρεση αριθμών, το μέρισμα παραμένει αμετάβλητο. Ο διαιρέτης αντιστρέφεται, δηλαδή ο αριθμητής και ο παρονομαστής αντιστρέφονται. Μετά από αυτό, οι αριθμοί πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους.
Συντομογραφία
Έχουμε ήδη αναλύσει τον ορισμό και τη δομή των κλασμάτων, τους τύπους τους, τους κανόνες λειτουργίας αυτών των αριθμών, ανακαλύψαμε την κύρια ιδιότητα ενός αλγεβρικού κλάσματος. Τώρα ας μιλήσουμε για μια τέτοια λειτουργία όπως η μείωση. Η μείωση ενός κλάσματος είναι η διαδικασία μετατροπής του - διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Έτσι, το κλάσμα μειώνεται χωρίς να μεταβάλλονται οι ιδιότητές του.
Συνήθως, όταν εκτελείτε μια μαθηματική πράξη, θα πρέπει να κοιτάξετε προσεκτικά το αποτέλεσμα που λήφθηκε στο τέλος και να μάθετε εάν είναι δυνατό να μειώσετε το κλάσμα που προκύπτει ή όχι. Να θυμάστε ότι το τελικό αποτέλεσμα γράφεται πάντα ως κλασματικός αριθμός που δεν απαιτεί μείωση.
Άλλες λειτουργίες
Τέλος, σημειώνουμε ότι δεν έχουμε παραθέσει όλες τις πράξεις σε κλασματικούς αριθμούς, αναφέροντας μόνο τις πιο διάσημες και απαραίτητες. Τα κλάσματα μπορούν επίσης να συγκριθούν, να μετατραπούν σε δεκαδικά ψηφία και αντίστροφα. Αλλά σε αυτό το άρθρο δεν λάβαμε υπόψη αυτές τις πράξεις, καθώς στα μαθηματικά εκτελούνται πολύ λιγότερο συχνά από αυτές που δώσαμε παραπάνω.
Συμπεράσματα
Μιλήσαμε για τους κλασματικούς αριθμούς και τις πράξεις μαζί τους. Αποσυναρμολογήσαμε επίσης την κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος,μείωση των κλασμάτων. Σημειώνουμε όμως ότι όλα αυτά τα ερωτήματα εξετάστηκαν από εμάς εν παρόδω. Δώσαμε μόνο τους πιο διάσημους και χρησιμοποιημένους κανόνες, δώσαμε τις πιο σημαντικές, κατά τη γνώμη μας, συμβουλές.
Αυτό το άρθρο προορίζεται να ανανεώσει τις πληροφορίες που έχετε ξεχάσει για τα κλάσματα, αντί να δώσει νέες πληροφορίες και να «γεμίσει» το κεφάλι σας με ατελείωτους κανόνες και τύπους, που, πιθανότατα, δεν θα σας φανούν χρήσιμοι.
Ελπίζουμε ότι το υλικό που παρουσιάζεται στο άρθρο απλά και συνοπτικά έχει γίνει χρήσιμο για εσάς.
