Συχνά, κατά τη μελέτη φυσικών φαινομένων, χημικών και φυσικών ιδιοτήτων διαφόρων ουσιών, καθώς και επίλυσης πολύπλοκων τεχνικών προβλημάτων, πρέπει να ασχοληθεί κανείς με διαδικασίες των οποίων το χαρακτηριστικό γνώρισμα είναι η περιοδικότητα, δηλαδή η τάση να επαναλαμβάνεται μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Για να περιγράψουμε και να απεικονίσουμε γραφικά μια τέτοια κυκλικότητα στην επιστήμη, υπάρχει ένας ειδικός τύπος συνάρτησης - μια περιοδική συνάρτηση.
Το πιο απλό και κατανοητό παράδειγμα είναι η περιστροφή του πλανήτη μας γύρω από τον Ήλιο, κατά την οποία η μεταξύ τους απόσταση, η οποία συνεχώς αλλάζει, υπόκειται σε ετήσιους κύκλους. Με τον ίδιο τρόπο, το πτερύγιο του στροβίλου επιστρέφει στη θέση του, έχοντας κάνει πλήρη περιστροφή. Όλες αυτές οι διαδικασίες μπορούν να περιγραφούν με μια τέτοια μαθηματική ποσότητα ως περιοδική συνάρτηση. Σε γενικές γραμμές, ολόκληρος ο κόσμος μας είναι κυκλικός. Αυτό σημαίνει ότι η περιοδική συνάρτηση κατέχει επίσης σημαντική θέση στο ανθρώπινο σύστημα συντεταγμένων.
Η ανάγκη των μαθηματικών για θεωρία αριθμών, τοπολογία, διαφορικές εξισώσεις και ακριβείς γεωμετρικούς υπολογισμούς οδήγησε στην εμφάνιση τον δέκατο ένατο αιώνα μιας νέας κατηγορίας συναρτήσεων με ασυνήθιστες ιδιότητες. Έγιναν περιοδικές συναρτήσεις που παίρνουν πανομοιότυπες τιμές σε ορισμένα σημεία ως αποτέλεσμα πολύπλοκων μετασχηματισμών. Τώρα χρησιμοποιούνται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών και άλλων επιστημών. Για παράδειγμα, όταν μελετάτε διάφορα ταλαντευτικά αποτελέσματα στην κυματική φυσική.
Διαφορετικά μαθηματικά εγχειρίδια δίνουν διαφορετικούς ορισμούς μιας περιοδικής συνάρτησης. Ωστόσο, ανεξάρτητα από αυτές τις αποκλίσεις στις συνθέσεις, είναι όλες ισοδύναμες, αφού περιγράφουν τις ίδιες ιδιότητες της συνάρτησης. Ο πιο απλός και κατανοητός μπορεί να είναι ο παρακάτω ορισμός. Οι συναρτήσεις των οποίων οι αριθμητικοί δείκτες δεν αλλάζουν εάν στο όρισμά τους προστεθεί ένας ορισμένος αριθμός εκτός από το μηδέν, η λεγόμενη περίοδος της συνάρτησης, που συμβολίζεται με το γράμμα Τ, ονομάζονται περιοδικές. Τι σημαίνουν όλα στην πράξη;
Για παράδειγμα, μια απλή συνάρτηση της μορφής: y=f(x) θα γίνει περιοδική εάν το X έχει μια συγκεκριμένη τιμή περιόδου (T). Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι αν η αριθμητική τιμή μιας συνάρτησης με περίοδο (T) προσδιορίζεται σε ένα από τα σημεία (x), τότε η τιμή της γίνεται επίσης γνωστή στα σημεία x + T, x - T. Το σημαντικό σημείο Εδώ είναι ότι όταν το Τ ισούται με μηδέν, η συνάρτηση μετατρέπεται σε ταυτότητα. Μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να έχει άπειρο αριθμό διαφορετικών περιόδων. ΣΤΟΣτην πλειονότητα των περιπτώσεων, μεταξύ των θετικών τιμών του Τ, υπάρχει μια περίοδος με τον μικρότερο αριθμητικό δείκτη. Λέγεται κύρια περίοδος. Και όλες οι άλλες τιμές του T είναι πάντα πολλαπλάσιες του. Αυτή είναι μια άλλη ενδιαφέρουσα και πολύ σημαντική ιδιότητα για διάφορους τομείς της επιστήμης.
Το γράφημα μιας περιοδικής συνάρτησης έχει επίσης πολλά χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα, εάν το T είναι η κύρια περίοδος της έκφρασης: y \u003d f (x), τότε όταν σχεδιάζετε αυτή τη συνάρτηση, αρκεί απλώς να σχεδιάσετε έναν κλάδο σε ένα από τα διαστήματα του μήκους περιόδου και στη συνέχεια να το μετακινήσετε κατά μήκος ο άξονας x στις ακόλουθες τιμές: ±T, ±2T, ±3T και ούτω καθεξής. Συμπερασματικά, πρέπει να σημειωθεί ότι δεν έχει κάθε περιοδική συνάρτηση κύρια περίοδο. Ένα κλασικό παράδειγμα αυτού είναι η ακόλουθη συνάρτηση του Γερμανού μαθηματικού Dirichlet: y=d(x).
