Ο μετασχηματισμός Fourier είναι ένας μετασχηματισμός που συγκρίνει τις συναρτήσεις κάποιας πραγματικής μεταβλητής. Αυτή η λειτουργία εκτελείται κάθε φορά που αντιλαμβανόμαστε διαφορετικούς ήχους. Το αυτί εκτελεί έναν αυτόματο «υπολογισμό», τον οποίο η συνείδησή μας είναι ικανή να εκτελέσει μόνο αφού μελετήσει το αντίστοιχο τμήμα των ανώτερων μαθηματικών. Το ανθρώπινο όργανο ακοής δημιουργεί έναν μετασχηματισμό, ως αποτέλεσμα του οποίου ο ήχος (ταλαντωτική κίνηση σωματιδίων υπό όρους σε ένα ελαστικό μέσο που διαδίδονται σε μορφή κύματος σε στερεό, υγρό ή αέριο μέσο) παρέχεται με τη μορφή φάσματος διαδοχικών τιμών του επιπέδου έντασης των τόνων διαφορετικών υψών. Μετά από αυτό, ο εγκέφαλος μετατρέπει αυτές τις πληροφορίες σε έναν ήχο οικείο σε όλους.
Μαθηματικός Μετασχηματισμός Φουριέ
Ο μετασχηματισμός των ηχητικών κυμάτων ή άλλων ταλαντωτικών διεργασιών (από την ακτινοβολία φωτός και την παλίρροια των ωκεανών σε κύκλους αστρικής ή ηλιακής δραστηριότητας) μπορεί επίσης να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας μαθηματικές μεθόδους. Έτσι, χρησιμοποιώντας αυτές τις τεχνικές, είναι δυνατή η αποσύνθεση συναρτήσεων αναπαραστώντας τις ταλαντωτικές διεργασίες ως ένα σύνολο ημιτονοειδών συνιστωσών, δηλαδή κυματιστές καμπύλες πουπηγαίνετε από τα χαμηλά προς τα ψηλά, μετά πίσω στα χαμηλά, σαν κύμα θάλασσας. Μετασχηματισμός Fourier - ένας μετασχηματισμός του οποίου η συνάρτηση περιγράφει τη φάση ή το πλάτος κάθε ημιτονοειδούς που αντιστοιχεί σε μια ορισμένη συχνότητα. Η φάση είναι το σημείο εκκίνησης της καμπύλης και το πλάτος είναι το ύψος της.
Ο μετασχηματισμός Fourier (τα παραδείγματα φαίνονται στη φωτογραφία) είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο που χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς της επιστήμης. Σε ορισμένες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται ως μέσο επίλυσης μάλλον πολύπλοκων εξισώσεων που περιγράφουν δυναμικές διεργασίες που συμβαίνουν υπό την επίδραση του φωτός, της θερμικής ή ηλεκτρικής ενέργειας. Σε άλλες περιπτώσεις, σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τα κανονικά στοιχεία σε σύνθετα ταλαντευτικά σήματα, χάρη στα οποία μπορείτε να ερμηνεύσετε σωστά διάφορες πειραματικές παρατηρήσεις στη χημεία, την ιατρική και την αστρονομία.
Ιστορικό υπόβαθρο
Ο πρώτος άνθρωπος που εφάρμοσε αυτή τη μέθοδο ήταν ο Γάλλος μαθηματικός Jean Baptiste Fourier. Ο μετασχηματισμός, που αργότερα ονομάστηκε από αυτόν, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για να περιγράψει τον μηχανισμό αγωγιμότητας της θερμότητας. Ο Φουριέ πέρασε ολόκληρη την ενήλικη ζωή του μελετώντας τις ιδιότητες της θερμότητας. Συνέβαλε τεράστια στη μαθηματική θεωρία του προσδιορισμού των ριζών των αλγεβρικών εξισώσεων. Ο Φουριέ ήταν καθηγητής ανάλυσης στην Πολυτεχνική Σχολή, γραμματέας του Ινστιτούτου Αιγυπτιολογίας, ήταν στην αυτοκρατορική υπηρεσία, όπου διακρίθηκε κατά την κατασκευή του δρόμου προς το Τορίνο (υπό την ηγεσία του, περισσότερα από 80 χιλιάδες τετραγωνικά χιλιόμετρα ελονοσίαςβάλτοι). Ωστόσο, όλη αυτή η έντονη δραστηριότητα δεν εμπόδισε τον επιστήμονα να κάνει μαθηματική ανάλυση. Το 1802, έβγαλε μια εξίσωση που περιγράφει τη διάδοση της θερμότητας στα στερεά. Το 1807, ο επιστήμονας ανακάλυψε μια μέθοδο για την επίλυση αυτής της εξίσωσης, η οποία ονομάστηκε "μετασχηματισμός Fourier".
Ανάλυση θερμικής αγωγιμότητας
Ο επιστήμονας εφάρμοσε μια μαθηματική μέθοδο για να περιγράψει τον μηχανισμό αγωγιμότητας της θερμότητας. Ένα βολικό παράδειγμα, στο οποίο δεν υπάρχουν δυσκολίες στον υπολογισμό, είναι η διάδοση της θερμικής ενέργειας μέσω ενός σιδερένιου δακτυλίου βυθισμένου σε ένα μέρος της φωτιάς. Για να πραγματοποιήσει πειράματα, ο Φουριέ θέρμανε ένα μέρος αυτού του δακτυλίου καυτό και το έθαψε σε ψιλή άμμο. Μετά από αυτό, έκανε μετρήσεις θερμοκρασίας στην αντίθετη πλευρά του. Αρχικά, η κατανομή της θερμότητας είναι ακανόνιστη: ένα μέρος του δακτυλίου είναι κρύο και το άλλο είναι ζεστό· μια απότομη διαβάθμιση θερμοκρασίας μπορεί να παρατηρηθεί μεταξύ αυτών των ζωνών. Ωστόσο, κατά τη διαδικασία διάδοσης της θερμότητας σε ολόκληρη την επιφάνεια του μετάλλου, γίνεται πιο ομοιόμορφο. Έτσι, σύντομα αυτή η διαδικασία παίρνει τη μορφή ημιτονοειδούς. Αρχικά, το γράφημα αυξάνεται ομαλά και επίσης μειώνεται ομαλά, ακριβώς σύμφωνα με τους νόμους της αλλαγής της συνάρτησης συνημιτόνου ή ημιτόνου. Το κύμα σταδιακά σβήνει και ως αποτέλεσμα η θερμοκρασία γίνεται ίδια σε όλη την επιφάνεια του δακτυλίου.
Ο συγγραφέας αυτής της μεθόδου πρότεινε ότι η αρχική ακανόνιστη κατανομή μπορεί να αποσυντεθεί σε έναν αριθμό στοιχειωδών ημιτονοειδών. Κάθε ένα από αυτά θα έχει τη δική του φάση (αρχική θέση) και τη δική του θερμοκρασίατο μέγιστο. Επιπλέον, κάθε τέτοιο στοιχείο αλλάζει από ένα ελάχιστο σε ένα μέγιστο και πίσω σε μια πλήρη περιστροφή γύρω από τον δακτύλιο ακέραιο αριθμό φορές. Ένα συστατικό με μία περίοδο ονομαζόταν θεμελιώδης αρμονική, και μια τιμή με δύο ή περισσότερες περιόδους ονομαζόταν δεύτερη, και ούτω καθεξής. Έτσι, η μαθηματική συνάρτηση που περιγράφει τη μέγιστη θερμοκρασία, τη φάση ή τη θέση ονομάζεται μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης κατανομής. Ο επιστήμονας μείωσε ένα μόνο συστατικό, το οποίο είναι δύσκολο να περιγραφεί μαθηματικά, σε ένα εύχρηστο εργαλείο - τη σειρά συνημιτόνου και ημιτόνου, που αθροίζονται για να δώσουν την αρχική κατανομή.
Η ουσία της ανάλυσης
Εφαρμόζοντας αυτήν την ανάλυση στον μετασχηματισμό της διάδοσης της θερμότητας μέσω ενός στερεού αντικειμένου που έχει δακτυλιοειδές σχήμα, ο μαθηματικός συλλογίστηκε ότι η αύξηση των περιόδων του ημιτονοειδούς συστατικού θα οδηγούσε στην ταχεία διάσπασή του. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στις θεμελιώδεις και δεύτερες αρμονικές. Στο τελευταίο, η θερμοκρασία φθάνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή δύο φορές σε ένα πέρασμα και στο πρώτο, μόνο μία φορά. Αποδεικνύεται ότι η απόσταση που καλύπτεται από τη θερμότητα στη δεύτερη αρμονική θα είναι η μισή από αυτή στη θεμελιώδη. Επιπλέον, η κλίση στη δεύτερη θα είναι επίσης δύο φορές πιο απότομη από την πρώτη. Επομένως, δεδομένου ότι η πιο έντονη ροή θερμότητας διανύει μια απόσταση δύο φορές μικρότερη, αυτή η αρμονική θα διασπαστεί τέσσερις φορές πιο γρήγορα από τη θεμελιώδη σε συνάρτηση με το χρόνο. Στο μέλλον, αυτή η διαδικασία θα είναι ακόμη πιο γρήγορη. Ο μαθηματικός πίστευε ότι αυτή η μέθοδος σας επιτρέπει να υπολογίσετε τη διαδικασία της αρχικής κατανομής θερμοκρασίας με την πάροδο του χρόνου.
Πρόκληση για τους σύγχρονους
Ο αλγόριθμος μετασχηματισμού Fourier αμφισβήτησε τα θεωρητικά θεμέλια των μαθηματικών εκείνη την εποχή. Στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, οι περισσότεροι εξέχοντες επιστήμονες, συμπεριλαμβανομένων των Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre και Biot, δεν αποδέχτηκαν τη δήλωσή του ότι η αρχική κατανομή θερμοκρασίας αποσυντίθεται σε συστατικά με τη μορφή θεμελιώδους αρμονικής και υψηλότερων συχνοτήτων. Ωστόσο, η Ακαδημία Επιστημών δεν μπορούσε να αγνοήσει τα αποτελέσματα που έλαβε ο μαθηματικός και του απένειμε βραβείο για τη θεωρία των νόμων της αγωγιμότητας της θερμότητας, καθώς και για τη σύγκρισή της με φυσικά πειράματα. Στην προσέγγιση του Fourier, η κύρια ένσταση ήταν το γεγονός ότι η ασυνεχής συνάρτηση αντιπροσωπεύεται από το άθροισμα πολλών ημιτονοειδών συναρτήσεων που είναι συνεχείς. Εξάλλου, περιγράφουν σκισμένες ευθείες και καμπύλες γραμμές. Οι σύγχρονοι του επιστήμονα δεν αντιμετώπισαν ποτέ παρόμοια κατάσταση, όταν οι ασυνεχείς συναρτήσεις περιγράφονταν με συνδυασμό συνεχών, όπως τετραγωνικών, γραμμικών, ημιτονοειδών ή εκθετικών. Σε περίπτωση που ο μαθηματικός είχε δίκιο στις δηλώσεις του, τότε το άθροισμα μιας άπειρης σειράς μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης θα πρέπει να μειωθεί σε μια ακριβή βαθμιαία. Τότε, μια τέτοια δήλωση φαινόταν παράλογη. Ωστόσο, παρά τις αμφιβολίες, ορισμένοι ερευνητές (π.χ. Claude Navier, Sophie Germain) έχουν διευρύνει το εύρος της έρευνας και τους έχουν ξεπεράσει την ανάλυση της κατανομής της θερμικής ενέργειας. Εν τω μεταξύ, οι μαθηματικοί συνέχισαν να αγωνίζονται με το ερώτημα εάν το άθροισμα πολλών ημιτονοειδών συναρτήσεων μπορεί να αναχθεί σε μια ακριβή αναπαράσταση μιας ασυνεχούς.
200 ετώνιστορία
Αυτή η θεωρία έχει εξελιχθεί σε δύο αιώνες, σήμερα τελικά έχει διαμορφωθεί. Με τη βοήθειά του, οι χωρικές ή χρονικές λειτουργίες χωρίζονται σε ημιτονοειδείς συνιστώσες, οι οποίες έχουν τη δική τους συχνότητα, φάση και πλάτος. Αυτός ο μετασχηματισμός προκύπτει με δύο διαφορετικές μαθηματικές μεθόδους. Η πρώτη από αυτές χρησιμοποιείται όταν η αρχική συνάρτηση είναι συνεχής και η δεύτερη - όταν αντιπροσωπεύεται από ένα σύνολο διακριτών μεμονωμένων αλλαγών. Εάν η έκφραση λαμβάνεται από τιμές που ορίζονται από διακριτά διαστήματα, τότε μπορεί να χωριστεί σε πολλές ημιτονοειδείς εκφράσεις με διακριτές συχνότητες - από τη χαμηλότερη και στη συνέχεια δύο φορές, τρεις φορές και ούτω καθεξής υψηλότερη από την κύρια. Ένα τέτοιο άθροισμα ονομάζεται σειρά Fourier. Εάν δοθεί στην αρχική παράσταση μια τιμή για κάθε πραγματικό αριθμό, τότε μπορεί να αποσυντεθεί σε αρκετές ημιτονοειδείς από όλες τις πιθανές συχνότητες. Ονομάζεται κοινώς ολοκλήρωμα Fourier και η λύση συνεπάγεται ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς της συνάρτησης. Ανεξάρτητα από το πώς επιτυγχάνεται η μετατροπή, πρέπει να καθοριστούν δύο αριθμοί για κάθε συχνότητα: πλάτος και συχνότητα. Αυτές οι τιμές εκφράζονται ως ένας ενιαίος μιγαδικός αριθμός. Η θεωρία των εκφράσεων των μιγαδικών μεταβλητών, μαζί με τον μετασχηματισμό Fourier, κατέστησαν δυνατή τη διενέργεια υπολογισμών στο σχεδιασμό διαφόρων ηλεκτρικών κυκλωμάτων, την ανάλυση μηχανικών δονήσεων, τη μελέτη του μηχανισμού διάδοσης των κυμάτων και πολλά άλλα.
Μετασχηματισμός Fourier Σήμερα
Σήμερα, η μελέτη αυτής της διαδικασίας περιορίζεται κυρίως στην εύρεση αποτελεσματικήςμεθόδους μετάβασης από μια συνάρτηση στη μετασχηματισμένη μορφή της και αντίστροφα. Αυτή η λύση ονομάζεται άμεσος και αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier. Τι σημαίνει? Προκειμένου να προσδιοριστεί το ολοκλήρωμα και να παραχθεί ένας άμεσος μετασχηματισμός Fourier, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει μαθηματικές μεθόδους ή αναλυτικές. Παρά το γεγονός ότι προκύπτουν ορισμένες δυσκολίες κατά τη χρήση τους στην πράξη, τα περισσότερα ολοκληρώματα έχουν ήδη βρεθεί και συμπεριληφθεί σε μαθηματικά βιβλία αναφοράς. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν αριθμητικές μέθοδοι για τον υπολογισμό παραστάσεων των οποίων η μορφή βασίζεται σε πειραματικά δεδομένα ή συναρτήσεων των οποίων τα ολοκληρώματα δεν είναι διαθέσιμα σε πίνακες και είναι δύσκολο να παρουσιαστούν σε αναλυτική μορφή.
Πριν από την εμφάνιση των υπολογιστών, οι υπολογισμοί τέτοιων μετασχηματισμών ήταν πολύ κουραστικοί, απαιτούσαν τη χειροκίνητη εκτέλεση ενός μεγάλου αριθμού αριθμητικών πράξεων, οι οποίες εξαρτιόταν από τον αριθμό των σημείων που περιγράφουν την κυματική συνάρτηση. Για τη διευκόλυνση των υπολογισμών, σήμερα υπάρχουν ειδικά προγράμματα που κατέστησαν δυνατή την εφαρμογή νέων αναλυτικών μεθόδων. Έτσι, το 1965, ο James Cooley και ο John Tukey δημιούργησαν λογισμικό που έγινε γνωστό ως "Fast Fourier Transform". Σας επιτρέπει να εξοικονομήσετε χρόνο για υπολογισμούς μειώνοντας τον αριθμό των πολλαπλασιασμών στην ανάλυση της καμπύλης. Η μέθοδος γρήγορου μετασχηματισμού Fourier βασίζεται στη διαίρεση της καμπύλης σε μεγάλο αριθμό ομοιόμορφων τιμών δείγματος. Αντίστοιχα, ο αριθμός των πολλαπλασιασμών μειώνεται στο μισό με την ίδια μείωση στον αριθμό των πόντων.
Εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier
Αυτόη διαδικασία χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς της επιστήμης: στη θεωρία αριθμών, τη φυσική, την επεξεργασία σήματος, τη συνδυαστική, τη θεωρία πιθανοτήτων, την κρυπτογραφία, τη στατιστική, την ωκεανολογία, την οπτική, την ακουστική, τη γεωμετρία και άλλα. Οι πλούσιες δυνατότητες εφαρμογής του βασίζονται σε μια σειρά από χρήσιμα χαρακτηριστικά, τα οποία ονομάζονται «Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier». Σκεφτείτε τους.
1. Ο μετασχηματισμός συνάρτησης είναι γραμμικός τελεστής και, με την κατάλληλη κανονικοποίηση, είναι ενιαίος. Αυτή η ιδιότητα είναι γνωστή ως θεώρημα Parseval, ή γενικά θεώρημα Plancherel, ή δυϊσμός του Pontryagin.
2. Η μεταμόρφωση είναι αναστρέψιμη. Επιπλέον, το αντίστροφο αποτέλεσμα έχει σχεδόν την ίδια μορφή με την άμεση λύση.
3. Οι ημιτονοειδείς εκφράσεις βάσης είναι δικές τους διαφοροποιημένες συναρτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι μια τέτοια αναπαράσταση αλλάζει γραμμικές εξισώσεις με σταθερό συντελεστή σε συνηθισμένες αλγεβρικές.
4. Σύμφωνα με το θεώρημα της συνέλιξης, αυτή η διαδικασία μετατρέπει μια σύνθετη πράξη σε στοιχειώδη πολλαπλασιασμό.
5. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier μπορεί να υπολογιστεί γρήγορα σε έναν υπολογιστή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο "γρήγορη".
Ποικιλίες του μετασχηματισμού Fourier
1. Τις περισσότερες φορές, αυτός ο όρος χρησιμοποιείται για να δηλώσει έναν συνεχή μετασχηματισμό που παρέχει οποιαδήποτε τετραγωνικά ολοκληρωμένη έκφραση ως άθροισμα σύνθετων εκθετικών παραστάσεων με συγκεκριμένες γωνιακές συχνότητες και πλάτη. Αυτό το είδος έχει πολλές διαφορετικές μορφές, οι οποίες μπορούνδιαφέρουν κατά σταθερούς συντελεστές. Η συνεχής μέθοδος περιλαμβάνει έναν πίνακα μετατροπών, ο οποίος βρίσκεται σε βιβλία μαθηματικών αναφορών. Μια γενικευμένη περίπτωση είναι ένας κλασματικός μετασχηματισμός, μέσω του οποίου η δεδομένη διαδικασία μπορεί να αυξηθεί στην απαιτούμενη πραγματική ισχύ.
2. Ο συνεχής τρόπος είναι μια γενίκευση της πρώιμης τεχνικής της σειράς Fourier που ορίζεται για διάφορες περιοδικές συναρτήσεις ή εκφράσεις που υπάρχουν σε μια περιορισμένη περιοχή και τις αντιπροσωπεύουν ως σειρές ημιτονοειδή.
3. Διακριτός μετασχηματισμός Fourier. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται στην τεχνολογία των υπολογιστών για επιστημονικούς υπολογισμούς και για την επεξεργασία ψηφιακού σήματος. Για να πραγματοποιηθεί αυτός ο τύπος υπολογισμού, απαιτείται να υπάρχουν συναρτήσεις που ορίζουν μεμονωμένα σημεία, περιοδικές ή οριοθετημένες περιοχές σε ένα διακριτό σύνολο αντί για συνεχή ολοκληρώματα Fourier. Ο μετασχηματισμός του σήματος σε αυτή την περίπτωση αντιπροσωπεύεται ως το άθροισμα των ημιτονοειδών. Ταυτόχρονα, η χρήση της «γρήγορης» μεθόδου καθιστά δυνατή την εφαρμογή διακριτών λύσεων σε κάθε πρακτικό πρόβλημα.
4. Ο μετασχηματισμός Fourier με παράθυρο είναι μια γενικευμένη μορφή της κλασικής μεθόδου. Σε αντίθεση με την τυπική λύση, όταν χρησιμοποιείται το φάσμα σήματος, το οποίο λαμβάνεται σε όλο το εύρος της ύπαρξης μιας δεδομένης μεταβλητής, εδώ μόνο η τοπική κατανομή συχνότητας έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, με την προϋπόθεση ότι διατηρείται η αρχική μεταβλητή (χρόνος)..
5. Δισδιάστατος μετασχηματισμός Fourier. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για εργασία με δισδιάστατους πίνακες δεδομένων. Σε αυτή την περίπτωση, πρώτα ο μετασχηματισμός πραγματοποιείται προς μία κατεύθυνση και μετά προς τα μέσαάλλο.
Συμπέρασμα
Σήμερα, η μέθοδος Fourier είναι σταθερά εδραιωμένη σε διάφορους τομείς της επιστήμης. Για παράδειγμα, το 1962 ανακαλύφθηκε το σχήμα διπλής έλικας του DNA χρησιμοποιώντας ανάλυση Fourier σε συνδυασμό με περίθλαση ακτίνων Χ. Οι τελευταίες επικεντρώθηκαν σε κρυστάλλους ινών DNA, με αποτέλεσμα η εικόνα που λήφθηκε με περίθλαση της ακτινοβολίας να καταγραφεί σε φιλμ. Αυτή η εικόνα έδωσε πληροφορίες σχετικά με την τιμή του πλάτους κατά τη χρήση του μετασχηματισμού Fourier σε μια δεδομένη κρυσταλλική δομή. Τα δεδομένα φάσης ελήφθησαν συγκρίνοντας τον χάρτη περίθλασης του DNA με χάρτες που προέκυψαν από την ανάλυση παρόμοιων χημικών δομών. Ως αποτέλεσμα, οι βιολόγοι έχουν αποκαταστήσει την κρυσταλλική δομή - την αρχική λειτουργία.
Οι μετασχηματισμοί Fourier παίζουν τεράστιο ρόλο στη μελέτη του διαστήματος, της φυσικής των ημιαγωγών και του πλάσματος, της ακουστικής μικροκυμάτων, της ωκεανογραφίας, του ραντάρ, της σεισμολογίας και των ιατρικών ερευνών.
