Η σειρά Fourier είναι μια αναπαράσταση μιας αυθαίρετα ληφθείσας συνάρτησης με μια συγκεκριμένη περίοδο ως σειρά. Σε γενικές γραμμές, αυτή η λύση ονομάζεται αποσύνθεση ενός στοιχείου σε ορθογώνια βάση. Η επέκταση των συναρτήσεων σε μια σειρά Fourier είναι ένα αρκετά ισχυρό εργαλείο για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων λόγω των ιδιοτήτων αυτού του μετασχηματισμού κατά την ολοκλήρωση, τη διαφοροποίηση, καθώς και τη μετατόπιση μιας έκφρασης σε ένα όρισμα και συνέλιξη.
Ένα άτομο που δεν είναι εξοικειωμένο με τα ανώτερα μαθηματικά, καθώς και με τα έργα του Γάλλου επιστήμονα Fourier, πιθανότατα δεν θα καταλάβει τι είναι αυτές οι «σειρές» και σε τι χρησιμεύουν. Εν τω μεταξύ, αυτή η μεταμόρφωση έχει γίνει αρκετά πυκνή στη ζωή μας. Χρησιμοποιείται όχι μόνο από μαθηματικούς, αλλά και από φυσικούς, χημικούς, γιατρούς, αστρονόμους, σεισμολόγους, ωκεανογράφους και πολλούς άλλους. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στα έργα του μεγάλου Γάλλου επιστήμονα, ο οποίος έκανε μια ανακάλυψη μπροστά από την εποχή του.
Man and the Fourier Transform
Οι σειρές Fourier είναι μία από τις μεθόδους (μαζί με την ανάλυση και άλλες) του μετασχηματισμού Fourier. Αυτή η διαδικασία συμβαίνει κάθε φορά που ένα άτομο ακούει έναν ήχο. Το αυτί μας μετατρέπει αυτόματα τον ήχοκυματιστά. Οι ταλαντευτικές κινήσεις των στοιχειωδών σωματιδίων σε ένα ελαστικό μέσο αποσυντίθενται σε σειρές (κατά μήκος του φάσματος) διαδοχικών τιμών του επιπέδου όγκου για τόνους διαφορετικών υψών. Στη συνέχεια, ο εγκέφαλος μετατρέπει αυτά τα δεδομένα σε ήχους οικείους σε εμάς. Όλα αυτά συμβαίνουν εκτός από την επιθυμία ή τη συνείδησή μας, από μόνα τους, αλλά για να κατανοήσουμε αυτές τις διαδικασίες, θα χρειαστούν αρκετά χρόνια για να μελετήσουμε ανώτερα μαθηματικά.
Περισσότερα για τον Μετασχηματισμό Fourier
Ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί να πραγματοποιηθεί με αναλυτικές, αριθμητικές και άλλες μεθόδους. Οι σειρές Fourier αναφέρονται στον αριθμητικό τρόπο αποσύνθεσης οποιωνδήποτε ταλαντευτικών διεργασιών - από τις παλίρροιες των ωκεανών και τα κύματα φωτός έως τους κύκλους ηλιακής (και άλλων αστρονομικών αντικειμένων) δραστηριότητας. Χρησιμοποιώντας αυτές τις μαθηματικές τεχνικές, είναι δυνατή η ανάλυση συναρτήσεων, που αναπαριστούν τυχόν ταλαντωτικές διεργασίες ως μια σειρά ημιτονοειδών συνιστωσών που πηγαίνουν από το ελάχιστο στο μέγιστο και αντίστροφα. Ο μετασχηματισμός Fourier είναι μια συνάρτηση που περιγράφει τη φάση και το πλάτος των ημιτονοειδών που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη συχνότητα. Αυτή η διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση πολύ περίπλοκων εξισώσεων που περιγράφουν δυναμικές διεργασίες που συμβαίνουν υπό την επίδραση της θερμικής, του φωτός ή της ηλεκτρικής ενέργειας. Επίσης, οι σειρές Fourier καθιστούν δυνατή την απομόνωση των σταθερών συστατικών σε πολύπλοκα ταλαντωτικά σήματα, τα οποία επέτρεψαν τη σωστή ερμηνεία των ληφθέντων πειραματικών παρατηρήσεων στην ιατρική, τη χημεία και την αστρονομία.
Ιστορικό υπόβαθρο
Ιδρυτής αυτής της θεωρίαςΟ Jean Baptiste Joseph Fourier είναι Γάλλος μαθηματικός. Αυτή η μεταμόρφωση πήρε στη συνέχεια το όνομά του. Αρχικά, ο επιστήμονας εφάρμοσε τη μέθοδό του για να μελετήσει και να εξηγήσει τους μηχανισμούς αγωγιμότητας της θερμότητας - τη διάδοση της θερμότητας στα στερεά. Ο Fourier πρότεινε ότι η αρχική ακανόνιστη κατανομή ενός κύματος θερμότητας μπορεί να αποσυντεθεί στα απλούστερα ημιτονοειδή, καθένα από τα οποία θα έχει τη δική του ελάχιστη και μέγιστη θερμοκρασία, καθώς και τη δική του φάση. Σε αυτή την περίπτωση, κάθε τέτοιο συστατικό θα μετρηθεί από το ελάχιστο στο μέγιστο και αντίστροφα. Η μαθηματική συνάρτηση που περιγράφει τις άνω και κάτω κορυφές της καμπύλης, καθώς και τη φάση καθεμιάς από τις αρμονικές, ονομάζεται μετασχηματισμός Fourier της έκφρασης κατανομής θερμοκρασίας. Ο συγγραφέας της θεωρίας μείωσε τη γενική συνάρτηση κατανομής, η οποία είναι δύσκολο να περιγραφεί μαθηματικά, σε μια πολύ εύχρηστη σειρά περιοδικών συναρτήσεων συνημιτόνου και ημιτόνου που αθροίζονται στην αρχική κατανομή.
Η αρχή της μεταμόρφωσης και οι απόψεις των συγχρόνων
Οι σύγχρονοι του επιστήμονα - οι κορυφαίοι μαθηματικοί των αρχών του δέκατου ένατου αιώνα - δεν αποδέχθηκαν αυτή τη θεωρία. Η κύρια ένσταση ήταν ο ισχυρισμός του Fourier ότι μια ασυνεχής συνάρτηση που περιγράφει μια ευθεία γραμμή ή μια ασυνεχή καμπύλη μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα άθροισμα ημιτονοειδών παραστάσεων που είναι συνεχείς. Ως παράδειγμα, λάβετε υπόψη το "βήμα" του Heaviside: η τιμή του είναι μηδέν στα αριστερά του κενού και ένα στα δεξιά. Αυτή η συνάρτηση περιγράφει την εξάρτηση του ηλεκτρικού ρεύματος από τη μεταβλητή χρόνου όταν το κύκλωμα είναι κλειστό. Οι σύγχρονοι της θεωρίας εκείνης της εποχής δεν είχαν συναντήσει ποτέ κάτι τέτοιομια κατάσταση όπου η ασυνεχής έκφραση θα περιγραφόταν από έναν συνδυασμό συνεχών, συνηθισμένων συναρτήσεων, όπως εκθετική, ημιτονοειδής, γραμμική ή τετραγωνική.
Τι μπέρδεψε τους Γάλλους μαθηματικούς στη θεωρία Fourier;
Σε τελική ανάλυση, αν ο μαθηματικός είχε δίκιο στις δηλώσεις του, τότε συνοψίζοντας την άπειρη τριγωνομετρική σειρά Fourier, μπορείτε να πάρετε μια ακριβή αναπαράσταση της έκφρασης του βήματος ακόμα κι αν έχει πολλά παρόμοια βήματα. Στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, μια τέτοια δήλωση φαινόταν παράλογη. Όμως, παρ' όλες τις αμφιβολίες, πολλοί μαθηματικοί έχουν επεκτείνει το πεδίο της μελέτης αυτού του φαινομένου, βγάζοντάς το πέρα από το πεδίο των μελετών της θερμικής αγωγιμότητας. Ωστόσο, οι περισσότεροι επιστήμονες συνέχισαν να αγωνιούν για το ερώτημα: «Μπορεί το άθροισμα μιας ημιτονοειδούς σειράς να συγκλίνει στην ακριβή τιμή μιας ασυνεχούς συνάρτησης;»
Σύγκλιση της σειράς Fourier: παράδειγμα
Το ζήτημα της σύγκλισης τίθεται όποτε είναι απαραίτητο να αθροιστούν άπειρες σειρές αριθμών. Για να κατανοήσετε αυτό το φαινόμενο, εξετάστε ένα κλασικό παράδειγμα. Μπορείτε να φτάσετε ποτέ στον τοίχο αν κάθε διαδοχικό βήμα έχει το μισό μέγεθος από το προηγούμενο; Ας υποθέσουμε ότι βρίσκεστε δύο μέτρα από το στόχο, το πρώτο βήμα σας φέρνει πιο κοντά στο μισό της διαδρομής, το επόμενο στα τρία τέταρτα και μετά το πέμπτο θα καλύψετε σχεδόν το 97 τοις εκατό της διαδρομής. Ωστόσο, όσα βήματα και να κάνετε, δεν θα πετύχετε τον επιδιωκόμενο στόχο με αυστηρή μαθηματική έννοια. Χρησιμοποιώντας αριθμητικούς υπολογισμούς, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι στο τέλος μπορεί να πλησιάσει όσο του αρέσει.μικρή καθορισμένη απόσταση. Αυτή η απόδειξη είναι ισοδύναμη με την απόδειξη ότι η αθροιστική τιμή του μισού, του ενός τέταρτου κ.λπ. θα τείνει στο ένα.
Ερώτημα Σύγκλισης: Η Δευτέρα Παρουσία ή η Εργασία του Λόρδου Κέλβιν
Επανειλημμένα αυτό το ερώτημα τέθηκε στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, όταν οι σειρές Fourier προσπάθησαν να χρησιμοποιηθούν για να προβλέψουν την ένταση της άμπωτης και της ροής. Εκείνη την εποχή, ο Λόρδος Κέλβιν εφηύρε μια συσκευή, η οποία είναι μια αναλογική υπολογιστική συσκευή που επέτρεπε στους ναυτικούς του στρατιωτικού και του εμπορικού στόλου να παρακολουθούν αυτό το φυσικό φαινόμενο. Αυτός ο μηχανισμός προσδιόρισε τα σύνολα των φάσεων και τα πλάτη από έναν πίνακα υψών παλίρροιας και τις αντίστοιχες χρονικές στιγμές τους, προσεκτικά μετρημένες σε ένα δεδομένο λιμάνι κατά τη διάρκεια του έτους. Κάθε παράμετρος ήταν ένα ημιτονοειδές στοιχείο της έκφρασης του ύψους της παλίρροιας και ήταν ένα από τα κανονικά συστατικά. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων εισήχθησαν στην αριθμομηχανή του Lord Kelvin, ο οποίος συνέθεσε μια καμπύλη που προέβλεπε το ύψος του νερού σε συνάρτηση με το χρόνο για το επόμενο έτος. Πολύ σύντομα παρόμοιες καμπύλες σχεδιάστηκαν για όλα τα λιμάνια του κόσμου.
Και αν η διαδικασία διακοπεί από μια ασυνεχή συνάρτηση;
Εκείνη την εποχή, φαινόταν προφανές ότι ένας προγνωστικός παράγοντας παλιρροϊκών κυμάτων με μεγάλο αριθμό στοιχείων μέτρησης μπορούσε να υπολογίσει μεγάλο αριθμό φάσεων και πλάτη και έτσι να παρέχει πιο ακριβείς προβλέψεις. Ωστόσο, αποδείχθηκε ότι αυτή η κανονικότητα δεν παρατηρείται σε περιπτώσεις όπου η παλιρροϊκή έκφραση, που ακολουθείσυνθέτει, περιείχε απότομο άλμα, ήταν δηλαδή ασυνεχές. Σε περίπτωση που εισάγονται δεδομένα στη συσκευή από τον πίνακα χρονικών στιγμών, τότε υπολογίζει αρκετούς συντελεστές Fourier. Η αρχική λειτουργία αποκαθίσταται χάρη στα ημιτονοειδή εξαρτήματα (σύμφωνα με τους συντελεστές που βρέθηκαν). Η ασυμφωνία μεταξύ της αρχικής και της αποκατασταθείσας έκφρασης μπορεί να μετρηθεί σε οποιοδήποτε σημείο. Κατά τη διεξαγωγή επαναλαμβανόμενων υπολογισμών και συγκρίσεων, μπορεί να φανεί ότι η τιμή του μεγαλύτερου σφάλματος δεν μειώνεται. Ωστόσο, εντοπίζονται στην περιοχή που αντιστοιχεί στο σημείο ασυνέχειας και τείνουν στο μηδέν σε οποιοδήποτε άλλο σημείο. Το 1899, αυτό το αποτέλεσμα επιβεβαιώθηκε θεωρητικά από τον Joshua Willard Gibbs του Πανεπιστημίου Yale.
Σύγκλιση σειρών Fourier και ανάπτυξη των μαθηματικών γενικά
Η ανάλυση Fourier δεν εφαρμόζεται σε εκφράσεις που περιέχουν άπειρο αριθμό ριπών σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Γενικά, οι σειρές Fourier, εάν η αρχική συνάρτηση είναι το αποτέλεσμα μιας πραγματικής φυσικής μέτρησης, πάντα συγκλίνουν. Τα ερωτήματα για τη σύγκλιση αυτής της διαδικασίας για συγκεκριμένες κατηγορίες συναρτήσεων έχουν οδηγήσει στην εμφάνιση νέων τμημάτων στα μαθηματικά, για παράδειγμα, τη θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων. Συνδέεται με ονόματα όπως L. Schwartz, J. Mikusinsky και J. Temple. Στο πλαίσιο αυτής της θεωρίας, δημιουργήθηκε μια σαφής και ακριβής θεωρητική βάση για εκφράσεις όπως η συνάρτηση δέλτα Dirac (περιγράφει μια περιοχή μιας ενιαίας περιοχής συγκεντρωμένη σε μια απείρως μικρή γειτονιά ενός σημείου) και το Heaviside. βήμα . Χάρη σε αυτό το έργο, η σειρά Fourier έγινε εφαρμόσιμηεπίλυση εξισώσεων και προβλημάτων που περιλαμβάνουν διαισθητικές έννοιες: σημειακό φορτίο, σημειακή μάζα, μαγνητικά δίπολα, καθώς και συγκεντρωμένο φορτίο σε μια δέσμη.
Μέθοδος Fourier
Οι σειρές Fourier, σύμφωνα με τις αρχές της παρεμβολής, ξεκινούν με την αποσύνθεση σύνθετων μορφών σε απλούστερες. Για παράδειγμα, μια αλλαγή στη ροή θερμότητας εξηγείται από το πέρασμά της από διάφορα εμπόδια κατασκευασμένα από θερμομονωτικό υλικό ακανόνιστου σχήματος ή μια αλλαγή στην επιφάνεια της γης - ένας σεισμός, μια αλλαγή στην τροχιά ενός ουράνιου σώματος - η επίδραση του πλανήτες. Κατά κανόνα, παρόμοιες εξισώσεις που περιγράφουν απλά κλασικά συστήματα λύνονται στοιχειωδώς για κάθε μεμονωμένο κύμα. Ο Fourier έδειξε ότι απλές λύσεις μπορούν επίσης να αθροιστούν για να δώσουν λύσεις σε πιο σύνθετα προβλήματα. Στη γλώσσα των μαθηματικών, η σειρά Fourier είναι μια τεχνική για την αναπαράσταση μιας έκφρασης ως άθροισμα αρμονικών - συνημιτόνου και ημιτονοειδών. Επομένως, αυτή η ανάλυση είναι επίσης γνωστή ως "αρμονική ανάλυση".
Σειρά Fourier - η ιδανική τεχνική πριν από την "εποχή των υπολογιστών"
Πριν από τη δημιουργία της τεχνολογίας υπολογιστών, η τεχνική Fourier ήταν το καλύτερο όπλο στο οπλοστάσιο των επιστημόνων όταν εργάζονταν με την κυματική φύση του κόσμου μας. Η σειρά Fourier σε σύνθετη μορφή επιτρέπει την επίλυση όχι μόνο απλών προβλημάτων που μπορούν να εφαρμοστούν άμεσα στους νόμους της μηχανικής του Νεύτωνα, αλλά και θεμελιωδών εξισώσεων. Οι περισσότερες από τις ανακαλύψεις της Νευτώνειας επιστήμης τον δέκατο ένατο αιώνα έγιναν δυνατές μόνο με την τεχνική του Fourier.
Σειρά Fourier σήμερα
Με την ανάπτυξη των υπολογιστών μετασχηματισμού Fourierανέβηκε σε ένα εντελώς νέο επίπεδο. Αυτή η τεχνική είναι σταθερά εδραιωμένη σε όλους σχεδόν τους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας. Ένα παράδειγμα είναι ένα ψηφιακό σήμα ήχου και εικόνας. Η πραγματοποίησή του έγινε δυνατή μόνο χάρη στη θεωρία που ανέπτυξε ένας Γάλλος μαθηματικός στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα. Έτσι, η σειρά Fourier σε μια πολύπλοκη μορφή κατέστησε δυνατή μια σημαντική ανακάλυψη στη μελέτη του διαστήματος. Επιπλέον, επηρέασε τη μελέτη της φυσικής των υλικών ημιαγωγών και του πλάσματος, την ακουστική μικροκυμάτων, την ωκεανογραφία, το ραντάρ, τη σεισμολογία.
Τριγωνομετρική σειρά Fourier
Στα μαθηματικά, μια σειρά Fourier είναι ένας τρόπος αναπαράστασης αυθαίρετων μιγαδικών συναρτήσεων ως άθροισμα απλούστερων. Σε γενικές περιπτώσεις, ο αριθμός τέτοιων εκφράσεων μπορεί να είναι άπειρος. Επιπλέον, όσο περισσότερο λαμβάνεται υπόψη ο αριθμός τους στον υπολογισμό, τόσο πιο ακριβές είναι το τελικό αποτέλεσμα. Τις περισσότερες φορές, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του συνημιτόνου ή του ημιτόνου χρησιμοποιούνται ως απλούστερες. Στην περίπτωση αυτή, οι σειρές Fourier ονομάζονται τριγωνομετρικές και η λύση τέτοιων εκφράσεων ονομάζεται επέκταση της αρμονικής. Αυτή η μέθοδος παίζει σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά. Πρώτα απ 'όλα, η τριγωνομετρική σειρά παρέχει ένα μέσο για την εικόνα, καθώς και τη μελέτη των συναρτήσεων, είναι η κύρια συσκευή της θεωρίας. Επιπλέον, επιτρέπει την επίλυση μιας σειράς προβλημάτων της μαθηματικής φυσικής. Τέλος, αυτή η θεωρία συνέβαλε στην ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης, έδωσε αφορμή για μια σειρά από πολύ σημαντικές ενότητες της μαθηματικής επιστήμης (η θεωρία των ολοκληρωμάτων, η θεωρία των περιοδικών συναρτήσεων). Επιπλέον, χρησίμευσε ως αφετηρία για την ανάπτυξη των ακόλουθων θεωριών: συνόλων, συναρτήσεωνπραγματική μεταβλητή, λειτουργική ανάλυση, και επίσης έθεσε τα θεμέλια για αρμονική ανάλυση.
