2ης τάξης επιφάνειες: παραδείγματα

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Ο μαθητής συναντά πιο συχνά επιφάνειες 2ης τάξης στο πρώτο έτος. Στην αρχή, οι εργασίες σε αυτό το θέμα μπορεί να φαίνονται απλές, αλλά καθώς μελετάτε ανώτερα μαθηματικά και εμβαθύνετε στην επιστημονική πλευρά, μπορείτε τελικά να σταματήσετε να προσανατολίζεστε σε αυτό που συμβαίνει. Για να μην συμβεί αυτό, είναι απαραίτητο όχι μόνο να απομνημονεύσουμε, αλλά να κατανοήσουμε πώς αποκτάται αυτή ή εκείνη η επιφάνεια, πώς η αλλαγή των συντελεστών την επηρεάζει και τη θέση της σε σχέση με το αρχικό σύστημα συντεταγμένων και πώς να βρεθεί ένα νέο σύστημα (ένα στο οποίο το κέντρο του συμπίπτει με τις συντεταγμένες αρχής και ο άξονας συμμετρίας είναι παράλληλος με έναν από τους άξονες συντεταγμένων). Ας ξεκινήσουμε από την αρχή.

Ορισμός

GMT ονομάζεται επιφάνεια 2ης τάξης, οι συντεταγμένες της οποίας ικανοποιούν τη γενική εξίσωση της ακόλουθης μορφής:

F(x, y, z)=0.

Είναι σαφές ότι κάθε σημείο που ανήκει στην επιφάνεια πρέπει να έχει τρεις συντεταγμένες σε κάποια καθορισμένη βάση. Αν και σε ορισμένες περιπτώσεις ο τόπος των σημείων μπορεί να εκφυλιστεί, για παράδειγμα, σε ένα επίπεδο. Σημαίνει μόνο ότι μία από τις συντεταγμένες είναι σταθερή και ισούται με μηδέν σε ολόκληρο το εύρος των αποδεκτών τιμών.

Η πλήρης ζωγραφισμένη μορφή της ισότητας που αναφέρεται παραπάνω μοιάζει με αυτό:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A₂₃12_xy+2A23 yz+2A₁₃xz+2A₁₄x+2A₂₄y+2A 34_z+A44=0.

A_{nm – μερικές σταθερές, x, y, z – μεταβλητές που αντιστοιχούν σε συγγενικές συντεταγμένες κάποιου σημείου. Σε αυτήν την περίπτωση, τουλάχιστον ένας από τους σταθερούς παράγοντες δεν πρέπει να είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή, κανένα σημείο δεν θα αντιστοιχεί στην εξίσωση.}

Στη συντριπτική πλειοψηφία των παραδειγμάτων, πολλοί αριθμητικοί παράγοντες εξακολουθούν να είναι πανομοιότυπα ίσοι με μηδέν και η εξίσωση είναι πολύ απλοποιημένη. Στην πράξη, ο προσδιορισμός του αν ένα σημείο ανήκει σε μια επιφάνεια δεν είναι δύσκολος (αρκεί να αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του στην εξίσωση και να ελέγξουμε αν τηρείται η ταυτότητα). Το βασικό σημείο σε μια τέτοια εργασία είναι να φέρει το τελευταίο σε μια κανονική μορφή.

Η εξίσωση που γράφτηκε παραπάνω ορίζει οποιεσδήποτε (όλες που αναφέρονται παρακάτω) επιφάνειες 2ης τάξης. Θα εξετάσουμε παραδείγματα παρακάτω.

Τύποι επιφανειών 2ης τάξης

Οι εξισώσεις επιφανειών 2ης τάξης διαφέρουν μόνο στις τιμές των συντελεστών A_{nm. Από τη γενική άποψη, για ορισμένες τιμές των σταθερών, μπορούν να ληφθούν διάφορες επιφάνειες, ταξινομημένες ως εξής:}

1. Κύλινδροι.
2. Ελειπτικός τύπος.
3. Υπερβολικός τύπος.
4. Κωνικός τύπος.
5. Παραβολικός τύπος.
6. Αεροπλάνα.

Καθένας από τους αναφερόμενους τύπους έχει μια φυσική και φανταστική μορφή: στη φανταστική μορφή, ο τόπος των πραγματικών σημείων είτε εκφυλίζεται σε απλούστερο σχήμα είτε απουσιάζει εντελώς.

Κύλινδροι

Αυτός είναι ο απλούστερος τύπος, καθώς μια σχετικά σύνθετη καμπύλη βρίσκεται μόνο στη βάση και λειτουργεί ως οδηγός. Οι γεννήτριες είναι ευθείες γραμμές κάθετες στο επίπεδο στο οποίο βρίσκεται η βάση.

Το γράφημα δείχνει έναν κυκλικό κύλινδρο, μια ειδική περίπτωση ενός ελλειπτικού κυλίνδρου. Στο επίπεδο XY, η προβολή του θα είναι μια έλλειψη (στην περίπτωσή μας, ένας κύκλος) - ένας οδηγός και στο XZ - ένα ορθογώνιο - αφού οι γεννήτριες είναι παράλληλες με τον άξονα Z. Για να το πάρετε από τη γενική εξίσωση, χρειάζεστε για να δώσετε στους συντελεστές τις ακόλουθες τιμές:

Αντί των συνηθισμένων συμβόλων χρησιμοποιείται x, y, z, x με σειριακό αριθμό - δεν έχει σημασία.

Στην πραγματικότητα, το 1/a2και οι άλλες σταθερές που υποδεικνύονται εδώ είναι οι ίδιοι συντελεστές που υποδεικνύονται στη γενική εξίσωση, αλλά είναι συνηθισμένο να γράφονται με αυτήν τη μορφή - αυτό είναι η κανονική παράσταση. Επιπλέον, θα χρησιμοποιείται μόνο μια τέτοια σημείωση.

Έτσι ορίζεται ένας υπερβολικός κύλινδρος. Το σχήμα είναι το ίδιο - η υπερβολή θα είναι ο οδηγός.

y2=2px

Ένας παραβολικός κύλινδρος ορίζεται κάπως διαφορετικά: η κανονική του μορφή περιλαμβάνει έναν συντελεστή p, που ονομάζεται παράμετρος. Στην πραγματικότητα, ο συντελεστής είναι ίσος με q=2p, αλλά συνηθίζεται να τον διαιρούμε στους δύο παράγοντες που παρουσιάζονται.

Υπάρχει ένας άλλος τύπος κυλίνδρου: ο φανταστικός. Κανένα πραγματικό σημείο δεν ανήκει σε τέτοιο κύλινδρο. Περιγράφεται από την εξίσωσηελλειπτικός κύλινδρος, αλλά αντί για μονάδα είναι -1.

Ελειπτικός τύπος

Ένα ελλειψοειδές μπορεί να τεντωθεί κατά μήκος ενός από τους άξονες (κατά μήκος του οποίου εξαρτάται από τις τιμές των σταθερών a, b, c, που υποδεικνύονται παραπάνω· είναι προφανές ότι ένας μεγαλύτερος συντελεστής θα αντιστοιχεί στον μεγαλύτερο άξονα).

Υπάρχει επίσης ένα φανταστικό ελλειψοειδές - με την προϋπόθεση ότι το άθροισμα των συντεταγμένων πολλαπλασιαζόμενο με τους συντελεστές είναι -1:

Υπερβολοειδή

Όταν εμφανίζεται ένα μείον σε μία από τις σταθερές, η ελλειψοειδής εξίσωση μετατρέπεται στην εξίσωση ενός υπερβολοειδούς μονού φύλλου. Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι αυτό το μείον δεν χρειάζεται να βρίσκεται πριν από τη συντεταγμένη x₃! Καθορίζει μόνο ποιος από τους άξονες θα είναι ο άξονας περιστροφής του υπερβολοειδούς (ή παράλληλος με αυτόν, αφού όταν εμφανίζονται πρόσθετοι όροι στο τετράγωνο (για παράδειγμα, (x-2)^{2) το κέντρο του σχήματος μετατοπίζεται, με αποτέλεσμα η επιφάνεια να κινείται παράλληλα με τους άξονες συντεταγμένων). Αυτό ισχύει για όλες τις επιφάνειες 2ης τάξης.}

Εξάλλου, πρέπει να καταλάβετε ότι οι εξισώσεις παρουσιάζονται σε κανονική μορφή και μπορούν να αλλάξουν μεταβάλλοντας τις σταθερές (με το πρόσημο διατηρημένο!). ενώ η μορφή τους (υπερβολοειδής, κώνος κ.λπ.) θα παραμείνει η ίδια.

Αυτή η εξίσωση δίνεται ήδη από ένα υπερβολοειδές δύο φύλλων.

Κωνική επιφάνεια

Δεν υπάρχει μονάδα στην εξίσωση κώνου - ισότητα με μηδέν.

Μόνο μια οριοθετημένη κωνική επιφάνεια ονομάζεται κώνος. Η παρακάτω εικόνα δείχνει ότι, στην πραγματικότητα, θα υπάρχουν δύο λεγόμενοι κώνοι στο γράφημα.

Σημαντική σημείωση: σε όλες τις θεωρούμενες κανονικές εξισώσεις, οι σταθερές λαμβάνονται θετικές από προεπιλογή. Διαφορετικά, το πρόσημο μπορεί να επηρεάσει το τελικό γράφημα.

Τα επίπεδα συντεταγμένων γίνονται τα επίπεδα συμμετρίας του κώνου, το κέντρο συμμετρίας βρίσκεται στην αρχή.

Υπάρχουν μόνο συν στη φανταστική εξίσωση κώνου. κατέχει έναν μόνο πραγματικό πόντο.

Παραβολοειδή

Επιφάνειες 2ης τάξης στο διάστημα μπορούν να πάρουν διαφορετικά σχήματα ακόμα και με παρόμοιες εξισώσεις. Για παράδειγμα, υπάρχουν δύο τύποι παραβολοειδών.

x²/a²+y²/β^2=2z

Ένα ελλειπτικό παραβολοειδές, όταν ο άξονας Z είναι κάθετος στο σχέδιο, θα προβάλλεται σε έλλειψη.

x²/a²-y²/β^2=2z

Υπερβολικό παραβολοειδές: τμήματα με επίπεδα παράλληλα προς το ZY θα παράγουν παραβολές και τμήματα με επίπεδα παράλληλα προς XY θα παράγουν υπερβολές.

Τεμνόμενα επίπεδα

Υπάρχουν περιπτώσεις που επιφάνειες 2ης τάξης εκφυλίζονται σε επίπεδο. Αυτά τα αεροπλάνα μπορούν να τακτοποιηθούν με διάφορους τρόπους.

Σκεφτείτε πρώτα τα επίπεδα που τέμνονται:

x²/a²-y²/β²⁼⁰

Αυτή η τροποποίηση της κανονικής εξίσωσης έχει ως αποτέλεσμα μόνο δύο τεμνόμενα επίπεδα (φανταστικά!). όλα τα πραγματικά σημεία βρίσκονται στον άξονα της συντεταγμένης που λείπει από την εξίσωση (στην κανονική - ο άξονας Z).

Παράλληλα επίπεδα

y²=a²

Όταν υπάρχει μόνο μία συντεταγμένη, οι επιφάνειες 2ης τάξης εκφυλίζονται σε ένα ζεύγος παράλληλων επιπέδων. Θυμηθείτε, οποιαδήποτε άλλη μεταβλητή μπορεί να πάρει τη θέση του Y. τότε θα ληφθούν επίπεδα παράλληλα με άλλους άξονες.

y²=−a²

Σε αυτήν την περίπτωση, γίνονται φανταστικά.

Συμπίπτουν αεροπλάνα

y2=0

Με μια τόσο απλή εξίσωση, ένα ζεύγος επιπέδων εκφυλίζεται σε ένα - συμπίπτουν.

Μην ξεχνάτε ότι στην περίπτωση της τρισδιάστατης βάσης, η παραπάνω εξίσωση δεν ορίζει την ευθεία y=0! Δεν υπάρχουν οι άλλες δύο μεταβλητές, αλλά αυτό σημαίνει απλώς ότι η τιμή τους είναι σταθερή και ίση με μηδέν.

Κτίριο

Μία από τις πιο δύσκολες εργασίες για έναν μαθητή είναι η κατασκευή επιφανειών 2ης τάξης. Είναι ακόμη πιο δύσκολο να μετακινηθείτε από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο, δεδομένων των γωνιών της καμπύλης ως προς τους άξονες και τη μετατόπιση του κέντρου. Ας επαναλάβουμε πώς να προσδιορίσουμε με συνέπεια τη μελλοντική προβολή του σχεδίου με μια αναλυτικήτρόπος.

Για να φτιάξετε μια επιφάνεια 2ης τάξης, χρειάζεστε:

• φέρετε την εξίσωση σε κανονική μορφή;
• προσδιορίστε τον τύπο της επιφάνειας υπό μελέτη;
• κατασκευή βάσει τιμών συντελεστών.

Ακολουθούν όλοι οι τύποι που εξετάζονται:

Για ενοποίηση, ας περιγράψουμε λεπτομερώς ένα παράδειγμα αυτού του τύπου εργασιών.

Παραδείγματα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια εξίσωση:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60 ε+144=0}

Ας το φέρουμε στην κανονική μορφή. Ας ξεχωρίσουμε τα πλήρη τετράγωνα, δηλαδή τακτοποιούμε τους διαθέσιμους όρους με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι η επέκταση του τετραγώνου του αθροίσματος ή της διαφοράς. Για παράδειγμα: εάν (a+1)²=a²+2a+1 τότε a²+2a +1=(a+1)^{2. Θα κάνουμε τη δεύτερη επέμβαση. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι απαραίτητο να ανοίξετε τις αγκύλες, καθώς αυτό απλώς θα περιπλέξει τους υπολογισμούς, αλλά είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα 6 (σε αγκύλες με το πλήρες τετράγωνο του Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Η μεταβλητή z εμφανίζεται σε αυτήν την περίπτωση μόνο μία φορά - μπορείτε να την αφήσετε μόνη της προς το παρόν.

Αναλύουμε την εξίσωση σε αυτό το στάδιο: όλα τα άγνωστα προηγούνται από ένα σύμβολο συν. όταν διαιρείται με έξι, παραμένει ένα. Επομένως, έχουμε μια εξίσωση που ορίζει ένα ελλειψοειδές.

Σημειώστε ότι το 144 συνυπολογίστηκε σε 150-6, μετά το οποίο το -6 μετακινήθηκε προς τα δεξιά. Γιατί έπρεπε να γίνει με αυτόν τον τρόπο; Προφανώς, ο μεγαλύτερος διαιρέτης σε αυτό το παράδειγμα είναι -6, έτσι ώστε μετά τη διαίρεση με αυτόνένα είναι αριστερά στα δεξιά, είναι απαραίτητο να "αναβάλει" ακριβώς το 6 από το 144 (το γεγονός ότι κάποιος πρέπει να είναι στα δεξιά υποδηλώνεται από την παρουσία ενός ελεύθερου όρου - μια σταθερά που δεν πολλαπλασιάζεται με έναν άγνωστο).

Διαιρέστε τα πάντα με το έξι και λάβετε την κανονική εξίσωση του ελλειψοειδούς:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

Στην προηγούμενη ταξινόμηση επιφανειών 2ης τάξης, θεωρείται ειδική περίπτωση όταν το κέντρο του σχήματος βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων. Σε αυτό το παράδειγμα, είναι μετατόπιση.

Υποθέτουμε ότι κάθε παρένθεση με άγνωστα είναι μια νέα μεταβλητή. Δηλαδή: a=x-1, b=y+5, c=z. Στις νέες συντεταγμένες, το κέντρο του ελλειψοειδούς συμπίπτει με το σημείο (0, 0, 0), επομένως, a=b=c=0, από όπου: x=1, y=-5, z=0. Στις αρχικές συντεταγμένες, το κέντρο του σχήματος βρίσκεται στο σημείο (1, -5, 0).

Το Ellipsoid θα ληφθεί από δύο ελλείψεις: η πρώτη στο επίπεδο XY και η δεύτερη στο επίπεδο XZ (ή YZ - δεν έχει σημασία). Οι συντελεστές με τους οποίους διαιρούνται οι μεταβλητές τετραγωνίζονται στην κανονική εξίσωση. Επομένως, στο παραπάνω παράδειγμα, θα ήταν πιο σωστό να διαιρέσουμε με τη ρίζα του δύο, του ενός και της ρίζας του τρία.

Ο δευτερεύων άξονας της πρώτης έλλειψης, παράλληλος στον άξονα Υ, είναι δύο. Ο κύριος άξονας παράλληλος στον άξονα x είναι δύο ρίζες των δύο. Ο δευτερεύων άξονας της δεύτερης έλλειψης, παράλληλος με τον άξονα Υ, παραμένει ο ίδιος - είναι ίσος με δύο. Και ο κύριος άξονας, παράλληλος στον άξονα Z, είναι ίσος με δύο ρίζες των τριών.

Με τη βοήθεια των δεδομένων που λαμβάνονται από την αρχική εξίσωση μετατρέποντας στην κανονική μορφή, μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα ελλειψοειδές.

Σύνοψη

Καλύπτεται σε αυτό το άρθροτο θέμα είναι αρκετά εκτεταμένο, αλλά, στην πραγματικότητα, όπως μπορείτε να δείτε τώρα, όχι πολύ περίπλοκο. Η ανάπτυξή του, στην πραγματικότητα, τελειώνει τη στιγμή που απομνημονεύεις τα ονόματα και τις εξισώσεις των επιφανειών (και, φυσικά, το πώς φαίνονται). Στο παραπάνω παράδειγμα, έχουμε συζητήσει κάθε βήμα λεπτομερώς, αλλά η μεταφορά της εξίσωσης στην κανονική μορφή απαιτεί ελάχιστες γνώσεις ανώτερων μαθηματικών και δεν πρέπει να προκαλεί δυσκολίες στον μαθητή.

Η ανάλυση του μελλοντικού χρονοδιαγράμματος σχετικά με την υπάρχουσα ισότητα είναι ήδη πιο δύσκολο έργο. Αλλά για την επιτυχημένη επίλυσή του, αρκεί να κατανοήσουμε πώς κατασκευάζονται οι αντίστοιχες καμπύλες δεύτερης τάξης - ελλείψεις, παραβολές και άλλες.

Υποθέσεις εκφυλισμού - μια ακόμη πιο απλή ενότητα. Λόγω της απουσίας ορισμένων μεταβλητών, όχι μόνο οι υπολογισμοί απλοποιούνται, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, αλλά και η ίδια η κατασκευή.

Μόλις μπορέσετε να ονομάσετε με σιγουριά όλους τους τύπους επιφανειών, αλλάξτε τις σταθερές, μετατρέποντας το γράφημα σε ένα ή άλλο σχήμα - το θέμα θα κατακτηθεί.

Επιτυχία στις σπουδές σας!