Ένα από τα πιο δύσκολα και ακατανόητα θέματα των πανεπιστημιακών μαθηματικών είναι η ολοκλήρωση και ο διαφορικός λογισμός. Πρέπει να γνωρίζετε και να κατανοείτε αυτές τις έννοιες, καθώς και να μπορείτε να τις εφαρμόζετε. Πολλοί τεχνικοί κλάδοι πανεπιστημίου συνδέονται με διαφορικά και ολοκληρώματα.
Σύντομες πληροφορίες για τις εξισώσεις
Αυτές οι εξισώσεις είναι μια από τις πιο σημαντικές μαθηματικές έννοιες στο εκπαιδευτικό σύστημα. Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που συσχετίζει τις ανεξάρτητες μεταβλητές, τη συνάρτηση που πρέπει να βρεθεί και τις παραγώγους αυτής της συνάρτησης με τις μεταβλητές που υποτίθεται ότι είναι ανεξάρτητες. Ο διαφορικός λογισμός για την εύρεση συνάρτησης μιας μεταβλητής ονομάζεται συνηθισμένος. Εάν η επιθυμητή συνάρτηση εξαρτάται από πολλές μεταβλητές, τότε μιλάμε για μερική διαφορική εξίσωση.
Στην πραγματικότητα, η εύρεση μιας ορισμένης απάντησης στην εξίσωση καταλήγει στην ολοκλήρωση και η μέθοδος επίλυσης καθορίζεται από τον τύπο της εξίσωσης.
Εξισώσεις πρώτης τάξης
Μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης είναι μια εξίσωση που μπορεί να περιγράψει μια μεταβλητή, μια επιθυμητή συνάρτηση και την πρώτη της παράγωγο. Τέτοιες εξισώσεις μπορούν να δοθούν με τρεις μορφές: ρητή, άρρητη, διαφορική.
Έννοιες που απαιτούνται για την επίλυση
Αρχική συνθήκη - ορισμός της τιμής της επιθυμητής συνάρτησης για μια δεδομένη τιμή μιας μεταβλητής που είναι ανεξάρτητη.
Λύση μιας διαφορικής εξίσωσης - οποιαδήποτε διαφοροποιήσιμη συνάρτηση, που αντικαθίσταται ακριβώς στην αρχική εξίσωση, τη μετατρέπει σε πανομοιότυπα ίση. Η λύση που προκύπτει, η οποία δεν είναι ρητή, είναι το ολοκλήρωμα της εξίσωσης.
Η γενική λύση των διαφορικών εξισώσεων είναι μια συνάρτηση y=y(x;C), η οποία μπορεί να ικανοποιήσει τις ακόλουθες κρίσεις:
- Μια συνάρτηση μπορεί να έχει μόνο μία αυθαίρετη σταθερά С.
- Η συνάρτηση που προκύπτει πρέπει να είναι μια λύση στην εξίσωση για τυχόν αυθαίρετες τιμές μιας αυθαίρετης σταθεράς.
- Με μια δεδομένη αρχική συνθήκη, μια αυθαίρετη σταθερά μπορεί να οριστεί με μοναδικό τρόπο, έτσι ώστε η προκύπτουσα συγκεκριμένη λύση να είναι συνεπής με τη δεδομένη αρχική συνθήκη.
Στην πράξη, το πρόβλημα Cauchy χρησιμοποιείται συχνά - η εύρεση μιας λύσης που είναι συγκεκριμένη και μπορεί να συγκριθεί με τη συνθήκη που τέθηκε στην αρχή.
Το θεώρημα του Cauchy είναι ένα θεώρημα που τονίζει την ύπαρξη και τη μοναδικότητα μιας συγκεκριμένης λύσης στον διαφορικό λογισμό.
Γεωμετρική αίσθηση:
- Γενική λύση y=y(x;C)η εξίσωση είναι ο συνολικός αριθμός των ολοκληρωτικών καμπυλών.
- Ο διαφορικός λογισμός σάς επιτρέπει να συνδέσετε τις συντεταγμένες ενός σημείου στο επίπεδο XOY και την εφαπτομένη που σύρεται στην ολοκληρωτική καμπύλη.
- Η ρύθμιση της αρχικής συνθήκης σημαίνει τον καθορισμό ενός σημείου στο επίπεδο.
- Για να λυθεί το πρόβλημα Cauchy σημαίνει ότι από το σύνολο των ολοκληρωτικών καμπυλών που αντιπροσωπεύουν την ίδια λύση της εξίσωσης, είναι απαραίτητο να επιλέξετε τη μόνη που διέρχεται από το μόνο δυνατό σημείο.
- Εκπλήρωση των συνθηκών του θεωρήματος Cauchy σε ένα σημείο σημαίνει ότι μια ολοκληρωτική καμπύλη (εξάλλου, μόνο μία) διέρχεται απαραίτητα από το επιλεγμένο σημείο στο επίπεδο.
Διαχωριζόμενη μεταβλητή εξίσωση
Εξ ορισμού, μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση όπου η δεξιά πλευρά της περιγράφει ή αντικατοπτρίζεται ως γινόμενο (μερικές φορές ως λόγος) δύο συναρτήσεων, η μία εξαρτάται μόνο από το "x" και η άλλη - μόνο το "y ". Ένα σαφές παράδειγμα για αυτό το είδος: y'=f1(x)f2(y).
Για να λύσετε εξισώσεις μιας συγκεκριμένης μορφής, πρέπει πρώτα να μετατρέψετε την παράγωγο y'=dy/dx. Στη συνέχεια, χειραγωγώντας την εξίσωση, πρέπει να τη φέρετε σε μια μορφή όπου μπορείτε να ενσωματώσετε τα δύο μέρη της εξίσωσης. Μετά τις απαραίτητες μετατροπές, ενσωματώνουμε και τα δύο μέρη και απλοποιούμε το αποτέλεσμα.
Ομογενείς εξισώσεις
Εξ ορισμού, μια διαφορική εξίσωση μπορεί να ονομαστεί ομοιογενής εάν έχει την ακόλουθη μορφή: y'=g(y/x).
Σε αυτήν την περίπτωση, η αντικατάσταση y/x=χρησιμοποιείται συχνότεραt(x).
Για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, είναι απαραίτητο να αναχθεί μια ομοιογενής εξίσωση σε μια μορφή με χωριστές μεταβλητές. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να εκτελέσετε τις ακόλουθες λειτουργίες:
- Εμφάνιση, που εκφράζει την παράγωγο της αρχικής συνάρτησης, από οποιαδήποτε αρχική συνάρτηση ως νέα εξίσωση.
- Το επόμενο βήμα είναι να μετατρέψετε τη συνάρτηση που προκύπτει στη μορφή f(x;y)=g(y/x). Με πιο απλά λόγια, κάντε την εξίσωση να περιέχει μόνο τον λόγο y/x και σταθερές.
- Κάντε την ακόλουθη αντικατάσταση: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Η αντικατάσταση που θα γίνει θα βοηθήσει στη διαίρεση των μεταβλητών στην εξίσωση, φέρνοντάς την σταδιακά σε απλούστερη μορφή.
Γραμμικές εξισώσεις
Ο ορισμός τέτοιων εξισώσεων είναι ο εξής: μια γραμμική διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση όπου η δεξιά πλευρά της εκφράζεται ως γραμμική έκφραση σε σχέση με την αρχική συνάρτηση. Η επιθυμητή συνάρτηση σε αυτήν την περίπτωση: y'=a(x)y + b(x).
Ας επαναδιατυπώσουμε τον ορισμό ως εξής: οποιαδήποτε εξίσωση 1ης τάξης θα γίνει γραμμική στη μορφή της εάν η αρχική συνάρτηση και η παράγωγός της περιλαμβάνονται στην εξίσωση πρώτου βαθμού και δεν πολλαπλασιάζονται η μία με την άλλη. Η "κλασική μορφή" μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης έχει την ακόλουθη δομή: y' + P(x)y=Q(x).
Πριν λύσετε μια τέτοια εξίσωση, θα πρέπει να μετατραπεί στην "κλασική μορφή". Το επόμενο βήμα θα είναι η επιλογή της μεθόδου λύσης: η μέθοδος Bernoulli ή η μέθοδος Lagrange.
Λύση της εξίσωσης μεχρησιμοποιώντας τη μέθοδο που εισήγαγε ο Bernoulli, συνεπάγεται την αντικατάσταση και αναγωγή μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης σε δύο εξισώσεις με ξεχωριστές μεταβλητές σε σχέση με τις συναρτήσεις U(x) και V(x), οι οποίες δόθηκαν στην αρχική τους μορφή.
Η μέθοδος Lagrange είναι να βρεθεί μια γενική λύση στην αρχική εξίσωση.
- Είναι απαραίτητο να βρεθεί η ίδια λύση της ομογενούς εξίσωσης. Μετά την αναζήτηση, έχουμε τη συνάρτηση y=y(x, C), όπου το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά.
- Αναζητούμε μια λύση στην αρχική εξίσωση με την ίδια μορφή, αλλά θεωρούμε C=C(x). Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση y=y(x, C(x)) στην αρχική εξίσωση, βρίσκουμε τη συνάρτηση C(x) και γράφουμε τη λύση της γενικής αρχικής εξίσωσης.
εξίσωση Bernoulli
Η εξίσωση του Μπερνούλι - εάν η δεξιά πλευρά του λογισμού έχει τη μορφή f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, όπου k είναι οποιαδήποτε πιθανή ορθολογική αριθμητική τιμή, χωρίς να λαμβάνεται ως παραδείγματα περιπτώσεων όταν k=0 και k=1.
Αν k=1, τότε ο λογισμός γίνεται διαχωρίσιμος και όταν k=0, η εξίσωση παραμένει γραμμική.
Ας εξετάσουμε τη γενική περίπτωση επίλυσης αυτού του τύπου εξίσωσης. Έχουμε την τυπική εξίσωση Bernoulli. Πρέπει να μειωθεί σε γραμμικό, για αυτό πρέπει να διαιρέσετε την εξίσωση με το yk. Μετά από αυτή τη λειτουργία, αντικαταστήστε z(x)=y1-k. Μετά από μια σειρά μετασχηματισμών, η εξίσωση θα μειωθεί σε γραμμική, πιο συχνά με τη μέθοδο αντικατάστασης z=UV.
Εξισώσεις σε συνολικές διαφορικές
Ορισμός. Μια εξίσωση με δομή P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 ονομάζεται εξίσωση πλήρωςδιαφορικά, εάν πληρούται η ακόλουθη συνθήκη (σε αυτήν την συνθήκη, το "d" είναι μια μερική διαφορά): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Όλες οι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης που εξετάστηκαν προηγουμένως μπορούν να εμφανιστούν ως διαφορικά.
Τέτοιοι υπολογισμοί επιλύονται με διάφορους τρόπους. Ωστόσο, όλα ξεκινούν με έναν έλεγχο κατάστασης. Εάν η συνθήκη ικανοποιείται, τότε η πιο αριστερή περιοχή της εξίσωσης είναι το συνολικό διαφορικό της ακόμη άγνωστης συνάρτησης U(x;y). Στη συνέχεια, σύμφωνα με την εξίσωση, το dU (x; y) θα είναι ίσο με μηδέν, και επομένως το ίδιο ολοκλήρωμα της εξίσωσης σε συνολικές διαφορικές θα εμφανίζεται με τη μορφή U (x; y) u003d C. Επομένως, το η λύση της εξίσωσης ανάγεται στην εύρεση της συνάρτησης U (x; y).
Συντελεστής ολοκλήρωσης
Αν η συνθήκη dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx δεν ικανοποιείται στην εξίσωση, τότε η εξίσωση δεν έχει τη μορφή που εξετάσαμε παραπάνω. Αλλά μερικές φορές είναι δυνατό να επιλέξετε κάποια συνάρτηση M(x;y), όταν πολλαπλασιαστεί με την οποία η εξίσωση παίρνει τη μορφή μιας εξίσωσης σε πλήρη «διάφορα». Η συνάρτηση M (x;y) αναφέρεται ως συντελεστής ολοκλήρωσης.
Ένας ολοκληρωτής μπορεί να βρεθεί μόνο όταν γίνει συνάρτηση μίας μόνο μεταβλητής.
