Πιστεύω ότι πρέπει να ξεκινήσουμε με την ιστορία ενός τόσο ένδοξου μαθηματικού εργαλείου όπως οι διαφορικές εξισώσεις. Όπως όλοι οι διαφορικοί και ολοκληρωτικοί λογισμοί, αυτές οι εξισώσεις επινοήθηκαν από τον Νεύτωνα στα τέλη του 17ου αιώνα. Θεώρησε αυτή την ανακάλυψή του τόσο σημαντική που κρυπτογραφούσε ακόμη και το μήνυμα, το οποίο σήμερα μπορεί να μεταφραστεί κάπως έτσι: «Όλοι οι νόμοι της φύσης περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις». Αυτό μπορεί να φαίνεται υπερβολή, αλλά είναι αλήθεια. Οποιοσδήποτε νόμος της φυσικής, της χημείας, της βιολογίας μπορεί να περιγραφεί με αυτές τις εξισώσεις.
Οι μαθηματικοί Euler και Lagrange συνέβαλαν τεράστια στην ανάπτυξη και δημιουργία της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. Ήδη τον 18ο αιώνα, ανακάλυψαν και ανέπτυξαν αυτό που σπουδάζουν τώρα στα ανώτερα μαθήματα των πανεπιστημίων.
Ένα νέο ορόσημο στη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων ξεκίνησε χάρη στον Henri Poincare. Δημιούργησε μια «ποιοτική θεωρία διαφορικών εξισώσεων», η οποία, σε συνδυασμό με τη θεωρία των συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής, συνέβαλε σημαντικά στη θεμελίωση της τοπολογίας - της επιστήμης του χώρου και τηςιδιότητες.
Τι είναι οι διαφορικές εξισώσεις;
Πολλοί άνθρωποι φοβούνται μια φράση "διαφορική εξίσωση". Ωστόσο, σε αυτό το άρθρο θα περιγράψουμε λεπτομερώς όλη την ουσία αυτής της πολύ χρήσιμης μαθηματικής συσκευής, η οποία στην πραγματικότητα δεν είναι τόσο περίπλοκη όσο φαίνεται από το όνομα. Για να αρχίσετε να μιλάτε για διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, θα πρέπει πρώτα να εξοικειωθείτε με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται εγγενώς με αυτόν τον ορισμό. Και θα ξεκινήσουμε με το διαφορικό.
Διαφορά
Πολλοί γνωρίζουν αυτήν την έννοια από το σχολείο. Ωστόσο, ας το δούμε πιο προσεκτικά. Φανταστείτε ένα γράφημα μιας συνάρτησης. Μπορούμε να το αυξήσουμε σε τέτοιο βαθμό ώστε οποιοδήποτε από τα τμήματα του να πάρει τη μορφή ευθείας γραμμής. Πάνω του παίρνουμε δύο σημεία που είναι απείρως κοντά το ένα στο άλλο. Η διαφορά μεταξύ των συντεταγμένων τους (x ή y) θα είναι μια απειροελάχιστη τιμή. Ονομάζεται διαφορικό και συμβολίζεται με τα πρόσημα dy (διαφορικό από y) και dx (διαφορικό από x). Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε ότι το διαφορικό δεν είναι μια πεπερασμένη τιμή, και αυτή είναι η σημασία και η κύρια συνάρτησή του.
Και τώρα πρέπει να εξετάσουμε το επόμενο στοιχείο, το οποίο θα μας φανεί χρήσιμο για να εξηγήσουμε την έννοια της διαφορικής εξίσωσης. Αυτό είναι το παράγωγο.
Παράγωγο
Πιθανότατα όλοι ακούσαμε στο σχολείο και αυτήν την έννοια. Η παράγωγος λέγεται ότι είναι ο ρυθμός αύξησης ή μείωσης μιας συνάρτησης. Ωστόσο, από αυτόν τον ορισμόπολλά γίνονται ασαφή. Ας προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε την παράγωγο με όρους διαφορών. Ας επιστρέψουμε σε ένα απειροελάχιστο τμήμα μιας συνάρτησης με δύο σημεία που βρίσκονται σε ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους. Αλλά ακόμα και για αυτή την απόσταση, η συνάρτηση καταφέρνει να αλλάξει κατά ένα ποσό. Και για να περιγράψουν αυτήν την αλλαγή, κατέληξαν σε μια παράγωγο, η οποία διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως λόγος διαφορικών: f(x)'=df/dx.
Τώρα αξίζει να εξετάσουμε τις βασικές ιδιότητες της παραγώγου. Υπάρχουν μόνο τρία από αυτά:
- Η παράγωγος του αθροίσματος ή της διαφοράς μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ή η διαφορά των παραγώγων: (a+b)'=a'+b' και (a-b)'=a'-b'.
- Η δεύτερη ιδιότητα σχετίζεται με τον πολλαπλασιασμό. Η παράγωγος ενός γινομένου είναι το άθροισμα των γινομένων μιας συνάρτησης και της παραγώγου μιας άλλης: (ab)'=a'b+ab'.
- Η παράγωγος της διαφοράς μπορεί να γραφτεί ως η ακόλουθη ισότητα: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Όλες αυτές οι ιδιότητες θα είναι χρήσιμες για την εύρεση λύσεων σε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.
Υπάρχουν επίσης μερικά παράγωγα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση z που εξαρτάται από τις μεταβλητές x και y. Για να υπολογίσουμε τη μερική παράγωγο αυτής της συνάρτησης, ας πούμε, σε σχέση με το x, πρέπει να πάρουμε τη μεταβλητή y ως σταθερά και απλώς να διαφοροποιήσουμε.
Integral
Μια άλλη σημαντική έννοια είναι το ολοκλήρωμα. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το άμεσο αντίθετο της παραγώγου. Υπάρχουν διάφοροι τύποι ολοκληρωμάτων, αλλά για να λύσουμε τις απλούστερες διαφορικές εξισώσεις, χρειαζόμαστε τα πιο ασήμαντα αόριστα ολοκληρώματα.
Τι είναι λοιπόν ένα ολοκλήρωμα; Ας πούμε ότι έχουμε κάποια εξάρτηση fαπό x. Παίρνουμε το ολοκλήρωμα από αυτό και παίρνουμε τη συνάρτηση F (x) (που συχνά ονομάζεται αντιπαράγωγος), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με την αρχική συνάρτηση. Έτσι F(x)'=f(x). Από αυτό προκύπτει επίσης ότι το ολοκλήρωμα της παραγώγου είναι ίσο με την αρχική συνάρτηση.
Όταν λύνετε διαφορικές εξισώσεις, είναι πολύ σημαντικό να κατανοείτε τη σημασία και τη λειτουργία του ολοκληρώματος, καθώς θα πρέπει να τα παίρνετε πολύ συχνά για να βρείτε τη λύση.
Οι εξισώσεις διαφέρουν ανάλογα με τη φύση τους. Στην επόμενη ενότητα, θα εξετάσουμε τους τύπους των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης και στη συνέχεια θα μάθουμε πώς να τις λύνουμε.
Τάξεις διαφορικών εξισώσεων
Τα "Diffury" χωρίζονται ανάλογα με τη σειρά των παραγώγων που εμπλέκονται σε αυτά. Έτσι, υπάρχει η πρώτη, δεύτερη, τρίτη και μεγαλύτερη σειρά. Μπορούν επίσης να χωριστούν σε διάφορες κατηγορίες: συνηθισμένες και μερικές παράγωγες.
Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Θα συζητήσουμε επίσης παραδείγματα και τρόπους επίλυσής τους στις επόμενες ενότητες. Θα εξετάσουμε μόνο ODE, επειδή αυτοί είναι οι πιο συνηθισμένοι τύποι εξισώσεων. Τα συνηθισμένα χωρίζονται σε υποείδη: με χωριστές μεταβλητές, ομοιογενείς και ετερογενείς. Στη συνέχεια, θα μάθετε πώς διαφέρουν μεταξύ τους και πώς να τα λύσετε.
Επιπλέον, αυτές οι εξισώσεις μπορούν να συνδυαστούν, έτσι ώστε αφού έχουμε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Θα εξετάσουμε επίσης τέτοια συστήματα και θα μάθουμε πώς να τα λύνουμε.
Γιατί εξετάζουμε μόνο την πρώτη παραγγελία; Επειδή πρέπει να ξεκινήσετε με ένα απλό, και να περιγράψετε όλα όσα σχετίζονται με το διαφορικόεξισώσεις, σε ένα άρθρο είναι απλά αδύνατο.
Διαχωρίσιμες μεταβλητές εξισώσεις
Αυτές είναι ίσως οι απλούστερες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Αυτά περιλαμβάνουν παραδείγματα που μπορούν να γραφτούν ως εξής: y'=f(x)f(y). Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, χρειαζόμαστε έναν τύπο για την αναπαράσταση της παραγώγου ως αναλογία διαφορικών: y'=dy/dx. Χρησιμοποιώντας το, παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση: dy/dx=f(x)f(y). Τώρα μπορούμε να στραφούμε στη μέθοδο επίλυσης τυπικών παραδειγμάτων: θα χωρίσουμε τις μεταβλητές σε μέρη, δηλαδή θα μεταφέρουμε τα πάντα με τη μεταβλητή y στο μέρος όπου βρίσκεται το dy και θα κάνουμε το ίδιο με τη μεταβλητή x. Λαμβάνουμε μια εξίσωση της μορφής: dy/f(y)=f(x)dx, η οποία λύνεται παίρνοντας τα ολοκληρώματα και των δύο μερών. Μην ξεχνάτε τη σταθερά που πρέπει να ορίσετε μετά τη λήψη του ολοκληρώματος.
Η λύση σε οποιαδήποτε "διάσταση" είναι συνάρτηση της εξάρτησης του x από το y (στην περίπτωσή μας) ή, εάν υπάρχει αριθμητική συνθήκη, τότε η απάντηση έχει τη μορφή αριθμού. Ας αναλύσουμε ολόκληρη την πορεία της λύσης χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:
y'=2ysin(x)
Μετακίνηση μεταβλητών προς διαφορετικές κατευθύνσεις:
dy/y=2sin(x)dx
Τώρα παίρνουμε ολοκληρώματα. Όλα αυτά βρίσκονται σε έναν ειδικό πίνακα ολοκληρωμάτων. Και παίρνουμε:
ln(y)=-2cos(x) + C
Εάν απαιτείται, μπορούμε να εκφράσουμε το "y" ως συνάρτηση του "x". Τώρα μπορούμε να πούμε ότι η διαφορική μας εξίσωση λύνεται αν δεν δοθεί συνθήκη. Μπορεί να δοθεί μια συνθήκη, για παράδειγμα, y(n/2)=e. Στη συνέχεια απλώς αντικαθιστούμε την τιμή αυτών των μεταβλητών στη λύση καιβρείτε την τιμή της σταθεράς. Στο παράδειγμά μας, είναι ίσο με 1.
Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης
Τώρα στο πιο δύσκολο κομμάτι. Οι ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης μπορούν να γραφτούν σε γενική μορφή ως εξής: y'=z(x, y). Πρέπει να σημειωθεί ότι η σωστή συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι ομοιογενής και δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο εξαρτήσεις: z στο x και z στο y. Ο έλεγχος του αν η εξίσωση είναι ομοιογενής ή όχι είναι αρκετά απλός: κάνουμε την αντικατάσταση x=kx και y=ky. Τώρα ακυρώνουμε όλα τα k. Εάν όλα αυτά τα γράμματα μειωθούν, τότε η εξίσωση είναι ομοιογενής και μπορείτε να προχωρήσετε με ασφάλεια στην επίλυσή της. Κοιτάζοντας μπροστά, ας πούμε: η αρχή της επίλυσης αυτών των παραδειγμάτων είναι επίσης πολύ απλή.
Πρέπει να κάνουμε μια αντικατάσταση: y=t(x)x, όπου t είναι κάποια συνάρτηση που εξαρτάται επίσης από το x. Τότε μπορούμε να εκφράσουμε την παράγωγο: y'=t'(x)x+t. Αντικαθιστώντας όλα αυτά στην αρχική μας εξίσωση και απλοποιώντας την, παίρνουμε ένα παράδειγμα με χωριστές μεταβλητές t και x. Το λύνουμε και παίρνουμε την εξάρτηση t(x). Όταν το λάβαμε, απλώς αντικαθιστούμε το y=t(x)x στην προηγούμενη αντικατάστασή μας. Τότε παίρνουμε την εξάρτηση του y από το x.
Για να γίνει πιο σαφές, ας δούμε ένα παράδειγμα: xy'=y-xey/x.
Κατά τον έλεγχο με αντικατάσταση, όλα μειώνονται. Άρα η εξίσωση είναι πραγματικά ομοιογενής. Τώρα κάνουμε άλλη μια αντικατάσταση για την οποία μιλήσαμε: y=t(x)x και y'=t'(x)x+t(x). Μετά την απλοποίηση, παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση: t'(x)x=-et. Λύνουμε το παράδειγμα που προκύπτει με διαχωρισμένες μεταβλητές και παίρνουμε: e-t=ln(Cx). Χρειάζεται μόνο να αντικαταστήσουμε το t με y/x (εξάλλου, αν y=tx, τότε t=y/x), και παίρνουμεαπάντηση: e-y/x=ln(xC).
Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης
Ήρθε η ώρα για άλλο ένα μεγάλο θέμα. Θα αναλύσουμε ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Σε τι διαφέρουν από τα δύο προηγούμενα; Ας το καταλάβουμε. Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης σε γενική μορφή μπορούν να γραφούν ως εξής: y' + g(x)y=z(x). Αξίζει να διευκρινιστεί ότι τα z(x) και g(x) μπορούν να είναι σταθερές.
Και τώρα ένα παράδειγμα: y' - yx=x2.
Υπάρχουν δύο τρόποι για να το λύσουμε και θα ασχοληθούμε και με τους δύο με τη σειρά. Η πρώτη είναι η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.
Για να λύσετε την εξίσωση με αυτόν τον τρόπο, πρέπει πρώτα να εξισώσετε τη δεξιά πλευρά με το μηδέν και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει, η οποία αφού μετακινήσετε τα μέρη θα πάρει τη μορφή:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Τώρα πρέπει να αντικαταστήσουμε τη σταθερά C1 με τη συνάρτηση v(x) που πρέπει να βρούμε.
y=vex2/2.
Ας αλλάξουμε την παράγωγο:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Και αντικαταστήστε αυτές τις εκφράσεις στην αρχική εξίσωση:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Μπορείτε να δείτε ότι δύο όροι ακυρώνονται στην αριστερή πλευρά. Εάν σε κάποιο παράδειγμα αυτό δεν συνέβη, τότε κάνατε κάτι λάθος. Συνέχεια:
v'ex2/2 =x2.
Τώρα λύνουμε τη συνηθισμένη εξίσωση στην οποία πρέπει να διαχωρίσουμε τις μεταβλητές:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Για να εξαγάγουμε το ολοκλήρωμα, πρέπει να εφαρμόσουμε την ενοποίηση ανά μέρη εδώ. Ωστόσο, αυτό δεν είναι το θέμα του άρθρου μας. Εάν ενδιαφέρεστε, μπορείτε να μάθετε πώς να εκτελείτε μόνοι σας τέτοιες ενέργειες. Δεν είναι δύσκολο και με επαρκή ικανότητα και προσοχή δεν χρειάζεται πολύς χρόνος.
Ας στραφούμε στη δεύτερη μέθοδο επίλυσης ανομοιογενών εξισώσεων: τη μέθοδο Bernoulli. Ποια προσέγγιση είναι ταχύτερη και ευκολότερη εξαρτάται από εσάς.
Λοιπόν, όταν λύνουμε την εξίσωση με αυτήν τη μέθοδο, πρέπει να κάνουμε μια αντικατάσταση: y=kn. Εδώ τα k και n είναι μερικές συναρτήσεις που εξαρτώνται από το x. Τότε η παράγωγος θα μοιάζει με αυτό: y'=k'n+kn'. Αντικαταστήστε και τις δύο αντικαταστάσεις στην εξίσωση:
k'n+kn'+xkn=x2.
Ομάδα:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Τώρα πρέπει να εξισώσουμε με το μηδέν αυτό που βρίσκεται σε αγκύλες. Τώρα, αν συνδυάσετε τις δύο εξισώσεις που προκύπτουν, θα έχετε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που πρέπει να λύσετε:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Η πρώτη ισότητα λύνεται όπως μια κανονική εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να διαχωρίσετε τις μεταβλητές:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Πάρτε το ολοκλήρωμα και λάβετε: ln(n)=x2/2. Τότε, αν εκφράσουμε n:
n=ex2/2.
Τώρα αντικαθιστούμε την προκύπτουσα ισότητα στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος:
k'ex2/2=x2.
Και μετασχηματίζοντας, έχουμε την ίδια ισότητα όπως στην πρώτη μέθοδο:
dk=x2/ex2/2.
Ούτε θα προχωρήσουμε σε περαιτέρω βήματα. Αξίζει να πούμε ότι αρχικά η λύση διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης προκαλεί σημαντικές δυσκολίες. Ωστόσο, καθώς βουτάτε βαθύτερα στο θέμα, αρχίζει να γίνεται όλο και καλύτερο.
Πού χρησιμοποιούνται οι διαφορικές εξισώσεις;
Οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται πολύ ενεργά στη φυσική, αφού σχεδόν όλοι οι βασικοί νόμοι είναι γραμμένοι σε διαφορική μορφή και οι τύποι που βλέπουμε είναι η λύση αυτών των εξισώσεων. Στη χημεία, χρησιμοποιούνται για τον ίδιο λόγο: βασικοί νόμοι προέρχονται από αυτούς. Στη βιολογία, οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση της συμπεριφοράς συστημάτων, όπως το αρπακτικό-θήραμα. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία μοντέλων αναπαραγωγής, για παράδειγμα, μιας αποικίας μικροοργανισμών.
Πώς θα βοηθήσουν οι διαφορικές εξισώσεις στη ζωή;
Η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση είναι απλή: δεν υπάρχει τρόπος. Εάν δεν είστε επιστήμονας ή μηχανικός, τότε είναι απίθανο να σας φανούν χρήσιμοι. Ωστόσο, για γενική ανάπτυξη, δεν βλάπτει να γνωρίζουμε τι είναι μια διαφορική εξίσωση και πώς λύνεται. Και μετά το ερώτημα ενός γιου ή μιας κόρης "τι είναι μια διαφορική εξίσωση;" δεν θα σε μπερδέψει. Λοιπόν, αν είστε επιστήμονας ή μηχανικός, τότε καταλαβαίνετε τη σημασία αυτού του θέματος σε οποιαδήποτε επιστήμη. Αλλά το πιο σημαντικό είναι ότι τώρα το ερώτημα "πώς να λύσουμε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης;" μπορείτε πάντα να απαντήσετε. Συμφωνώ, είναι πάντα ωραίοόταν καταλαβαίνεις αυτό που οι άνθρωποι φοβούνται να καταλάβουν.
Κύρια μαθησιακά προβλήματα
Το κύριο πρόβλημα στην κατανόηση αυτού του θέματος είναι η κακή ικανότητα ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης συναρτήσεων. Εάν δεν παίρνετε καλά παράγωγα και ολοκληρώματα, τότε μάλλον θα πρέπει να μάθετε περισσότερα, να καταλάβετε διαφορετικές μεθόδους ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης και μόνο τότε να αρχίσετε να μελετάτε το υλικό που περιγράφηκε στο άρθρο.
Μερικοί άνθρωποι εκπλήσσονται όταν ανακαλύπτουν ότι το dx μπορεί να μεταφερθεί, επειδή νωρίτερα (στο σχολείο) ειπώθηκε ότι το κλάσμα dy/dx είναι αδιαίρετο. Εδώ πρέπει να διαβάσετε τη βιβλιογραφία για την παράγωγο και να καταλάβετε ότι είναι η αναλογία απειροελάχιστων μεγεθών που μπορούν να χειριστούν κατά την επίλυση εξισώσεων.
Πολλοί δεν συνειδητοποιούν αμέσως ότι η λύση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης είναι συχνά μια συνάρτηση ή ένα ολοκλήρωμα που δεν μπορεί να ληφθεί, και αυτή η αυταπάτη τους δημιουργεί πολλά προβλήματα.
Τι άλλο μπορεί να μελετηθεί για καλύτερη κατανόηση;
Είναι καλύτερο να ξεκινήσετε περαιτέρω εμβάπτιση στον κόσμο του διαφορικού λογισμού με εξειδικευμένα εγχειρίδια, για παράδειγμα, στον λογισμό για μαθητές μη μαθηματικών ειδικοτήτων. Στη συνέχεια, μπορείτε να προχωρήσετε σε πιο εξειδικευμένη βιβλιογραφία.
Πρέπει να ειπωθεί ότι, εκτός από τις διαφορικές εξισώσεις, υπάρχουν και ολοκληρωτικές εξισώσεις, επομένως θα έχετε πάντα κάτι να επιδιώκετε και κάτι να μελετήσετε.
Συμπέρασμα
Ελπίζουμε ότι μετά την ανάγνωσηΑυτό το άρθρο σας έδωσε μια ιδέα για το τι είναι οι διαφορικές εξισώσεις και πώς να τις λύσετε σωστά.
Σε κάθε περίπτωση, τα μαθηματικά θα μας φανούν χρήσιμα στη ζωή. Αναπτύσσει τη λογική και την προσοχή, χωρίς την οποία κάθε άνθρωπος είναι σαν χωρίς χέρια.
