Στην άλγεβρα υπάρχει μια έννοια δύο τύπων ισοτήτων - ταυτοτήτων και εξισώσεων. Οι ταυτότητες είναι τέτοιες ισότητες που είναι εφικτές για οποιεσδήποτε τιμές των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτές. Οι εξισώσεις είναι επίσης ισότητες, αλλά είναι εφικτές μόνο για ορισμένες τιμές των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτές.
Τα γράμματα είναι συνήθως άνισα όσον αφορά την εργασία. Αυτό σημαίνει ότι μερικά από αυτά μπορούν να λάβουν οποιεσδήποτε επιτρεπόμενες τιμές, που ονομάζονται συντελεστές (ή παράμετροι), ενώ άλλοι - ονομάζονται άγνωστοι - λαμβάνουν τιμές που πρέπει να βρεθούν στη διαδικασία λύσης. Κατά κανόνα, τα άγνωστα μεγέθη συμβολίζονται στις εξισώσεις με γράμματα, τα τελευταία στο λατινικό αλφάβητο (x.y.z κ.λπ.), ή με τα ίδια γράμματα, αλλά με δείκτη (x1, x 2, κ.λπ.), και οι γνωστοί συντελεστές δίνονται από τα πρώτα γράμματα του ίδιου αλφαβήτου.
Με βάση τον αριθμό των αγνώστων, διακρίνονται εξισώσεις με έναν, δύο και πολλούς αγνώστους. Έτσι, όλες οι τιμές των αγνώστων για τις οποίες η εξίσωση που λύνεται μετατρέπεται σε ταυτότητα ονομάζονται λύσεις των εξισώσεων. Μια εξίσωση μπορεί να θεωρηθεί λυμένη αν βρεθούν όλες οι λύσεις της ή αποδειχθεί ότι δεν έχει καμία. Η εργασία "λύσει την εξίσωση" στην πράξη είναι κοινή και σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης.
Ορισμός: οι ρίζες μιας εξίσωσης είναι εκείνες οι τιμές των αγνώστων από το εύρος των αποδεκτών τιμών στις οποίες η εξίσωση που επιλύεται γίνεται ταυτότητα.
Ο αλγόριθμος για την επίλυση απολύτως όλων των εξισώσεων είναι ο ίδιος και το νόημά του είναι να ανάγεται αυτή η έκφραση σε απλούστερη μορφή χρησιμοποιώντας μαθηματικούς μετασχηματισμούς. Οι εξισώσεις που έχουν τις ίδιες ρίζες ονομάζονται ισοδύναμες στην άλγεβρα.
Το απλούστερο παράδειγμα: 7x-49=0, η ρίζα της εξίσωσης x=7;x-7=0, ομοίως, η ρίζα x=7, επομένως, οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες. (Σε ειδικές περιπτώσεις, οι ισοδύναμες εξισώσεις μπορεί να μην έχουν καθόλου ρίζες.)
Αν η ρίζα μιας εξίσωσης είναι επίσης η ρίζα μιας άλλης, απλούστερης εξίσωσης που προκύπτει από την αρχική με μετασχηματισμούς, τότε η τελευταία ονομάζεται συνέπεια της προηγούμενης εξίσωσης.
Αν η μία από τις δύο εξισώσεις είναι συνέπεια της άλλης, τότε θεωρούνται ισοδύναμες. Ονομάζονται επίσης ισοδύναμα. Το παραπάνω παράδειγμα δείχνει αυτό.
Η επίλυση ακόμη και των πιο απλών εξισώσεων στην πράξη είναι συχνά δύσκολη. Ως αποτέλεσμα της λύσης, μπορείτε να πάρετε μια ρίζα της εξίσωσης, δύο ή περισσότερες, ακόμη και έναν άπειρο αριθμό - εξαρτάται από τον τύπο των εξισώσεων. Υπάρχουν και αυτά που δεν έχουν ρίζες, λέγονται αναποφάσιστα.
Παραδείγματα:
1) 15x -20=10; x=2. Αυτή είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης.
2) 7x - y=0. Η εξίσωση έχει άπειρο αριθμό ριζών, αφού κάθε μεταβλητή μπορεί να έχει αμέτρητεςαριθμός τιμών.
3) x2=- 16. Ένας αριθμός που αυξάνεται στη δεύτερη δύναμη δίνει πάντα θετικό αποτέλεσμα, επομένως είναι αδύνατο να βρεθεί η ρίζα της εξίσωσης. Αυτή είναι μια από τις άλυτες εξισώσεις που αναφέρονται παραπάνω.
Η ορθότητα της λύσης ελέγχεται αντικαθιστώντας τις ρίζες που βρέθηκαν αντί για γράμματα και λύνοντας το παράδειγμα που προκύπτει. Εάν η ταυτότητα ισχύει, η λύση είναι σωστή.
