Διαφορικές συναρτήσεις λογισμού μιας και πολλών μεταβλητών

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Ο λογισμός είναι ένας κλάδος του λογισμού που μελετά την παράγωγο, τα διαφορικά και τη χρήση τους στη μελέτη μιας συνάρτησης.

Ιστορικό Εμφάνισης

Ο διαφορικός λογισμός εμφανίστηκε ως ανεξάρτητος επιστημονικός κλάδος στο δεύτερο μισό του 17ου αιώνα, χάρη στην εργασία του Newton και του Leibniz, οι οποίοι διατύπωσαν τις βασικές διατάξεις στον λογισμό των διαφορών και παρατήρησαν τη σύνδεση μεταξύ ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης. Από εκείνη τη στιγμή, η πειθαρχία αναπτύχθηκε μαζί με τον λογισμό των ολοκληρωμάτων, αποτελώντας έτσι τη βάση της μαθηματικής ανάλυσης. Η εμφάνιση αυτών των λογισμών άνοιξε μια νέα σύγχρονη περίοδο στον μαθηματικό κόσμο και προκάλεσε την εμφάνιση νέων κλάδων στην επιστήμη. Επέκτεινε επίσης τη δυνατότητα εφαρμογής της μαθηματικής επιστήμης στη φυσική και τεχνολογία.

Βασικές έννοιες

Ο διαφορικός λογισμός βασίζεται στις θεμελιώδεις έννοιες των μαθηματικών. Είναι: πραγματικός αριθμός, συνέχεια, συνάρτηση και όριο. Με τον καιρό, απέκτησαν μια μοντέρνα εμφάνιση, χάρη στον ολοκληρωτικό και διαφορικό λογισμό.

Διαδικασία δημιουργίας

Ο σχηματισμός του διαφορικού λογισμού με τη μορφή μιας εφαρμοσμένης και στη συνέχεια μιας επιστημονικής μεθόδου συνέβη πριν από την εμφάνιση μιας φιλοσοφικής θεωρίας, η οποία δημιουργήθηκε από τον Νικόλαο της Κούσας. Τα έργα του θεωρούνται μια εξελικτική εξέλιξη από τις κρίσεις της αρχαίας επιστήμης. Παρά το γεγονός ότι ο ίδιος ο φιλόσοφος δεν ήταν μαθηματικός, η συμβολή του στην ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης είναι αναμφισβήτητη. Ο Kuzansky ήταν ένας από τους πρώτους που απομακρύνθηκε από το να θεωρεί την αριθμητική ως τον πιο ακριβή τομέα της επιστήμης, θέτοντας τα μαθηματικά εκείνης της εποχής σε αμφιβολία.

Οι αρχαίοι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν τη μονάδα ως παγκόσμιο κριτήριο, ενώ ο φιλόσοφος πρότεινε το άπειρο ως νέο μέτρο αντί για τον ακριβή αριθμό. Από αυτή την άποψη, η αναπαράσταση της ακρίβειας στη μαθηματική επιστήμη είναι ανεστραμμένη. Η επιστημονική γνώση, σύμφωνα με τον ίδιο, χωρίζεται σε ορθολογική και διανοητική. Το δεύτερο είναι πιο ακριβές, σύμφωνα με τον επιστήμονα, αφού το πρώτο δίνει μόνο κατά προσέγγιση αποτέλεσμα.

Ιδέα

Η κύρια ιδέα και έννοια στον διαφορικό λογισμό σχετίζεται με μια συνάρτηση σε μικρές γειτονιές ορισμένων σημείων. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια μαθηματική συσκευή για τη μελέτη μιας συνάρτησης της οποίας η συμπεριφορά σε μια μικρή γειτονιά των καθορισμένων σημείων είναι κοντά στη συμπεριφορά ενός πολυωνύμου ή μιας γραμμικής συνάρτησης. Αυτό βασίζεται στον ορισμό ενός παραγώγου και ενός διαφορικού.

Η εμφάνιση της έννοιας της παραγώγου προκλήθηκε από μεγάλο αριθμό προβλημάτων από τις φυσικές επιστήμες και τα μαθηματικά,που οδήγησε στην εύρεση των τιμών των ορίων του ίδιου τύπου.

Ένα από τα κύρια προβλήματα που δίνονται ως παράδειγμα ξεκινώντας από το γυμνάσιο είναι ο προσδιορισμός της ταχύτητας ενός σημείου που κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής και η κατασκευή μιας εφαπτομένης σε αυτήν την καμπύλη. Το διαφορικό σχετίζεται με αυτό, καθώς είναι δυνατό να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση σε μια μικρή γειτονιά του εξεταζόμενου σημείου της γραμμικής συνάρτησης.

Σε σύγκριση με την έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής, ο ορισμός των διαφορικών απλώς περνά σε μια συνάρτηση γενικής φύσης, ειδικότερα, στην εικόνα ενός Ευκλείδειου χώρου σε έναν άλλο.

Παράγωγο

Αφήστε το σημείο να κινηθεί προς την κατεύθυνση του άξονα Oy, για το χρόνο που παίρνουμε το x, ο οποίος μετράται από μια ορισμένη αρχή της στιγμής. Μια τέτοια κίνηση μπορεί να περιγραφεί από τη συνάρτηση y=f(x), η οποία εκχωρείται σε κάθε χρονική στιγμή x της συντεταγμένης του σημείου που μετακινείται. Στη μηχανική, αυτή η συνάρτηση ονομάζεται νόμος της κίνησης. Το κύριο χαρακτηριστικό της κίνησης, ιδιαίτερα ανώμαλη, είναι η στιγμιαία ταχύτητα. Όταν ένα σημείο κινείται κατά μήκος του άξονα Oy σύμφωνα με το νόμο της μηχανικής, τότε σε μια τυχαία χρονική στιγμή x, αποκτά τη συντεταγμένη f (x). Τη χρονική στιγμή x + Δx, όπου το Δx υποδηλώνει την αύξηση του χρόνου, η συντεταγμένη του θα είναι f(x + Δx). Έτσι σχηματίζεται ο τύπος Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), που ονομάζεται αύξηση της συνάρτησης. Αντιπροσωπεύει τη διαδρομή που διανύθηκε από το χρονικό σημείο από x έως x + Δx.

Λόγω της εμφάνισης αυτούταχύτητα στο χρόνο, εισάγεται η παράγωγος. Σε μια αυθαίρετη συνάρτηση, η παράγωγος σε ένα σταθερό σημείο ονομάζεται όριο (υποθέτοντας ότι υπάρχει). Μπορεί να χαρακτηριστεί με συγκεκριμένα σύμβολα:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Η διαδικασία υπολογισμού της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση.

Διαφορικός λογισμός συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Αυτή η μέθοδος λογισμού χρησιμοποιείται κατά την εξέταση μιας συνάρτησης με πολλές μεταβλητές. Παρουσία δύο μεταβλητών x και y, η μερική παράγωγος ως προς το x στο σημείο Α ονομάζεται παράγωγος αυτής της συνάρτησης ως προς το x με σταθερό y.

Μπορεί να αντιπροσωπεύεται από τους ακόλουθους χαρακτήρες:

f'(x)(x, y), u'(x), ∂u/∂x ή ∂f(x, y)'/∂x.

Απαιτούμενες Δεξιότητες

Απαιτούνται δεξιότητες ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης για την επιτυχή μελέτη και τη δυνατότητα επίλυσης διαχέσεων. Για να διευκολύνετε την κατανόηση των διαφορικών εξισώσεων, θα πρέπει να έχετε καλή κατανόηση του θέματος της παραγώγου και του αόριστου ολοκληρώματος. Επίσης, δεν βλάπτει να μάθετε πώς να βρίσκετε την παράγωγο μιας σιωπηρά δεδομένης συνάρτησης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στη διαδικασία μελέτης των ολοκληρωμάτων και της διαφοροποίησης θα πρέπει συχνά να χρησιμοποιούνται.

Τύποι διαφορικών εξισώσεων

Σχεδόν σε όλα τα δοκιμαστικά έγγραφα που σχετίζονται με διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, υπάρχουν 3 τύποι εξισώσεων: ομοιογενείς, με χωριστές μεταβλητές, γραμμικές ανομοιογενείς.

Υπάρχουν επίσης πιο σπάνιες ποικιλίες εξισώσεων: με ολικά διαφορικά, εξισώσεις Bernoulli και άλλες.

Βασικά στοιχεία απόφασης

Πρώτον, θα πρέπει να θυμάστε τις αλγεβρικές εξισώσεις από το σχολικό μάθημα. Περιέχουν μεταβλητές και αριθμούς. Για να λύσετε μια συνηθισμένη εξίσωση, πρέπει να βρείτε ένα σύνολο αριθμών που να ικανοποιούν μια δεδομένη συνθήκη. Κατά κανόνα, τέτοιες εξισώσεις είχαν μία ρίζα, και για να ελεγχθεί η ορθότητα, έπρεπε απλώς να αντικατασταθεί αυτή η τιμή με το άγνωστο.

Η διαφορική εξίσωση είναι παρόμοια με αυτήν. Γενικά, μια τέτοια εξίσωση πρώτης τάξης περιλαμβάνει:

• Ανεξάρτητη μεταβλητή.
• Η παράγωγος της πρώτης συνάρτησης.
• Μια συνάρτηση ή εξαρτημένη μεταβλητή.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, ένα από τα άγνωστα, x ή y, μπορεί να λείπει, αλλά αυτό δεν είναι τόσο σημαντικό, καθώς η παρουσία της πρώτης παραγώγου, χωρίς παραγώγους υψηλότερης τάξης, είναι απαραίτητη για τη λύση και το διαφορικό ο λογισμός να είναι σωστός.

Για να λύσετε μια διαφορική εξίσωση σημαίνει να βρείτε το σύνολο όλων των συναρτήσεων που ταιριάζουν με τη δεδομένη έκφραση. Ένα τέτοιο σύνολο συναρτήσεων ονομάζεται συχνά η γενική λύση του DE.

Ολοκληρωμένος λογισμός

Ο ολοκληρωμένος λογισμός είναι μία από τις ενότητες της μαθηματικής ανάλυσης που μελετά την έννοια του ολοκληρώματος, τις ιδιότητες και τις μεθόδους υπολογισμού του.

Συχνά, ο υπολογισμός του ολοκληρώματος γίνεται κατά τον υπολογισμό του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου σχήματος. Αυτή η περιοχή σημαίνει το όριο στο οποίο τείνει το εμβαδόν ενός πολυγώνου που εγγράφεται σε ένα δεδομένο σχήμα με σταδιακή αύξηση της πλευράς του, ενώ αυτές οι πλευρές μπορούν να γίνουν λιγότερες από οποιαδήποτε προηγουμένως καθορισμένη αυθαίρετημικρή αξία.

Η κύρια ιδέα για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός αυθαίρετου γεωμετρικού σχήματος είναι να υπολογιστεί το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, δηλαδή να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με το γινόμενο μήκους και πλάτους. Όσον αφορά τη γεωμετρία, όλες οι κατασκευές γίνονται χρησιμοποιώντας έναν χάρακα και μια πυξίδα και, στη συνέχεια, η αναλογία μήκους προς πλάτος είναι μια λογική τιμή. Κατά τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ορθογώνιου τριγώνου, μπορείτε να προσδιορίσετε ότι εάν βάλετε το ίδιο τρίγωνο δίπλα του, τότε σχηματίζεται ένα ορθογώνιο. Σε ένα παραλληλόγραμμο, το εμβαδόν υπολογίζεται με μια παρόμοια, αλλά λίγο πιο περίπλοκη μέθοδο, μέσω ενός ορθογωνίου και ενός τριγώνου. Στα πολύγωνα, το εμβαδόν υπολογίζεται μέσω των τριγώνων που περιλαμβάνονται σε αυτό.

Κατά τον προσδιορισμό της δέσμευσης μιας αυθαίρετης καμπύλης, αυτή η μέθοδος δεν θα λειτουργήσει. Εάν το σπάσετε σε μεμονωμένα τετράγωνα, τότε θα υπάρχουν μη συμπληρωμένα μέρη. Σε αυτήν την περίπτωση, προσπαθεί κανείς να χρησιμοποιήσει δύο εξώφυλλα, με ορθογώνια πάνω και κάτω, με αποτέλεσμα αυτά να περιλαμβάνουν το γράφημα της συνάρτησης και όχι. Η μέθοδος διαχωρισμού σε αυτά τα ορθογώνια παραμένει σημαντική εδώ. Επίσης, αν πάρουμε όλο και μικρότερα διαμερίσματα, τότε η περιοχή πάνω και κάτω θα πρέπει να συγκλίνει σε μια συγκεκριμένη τιμή.

Πρέπει να επιστρέψει στη μέθοδο διαίρεσης σε ορθογώνια. Υπάρχουν δύο δημοφιλείς μέθοδοι.

Ο Ο Riemann επισημοποίησε τον ορισμό του ολοκληρώματος που δημιουργήθηκε από τον Leibniz και τον Newton ως την περιοχή ενός υπογραφήματος. Σε αυτή την περίπτωση, ελήφθησαν υπόψη αριθμοί, που αποτελούνται από έναν ορισμένο αριθμό κάθετων ορθογωνίων και προέκυψαν με διαίρεσητμήμα. Όταν, καθώς μειώνεται η κατάτμηση, υπάρχει ένα όριο στο οποίο μειώνεται η περιοχή ενός παρόμοιου αριθμού, αυτό το όριο ονομάζεται ολοκλήρωμα Riemann μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα.

Η δεύτερη μέθοδος είναι η κατασκευή του ολοκληρώματος Lebesgue, η οποία συνίσταται στο γεγονός ότι για τον τόπο διαίρεσης της καθορισμένης περιοχής σε μέρη του ολοκληρώματος και στη συνέχεια συγκρότησης του ολοκληρωτικού αθροίσματος από τις τιμές που λαμβάνονται σε αυτά τα μέρη, το εύρος των τιμών του χωρίζεται σε διαστήματα και στη συνέχεια συνοψίζεται με τα αντίστοιχα μέτρα των προεικόνων αυτών των ολοκληρωμάτων.

Σύγχρονα οφέλη

Ένα από τα κύρια εγχειρίδια για τη μελέτη του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού γράφτηκε από τον Fikhtengolts - "Μάθημα διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού". Το εγχειρίδιό του είναι ένας θεμελιώδης οδηγός για τη μελέτη της μαθηματικής ανάλυσης, η οποία έχει περάσει από πολλές εκδόσεις και μεταφράσεις σε άλλες γλώσσες. Δημιουργήθηκε για φοιτητές και έχει χρησιμοποιηθεί από καιρό σε πολλά εκπαιδευτικά ιδρύματα ως ένα από τα κύρια βοηθήματα σπουδών. Δίνει θεωρητικά δεδομένα και πρακτικές δεξιότητες. Εκδόθηκε για πρώτη φορά το 1948.

Αλγόριθμος έρευνας συναρτήσεων

Για να διερευνήσετε μια συνάρτηση χρησιμοποιώντας τις μεθόδους διαφορικού λογισμού, πρέπει να ακολουθήσετε τον ήδη δεδομένο αλγόριθμο:

1. Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης.
2. Βρείτε τις ρίζες της δεδομένης εξίσωσης.
3. Υπολογισμός ακραίων. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε την παράγωγο και τα σημεία όπου ισούται με μηδέν.
4. Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στην εξίσωση.

Ποικιλίες διαφορικών εξισώσεων

έλεγχος πρώτης τάξης (αλλιώς, διαφορικόλογισμός απλής μεταβλητής) και οι τύποι τους:

• Διαχωρίσιμη εξίσωση: f(y)dy=g(x)dx.
• Οι απλούστερες εξισώσεις ή διαφορικός λογισμός μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, με τον τύπο: y'=f(x).
• Γραμμική ανομοιογενής πρώτης τάξης DE: y'+P(x)y=Q(x).
• Διαφορική εξίσωση Bernoulli: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Εξίσωση με ολικές διαφορικές: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Δεύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις και οι τύποι τους:

• Γραμμική ομογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερές τιμές συντελεστών: y +py'+qy=0 p, το q ανήκει στο R.
• Γραμμική ανομοιογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές: y +py'+qy=f(x).
• Γραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση: y +p(x)y'+q(x)y=0, και ανομοιογενής εξίσωση δεύτερης τάξης: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Διαφορικές εξισώσεις υψηλότερης τάξης και οι τύποι τους:

• Διαφορική εξίσωση που μπορεί να μειωθεί κατά σειρά: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Γραμμική ομοιογενής εξίσωση ανώτερης τάξης: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, και ανομοιογενής: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Βήματα επίλυσης προβλήματος με διαφορική εξίσωση

Με τη βοήθεια του τηλεχειριστηρίου δεν λύνονται μόνο μαθηματικές ή φυσικές ερωτήσεις, αλλά και διάφορα προβλήματα απόβιολογία, οικονομία, κοινωνιολογία κ.λπ. Παρά τη μεγάλη ποικιλία θεμάτων, θα πρέπει να ακολουθεί κανείς μια ενιαία λογική ακολουθία κατά την επίλυση τέτοιων προβλημάτων:

1. Συλλογή τηλεχειριστηρίου. Ένα από τα πιο δύσκολα βήματα που απαιτεί μέγιστη ακρίβεια, αφού οποιοδήποτε λάθος θα οδηγήσει σε εντελώς λάθος αποτελέσματα. Όλοι οι παράγοντες που επηρεάζουν τη διαδικασία πρέπει να ληφθούν υπόψη και να καθοριστούν οι αρχικές συνθήκες. Θα πρέπει επίσης να βασίζεται σε γεγονότα και λογικά συμπεράσματα.
2. Λύση της διατυπωμένης εξίσωσης. Αυτή η διαδικασία είναι απλούστερη από το πρώτο βήμα, καθώς απαιτεί μόνο αυστηρούς μαθηματικούς υπολογισμούς.
3. Ανάλυση και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων. Η παραγόμενη λύση θα πρέπει να αξιολογηθεί για να καθοριστεί η πρακτική και η θεωρητική αξία του αποτελέσματος.

Ένα παράδειγμα χρήσης διαφορικών εξισώσεων στην ιατρική

Η χρήση τηλεχειριστηρίου στον τομέα της ιατρικής συμβαίνει κατά την κατασκευή ενός επιδημιολογικού μαθηματικού μοντέλου. Ταυτόχρονα, δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι αυτές οι εξισώσεις βρίσκονται και στη βιολογία και τη χημεία, που προσεγγίζουν την ιατρική, γιατί σημαντικό ρόλο σε αυτήν παίζει η μελέτη διαφόρων βιολογικών πληθυσμών και χημικών διεργασιών στο ανθρώπινο σώμα.

Στο παραπάνω παράδειγμα επιδημίας, μπορούμε να εξετάσουμε την εξάπλωση της μόλυνσης σε μια απομονωμένη κοινωνία. Οι κάτοικοι χωρίζονται σε τρεις τύπους:

• Infected, αριθμός x(t), που αποτελείται από άτομα, φορείς της λοίμωξης, καθένα από τα οποία είναι μεταδοτικό (η περίοδος επώασης είναι σύντομη).
• Ο δεύτερος τύπος περιλαμβάνειευπαθή άτομα y(t) ικανά να μολυνθούν μέσω επαφής με μολυσμένα άτομα.
• Το τρίτο είδος περιλαμβάνει άνοσα άτομα z(t) που είναι άνοσα ή έχουν πεθάνει λόγω ασθένειας.

Ο αριθμός των ατόμων είναι σταθερός, δεν λαμβάνονται υπόψη οι γεννήσεις, οι φυσικοί θάνατοι και η μετανάστευση. Θα υπάρχουν δύο υποθέσεις στον πυρήνα.

Το ποσοστό επίπτωσης σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή είναι x(t)y(t) (βάσει της θεωρίας ότι ο αριθμός των περιπτώσεων είναι ανάλογος με τον αριθμό των τομών μεταξύ ασθενών και ευαίσθητων εκπροσώπων, που στην πρώτη η προσέγγιση θα είναι ανάλογη του x(t)y(t)), σε σχέση με αυτό, ο αριθμός των περιπτώσεων αυξάνεται και ο αριθμός των ευαίσθητων μειώσεων με ρυθμό που υπολογίζεται από τον τύπο ax(t)y(t) (a > 0).

Ο αριθμός των ανοσοποιητικών ατόμων που έχουν αποκτήσει ανοσία ή πέθαναν αυξάνεται με ρυθμό ανάλογο με τον αριθμό των περιπτώσεων, bx(t) (b > 0).

Σαν αποτέλεσμα, μπορείτε να φτιάξετε ένα σύστημα εξισώσεων λαμβάνοντας υπόψη και τους τρεις δείκτες και να βγάλετε συμπεράσματα βάσει αυτού.

Οικονομικό παράδειγμα

Ο διαφορικός λογισμός χρησιμοποιείται συχνά στην οικονομική ανάλυση. Το κύριο καθήκον στην οικονομική ανάλυση είναι η μελέτη ποσοτήτων από την οικονομία, οι οποίες γράφονται με τη μορφή συνάρτησης. Αυτό χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων όπως αλλαγές στο εισόδημα αμέσως μετά την αύξηση των φόρων, επιβολή δασμών, αλλαγές στα έσοδα της εταιρείας όταν αλλάζει το κόστος παραγωγής, σε ποια αναλογία μπορούν οι συνταξιούχοι να αντικατασταθούν με νέο εξοπλισμό. Για την επίλυση τέτοιων ζητημάτων, είναι απαραίτητοδημιουργήστε μια συνάρτηση σύνδεσης από τις μεταβλητές εισόδου, οι οποίες στη συνέχεια μελετώνται χρησιμοποιώντας τον διαφορικό λογισμό.

Στον οικονομικό τομέα, είναι συχνά απαραίτητο να βρούμε τους βέλτιστους δείκτες: μέγιστη παραγωγικότητα εργασίας, υψηλότερο εισόδημα, χαμηλότερο κόστος κ.λπ. Κάθε τέτοιος δείκτης είναι συνάρτηση ενός ή περισσότερων ορισμάτων. Για παράδειγμα, η παραγωγή μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση της εισροής εργασίας και κεφαλαίου. Από αυτή την άποψη, η εύρεση μιας κατάλληλης τιμής μπορεί να μειωθεί στην εύρεση του μέγιστου ή του ελάχιστου συνάρτησης από μία ή περισσότερες μεταβλητές.

Προβλήματα αυτού του είδους δημιουργούν μια κατηγορία ακραίων προβλημάτων στον οικονομικό τομέα, η επίλυση των οποίων απαιτεί διαφορικό λογισμό. Όταν ένας οικονομικός δείκτης πρέπει να ελαχιστοποιηθεί ή να μεγιστοποιηθεί ως συνάρτηση άλλου δείκτη, τότε στο σημείο του μέγιστου, ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς τα ορίσματα θα τείνει στο μηδέν εάν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν. Διαφορετικά, όταν μια τέτοια αναλογία τείνει σε κάποια θετική ή αρνητική τιμή, το καθορισμένο σημείο δεν είναι κατάλληλο, γιατί αυξάνοντας ή μειώνοντας το όρισμα, μπορείτε να αλλάξετε την εξαρτημένη τιμή στην επιθυμητή κατεύθυνση. Στην ορολογία του διαφορικού λογισμού, αυτό θα σημαίνει ότι η απαιτούμενη συνθήκη για το μέγιστο μιας συνάρτησης είναι η μηδενική τιμή της παραγώγου της.

Στα οικονομικά, υπάρχουν συχνά προβλήματα εύρεσης του άκρου μιας συνάρτησης με πολλές μεταβλητές, επειδή οι οικονομικοί δείκτες αποτελούνται από πολλούς παράγοντες. Τέτοιες ερωτήσεις είναι καλές.μελετήθηκε στη θεωρία συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, εφαρμόζοντας μεθόδους διαφορικού υπολογισμού. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν όχι μόνο μεγιστοποιημένες και ελαχιστοποιημένες συναρτήσεις, αλλά και περιορισμούς. Τέτοιες ερωτήσεις σχετίζονται με τον μαθηματικό προγραμματισμό και λύνονται με τη βοήθεια ειδικά ανεπτυγμένων μεθόδων, που βασίζονται επίσης σε αυτόν τον κλάδο της επιστήμης.

Μεταξύ των μεθόδων διαφορικού λογισμού που χρησιμοποιούνται στα οικονομικά, μια σημαντική ενότητα είναι η οριακή ανάλυση. Στην οικονομική σφαίρα, αυτός ο όρος αναφέρεται σε ένα σύνολο μεθόδων για τη μελέτη μεταβλητών δεικτών και αποτελεσμάτων κατά την αλλαγή του όγκου δημιουργίας, κατανάλωσης, με βάση την ανάλυση των οριακών δεικτών τους. Ο περιοριστικός δείκτης είναι τα παράγωγα ή μερικά παράγωγα με πολλές μεταβλητές.

Ο διαφορικός λογισμός πολλών μεταβλητών είναι ένα σημαντικό θέμα στον τομέα της μαθηματικής ανάλυσης. Για μια λεπτομερή μελέτη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορα εγχειρίδια για την τριτοβάθμια εκπαίδευση. Ένα από τα πιο διάσημα δημιουργήθηκε από τον Fikhtengolts - "Μάθημα διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού". Όπως υποδηλώνει το όνομα, οι δεξιότητες στην εργασία με ολοκληρώματα έχουν μεγάλη σημασία για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Όταν πραγματοποιείται ο διαφορικός λογισμός μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, η λύση γίνεται πιο απλή. Αν και, πρέπει να σημειωθεί, υπόκειται στους ίδιους βασικούς κανόνες. Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση στην πράξη με διαφορικό λογισμό, αρκεί να ακολουθήσουμε τον ήδη υπάρχοντα αλγόριθμο, ο οποίος δίνεται στο γυμνάσιο και είναι ελαφρώς πολύπλοκος όταν εισάγονται νέοι.μεταβλητές.